子空间的和与直和

1、子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1 理解并掌握子空间的概念.2 掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间3 .掌握子空间的交与和的概念授课时数：3 学时教学重点：子空间的判别.教学难点：子空间的交与和.教学过程：一子空间的的和回忆：令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是 封闭的，那么就称W是V的一个子空间.一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非 平凡子空间叫做V的真子空间。1.定义：设W,W2V，则称V的子集12/1W1,2W2为与?的和，记为 W,W2即WW2=12/1W,2W2定理 5.5.1 :若W,W2

2、均为V的两个子空间，贝 U WW2仍然是子空间.证明11:* W,W2W W,故wW2对a,b F,W| W2,有12,121,1Wl,2,2W2W1W2均为v子空间.a1b1W,a2b2W?于是ab a12b12a1b1a2b2W4WiW2是v的子空间。推广：Wi,W2,卅,Wn为 V 的 n 个子空间，则W仍然是W HI Wn吉V的子空间1 2IIIn/1W,2她,|,nW补充:若 W=L1,2,r，W2L1,21 ,t则wW2=L1,2,r,1,2,t证明:wW,，有w,W2设k1 1k2 2krrl1 112 2htk 1k(2 2kr r+1112 21tWW4=L1,2,r,1,2

3、,t定理 5.5.2 维数定理。dim（wW2）=dimWdimW2dim W W2证明：设dim（pW2）r 0,取*口她 的一个基为i,2,川，r,因为wfw?同是W,W的子空间，所以可以分别扩充成Wi与W2的基1,2,|,r,1,|,s,1，2,|, r,1,|, t,这里dimW r s,dim W?r t.下面证明1,2,|,r,1,|,s,1,|, t（4）是WiW2的基.显然,W W2中每个向量都可以由（4）线性表示，只需证明（4）线性无关.设1a2 2III ar rbl 1卅bssIIICt t0,则a1 1a2 2|arrb!1IIIbssq1IIIct tW W2于是在F

4、中存在k1,k2,| ,匕,使得C|11llGtk11IIIkr r,即1III krG1|Gt0.由于1,2,111,r,1, 11 ,t是W2的1勺基,所以k1k2III k-0,G|Ct0.于是ki 1kr rbl1bs s0.由于1,2,|, r,1,川，s是Wi的基,所以kik2川krOh川bs0.dim(W1W2)推论： dim(WW,) dimWdim W2dimW1dimW2 n,则WW20例 1：设有向量组11,0,2,1 ,22,0,1, 1 ,33,0,3,0i1,1,0,1 ,24,1,3,13,1,2的秩，而这个向量组的极大无关组也是V1V的基。将1,3,1,2为列作

5、矩阵施行初等行变换:123141101111000000110001100011A13B213032130310101110111101100000由于秩（A =秩（B） =3,且由 B 知，第 2, 3, 4 列线性无关，故2,3,1便是V1V2的一个基。（杨子胥一下册一 154）例 2:11,1,0,1 ,21,0,0,1 ,31,1, 1,111,2,0,1 ,20,1,1,0L1,2的基和维数这样（4）线性无关，从而（4）是 W,W2的基从而dimW dim W?dim(1W2).对于r0时，仿照上面的证明把w和W2的基拼起来就是和的基当且仅当w她=0时dim WW =dimWdim

6、W2令V L1,2,3,VL1,2，求V V2的维数和一组基解：由于V1V2=L1,2,3L1,2=L1故V V的维数就是向量11,2,311,0,0,0解：给出P4的一组基：20,1,0,030,0,1,040,0,0,1而17,3,1,2=1,2,3,4A 其中111 1 0101 2 1A=001 0 1111 1 0L(1,J3)P|L(1,2),则1W1且1W2设X1 1X2 2X3 3y1 1y2 2,X1X1X2X2X1 1X22x3 3y11y2 2(1,2,3,1,2)X3(1,2 3,4) AX3,故y1y1y2y2x22X211AX3,解此方程组的基础解系：0 ，1y11

7、0y201故 dim(W1|W2)2,它的一组解基为1，2， 或 212， 2123二子空间的直和直和，余子空间定义 2 设是线性空间 V 的两个子空间，如果1V WiW22W1W20则称 V 为 W1与 W 的直和，记为 W W2,且称 W2是 W1的余子空间结合维数定理：定理 553当W1W2是直和则W1W2且分解成证：“必要性”，若VW1W2,V有1 21Wi,2W1 21W1,2W2则（12)(1 2)11221 1W1且11W2，从而11W1W2Wi,2W2是唯一的定理 5.5.4. 若V W1W2,则下列命题彼此等价1V W1W22dimV dimW1dimW23W1的一个基与W2

8、的一个基,并起来是V的一个基证：运用循回证法 由V W1W2知W1W20 故 dim( W1W2) 0由 维 数 定 理 , 得dimV dimW1dimW2 设dimW1r , dim W2s,且1,2,r和1,2,s分别是W1与 W2的基，那么，V W1W2L(1,2,r)L(1,2, ,s)L(1,r,1, ,s)由于dimV rs,于是1,r1,s为V的基。 设1,2, ,r,1,2,s分别为W1与W2的基，有1,2, ,r,1,2,$是V的 基 ， 对W1W2有W1且W2令a1 1ar rb1 1bss即a1 1arrb1 1bss01，,r,1, ,s线性无关a1arb1bs00故

9、W1W20，又VW1W2故V W1W2三. 余子空间的确定.V1是 n 维向量空间V的一个子空间，且dimV1t，则存在余子空间V2使VV1V2证：设1,2,t是V1的一个基，则V1L(1,2,t)且dim V1t，将1,2,t扩充为V的一个基，使V L(1,2, ,t,1,n t)作V2L(1,n 1)，于1同理2充分性”(只须证W1W20)W1W1W2，则0(),Wi,W2，又000,OW,0W2由表示法唯一，故0，0即W1W20故V W1W2是dimV2n t，而dim V1dim V2dim( V1V2)dim(V1V2)0故V是V的余子空间，v V V例：已知1(1,0,0,0),2

10、(1,2,0,0),ViL(1,2)，求V的余子空间V2使VV R4。解： 以i,2,i,2,3,4为列作矩阵，对A施行初等变换iii000020i000000i显然i,2,3,4线性无关，设VL（3,4），故V为所求。00000iVi是 n 维线性空间V的子空间，则Vi的余子空间不唯一。证：（另外找出V1的余子空间）n t是基数线性无关设Wi,W2, ,Wt是线性空间V的子空间，如果V WiW2W3Wti2t是Vi的一个基， 将其扩充为V的一个基i2是V2L(n t)为Vi的余子空间。1,t,i,2,n t也是V的一个基。设kiikt(kili)kttliiki0,lj0, ii, ,t, ji, , n t于是V3L(i2n t）亦为Vi之余子空间。（F证V2V3 ,Vi与V2中有一个向量不相同）V3，若iiV2，则iikiiktn t线性相关与n t线性无关相矛盾。V2ViV23) . 子空间的直和可以推广到多个子空间的情形W(W1W2WiWi 1Wt)0则称V是W1,W2,Wt的直和，记为VW1W2Wt例设P为数域，给出p3的两个子空间为V (a,b,c)a b c,a