历年概率论与数理统计试题分章整理

1、历年概率论与数理统计试题分章整理、选择与填空11级31、设P(A) 0.5，P(AB)=0.2，则P(B A) 5。1、设代B,C为随机事件，则下列选项中一定正确的是_D_(A)若P(A) 0,则A为不可能事件(B)若A与B相互独立，则A与B互不相容(C)若A与B互不相容，则P(A) 1 P(B)(D)若P(AB) 0,则P(BC A) P(B A)P(C BA)10级1.若代B为两个随机事件， 则下列选项中正确的是C。(A) AUB B A(B) AUB B B1.某人向同一目标独立重复进行射击， 每次射击命中的概率为 击恰好是第2次命中目标的概率为_3p2(1 p)2_。2.在0,1中随机

2、取数X，在1,2中随机取数y，贝U事件x y3的概率为209级1. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 兰454172.在区间0,1中随机地取两个数则事件两数之和大于-的概率为-1.设A, B为两个随机事件，若事件A, B的概率满足0 P(A) 1 , 0 P(B) 407级2、设A, B,C为三个事件，且P A P B P CPBC -，求:P(C B)P(CB) P(C) P(BC) A；P(B) 1 P(B) 16(3)P A,B,C至少有一个发生 P(A B C)、选择与填空11级F( a) F( a) 1。10级k 13.设随机变量X与Y相互独立

3、且服从同一分布：PX k PY k - - (k 0,1)，则概率35PX Y的值为-_ 。9_08级2、设相互独立的两个随机变量X，丫的分布函数分别为Fx(x)，Fy(y)，则Z max(X,Y)的分-,P AB 0,P AC3(1)P(C A);(2)P(C B);(3)代B,C至少有一个发生的概率解答：(1)P(C A)P(AC)P(A)P(A) P(B) P(C) P(AB)111c11门170 0o33368242、设随机变量X服从正态分布N(2)，F(x)为其分布函数，则对任意实数a，有P(AC) P(BC) P(ABC)布函数是C o二、计算与应用11级1、已知随机变量X的概率密

4、度函数为1f(x)、厂 X2 30,21 1F(?) F( p(B)FZ(z) maxFx(z),FY(z)(C)Fz(z)FX(Z)FY(Z)(D) Fz(z) FX(X)FYW)3、设随机变量X N(1,4),丫N(0,1)，且X与丫相互独立，则A。(A Fz(z) max Fx(z), FY(Z)(A) X 2 丫N (1,8)(C) X 2 丫N(1,2)07级(B) X 2 丫N(1,6)(D) X 2 丫N(1,1)1、已知随机变量X服从参数n 2,p1-的二项分布，F(x)为X的分布函数，则F(1.5)3(A)(B)(C)(D)x 1,x 1.求：(1)X的分布函数F(x)；(2

5、)概率P x解答：(1)F(x) PX xxf (t)dtx1时，F(x) f (t)dtx0dt 0.1分当1 x 1时，F(x)xf(t)dtdt(arcsin x ).2分x当x 1时，F(X) f(t)dt- dt 11.1 t2.1分0,综上，F(x)1(arcsin x2),(2)P111 11arcsi n( = ) arcsi n( )-222232、设连续型随机变量X的概率密度函数为求随机变量Y X3的概率密度函数。0时：FY(y)01时：FY(y) 12 y故fY(y) FY(y)30,10级解答：(1)f(x)dx 1Ce|x|dxf(x)2x,0,0 x1,其他.解法1

6、：由于Y X3所以x h(y)3y,.1分fY(y)fx(h(y) h(y)2 口护 |y0,其他.6分解法2：FY(y) PYy PX3yy1 2时：R(y)PX3y PX3yyfx(x)dx2xdx y3.5分2.已知连续型随机变量的概率密度函数f (x) Cex()，求:(1)常数C;(2)X的分布函数FX(X)；(3)概率P13 o(2)当x 0时,F(x)PXx1x- exdx2当x 0时，F(x)PXx丄 exdx2xdx11ex2.3分其他故X的分布函数F(x)0时：FY（y）y 4时:09级2.设有三个盒子，第一个盒装有4个红球，1个黑球；第二个盒装有3个红球，2个黑球；第三个

7、盒装有2个红球，3个黑球.若任取一盒，从中任取3个球。已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率;故fY(y)FY(y)_1_y0,其他(2)以X表示所取到的红球数，求X的分布律;(3)若丫sin2X，求丫的分布律.解答：（1）设Bi“取第i箱”（i 1,2,3），A“取出的3个球中有2个红球”，则P(A3P(Bi)P(ABi)扌普3誓 i 13 C53 C53C； C3C532113(3)P1 X 3F(3) F(1) (e1e3)23.设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布，求随机变量Y X2的概率密度函数fY（y）。答：fx（X）J20,0 x2其他方法1：x2的反函数

8、为xfY(y)fxC、y)C.y)0,fx(方法2:1 _1_22 右0,_1_4y其他FY(y)PYyPX2yFY(y) PX2yP .y ye 11 Lfx(X)dx02dx2(1)(2)P X 0 - 0 - 0 - C3丄333 Of30P(A)-,P X 3- P X 02因此，X的分布律为X01231311P一301026(3)P Y - P X 3PY 0 PX 0 PX 2-5，因此，丫的分布律为Y101P-_8_卫615103.设连续型随机变量X的分布函数为0,x 0,2FX(x) a bx ,0 x -,仁x(D求系数a,b的值及X的概率密度函数fX(x);(2)若随机变量

9、丫 X2，求丫的概率密度函数fY(y).解答：(D由于连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数，因此:lim F(x) F(0)，lim F(x)F(1)，即得a 0,b 1，2x, 0 x 1,fX(x) FX(x)0,其他.P(BiA)P( BiA)P(A)P(BJP(A BJ 2P(A)5-o -主33 Cf1 C-C；33 C；-0（2）（方法1对任意实数y，随机变量丫的分布函数为:FY(Y) PY2y PX y当y0时：F,y） 0，当y0时：F,y) PJX . yFX( J)FX(,y)，当0y4时：FY(y).720 y，当y1时：FY(y)1 0 1于是,1, 0W) R(

10、y)0y 1,其他.3分（方法2）fY(y)fx(、y)G. y)fx(、y) (vy) , 0 y 1，0,其他._ . 1 2目0,2jy0,0 y 1，1, 0 y 0,其他.0,其他-.3分08级2、已知连续型随机变量X的分布函数为0, x 03F (x) cx , 0 x 1,4 x 1求：（1）常数c；（2）X的概率密度函数;1(3)概率P1X-解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故c 1；(3)P 1 X弓F(f) F( 1)12 2 83、设随机变量X服从标准正态分布N（0,1），求随机变量丫X2的概率密度函数fY（y）。解答:fx(X)x2的反函数为x、y和x(2

11、)f(x) F(x)3x2, 0 x 10,其他fY(y)fx( , y) ( , y),y 00,y 0121 1、厂 2 J亍2 1e2十，y 0 2门1 Ie2, y 0 ,2 y0,y 00,y 007级2、已知连续型随机变量X的分布函数为0,x1F(x) abares in x,1 x 1，1,x 1求(1)常数a和b；(2)X的概率密度f(x)；(3)概率P 2 X 0。b的方程:解得:当e2(2)F(x)对x求导，得X的概率密度为f (x)1、1 x20,(3)1 P 2 X 0 = F (0) F( 2)23、设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，求e2X的概率密度fY(

12、y)。解答：(解法一)由题设知，X的概率密度为fx(x)x 2其他对任意实数y，随机变量丫的分布函数为:e2时：F,y) PYFY(y)yPe2XPYyy 0；Pe2XyFy(y)2XPe1y PX2lny1:nyfx(x)dx1In y211dx ln y 1；2解答：(1)由于连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数，将1和1代入F(x)，得到关于a和0 F( 1) a0F(1)a2be4时:当y e4时：FY(V)2 XPY y Pe y 1，0,1FYW)J1,1,于是,fY(y) Fy(y)1石0,其他(解法二)fY(y)1 1 fx(jn y) (jny),0,12y,0,1如其

13、他12y0,其他、选择与填空11级3、设随机变量X与丫相互独立,X在区间0,3上服从均匀分布，丫服从参数为2的指数分布,则概率P min(X,Y) 123e2o2、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与丫不相关，fx(x)、fY(y)分别为X、丫的概率密度，则在丫 y条件下，X的条件概率密度fX|Y(x y)为_A (A) fx(x)(C) fx(x)fY(y)10级(B) fY(y)(D)fx(X)fY(y)3.设随机变量X与丫相互独立且都服从参数为(0)的指数分布，则min(X,Y)服从B(A)参数为的指数分布(B)参数为2的指数分布(C)参数为一的指数分布(D) (0,)上的均匀分

14、布2二、计算与应用11级3、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为10110乂000100(1)求概率P X |Y；(2)求X与Y的相关系数XY，并讨论X与Y的相关性，独立性。111解答：(1)PXYPX1,Y0P X1,Y0-一一3分44 2(2)EX0,EY0,E(XY)0，故cov(X,Y)0,XY0。因XY0,故X与Y不相关。 .2分由联合分布律显然PjPgPgj，所以X与Y不独立。 .2分1、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Axy, 0 y x 1, HZ 0 ,其他.求:(1)常数A;(2)(X,Y)的边缘概率密度函数fY(y);(3)在Y y的条件下，X的条件概率密度

15、函数fX|Y(xy);2 1(4) 条件概率PX-丫-。32解答：(1)f(x, y)dxdy 11x0dx0Axydy 1 A 8. .2分.1分(2)fY(y)18xydxf(x,y)dxy0,24y(1 y ), 0 y其他(3)当0 y 1时,fXY(xy)=f(x,y)fY(y)2x2,1 y0,(4)PX2丫 丄321dx2310级其他727.2分1.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为.2Ax y, f (x, y)0,x2y 1其他求：（1）常数A；(2)（X,Y）的边缘概率密度函数fy（y）；(3)在丫 y的条件下，X的条件概率密度函数fx|Y(xy)；(4) 条件概

16、率PX 0Y2。解答：（1）f (x, y)dxdy(2)(3)(4)1dx12Ax ydxdy 1 AfY(y)f(x, y)dx1时,PX0Y 丄209级214y212 .x ydxy40,fXY(xy)=g032y2xyfy(y)32dx32x y20,0326x22其他其他2 2dx21.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为f(x,y) 0y, x0,0,y 0,其它.(3)计算P X Y立;（百分制）近似服从正态分布X N（72,2），并且分数在60分至84分之间的考生人数占考生总数的%试求考生的外语成绩在96分以上的概率.X0解答：(x)根据题意有，P60X 8412()1

17、2 12()2 ()1=%.4分故（早）0.841， 因此12，.2分PX 96241(竺)1(2)0.023 .2分08级1、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为丄f（x,y）_,0,求：（1）（X，Y）的边缘概率密度函数fX（x）和条件概率密度f丫x（yx）；（2）概率PY X；（3） 随机变量Z X2Y2的概率密度函数fz（z）。（1）求关于X的边缘密度函数fx（x）试判断X与Y是否相互独立解答：（1）fx（x）=f (x, y)dy00,ydy,0,0.e0,0,；0.（2）与（1）类似，易知fY（y）ey0,0，满足f（x,y）fx（x）fY（y），因此X与丫相互独01 1(

18、3)PX 丫1。ydy 12e某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩x2y21其他07级1、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为Ax, 0 y x 1 f （x,y）卄宀0 ,其它求（1）常数A；（2）（X，丫）的边缘概率密度函数fY（y）和条件概率密度函数fXY（x y）；（3） 概率PX Y 1。1.解答：(1)由于f (x, y)dxdy 1，1x即dx Axdy 1，推得A 3。0 031323xdx, 0 y 1- (1 y ),0 y 1(2)fY(y)=f(x,y)dxy2，0,其他0,其他2x -.rrf(x y)- , 0 y x 1当0 y 1时：fX|Y(xy)1

19、y2；fY(y)0,其他1、解答:（1）fx（X）=f (x, y)dy1 x21 x20,dy,其他0,1 x 1其他x 1时:f(x,y)fx(X)2、 10,x2其他(2)PY X1y x(3)Fz(z) PZ z当z 0时：FZ(Z)0当0 z 1时：FZ(z)当z 1时：FZ(Z) 1。因此，fz(z)FZ(Z)71x, y)dxdyP X2Y2x2y2z,0,zf (x, y) dxdyz0 z 1其他1dxdy、选择与填空11级07级1(3)PX Y 1=；dy3xdx3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和丫的相关系数为_B

20、(A) 1(B)1(C) 0(D) 0.510级2.设随机变量X服从参数为(0)的泊松分布，且PX 1PX 2，则D(X 1)的值为A。(A) 2(B) 3(D)09级2.设X和Y为独立同分布的随机变量,X的分布律为P X130-，P X 1，令随机44变量Z max(X, Y)，则数学期望E(Z)1(A)丄4(C)16(D)151608级2、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX E(X2)丄o2e_3、设随机变量X和丫的相关系数为，E(X) E(Y) 0，E(X2)E(Y2)2，则E(X Y)26o2、F面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是1(A)X服从正态分布N(5,2)(

21、B) 丫服从均匀分布U(5,7)(C) Z服从参数为1指数分布6(D) T服从参数为3的泊松分布3、若二维随机变量(X,Y)的相关系数XY0，则以下结论正确的是_B(B)(A) X与丫相互独立D(X Y) D(X) D(Y)(C) X与丫互不相容(D)D(XY) D(X) D(Y)_ 13、设随机变量X服从参数为的指数分布，则PX . DX =-e二、计算与应用10级将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量X,Y分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的数目，试求:解答：(1)0120001/41012021400(2)X与丫同分布，且X的分布为:X012P1/41/21/4(1)(X,Y)的联合分布

22、;(2)X的数学期望E(X)及方差D(X)；(3)(X,Y)的相关系数(4)判断X , Y是否不相关.是否相互独立因此E(X) 1，E(X2)(3)方法1：E(Y)1，D(Y)cov(X,Y) ，DX DY方法2:由于X 丫2，即丫11，E(XY)，cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 22. 2分X 2，X与丫存在线性关系，因此1。(4)相关，不独立09级1八D(X). 2分232，4.设随机变量X与Y的相关系数1/4,D(X) D(Y) 1，令U X Y,V且U与V不相关，求常数a.方法1)cov(U,V) cov(X Y,X aY)D(X) aD(Y) (a 1)cov(X,Y

23、)1 a (a 1) . D(X)；D(Y)5(a 1)4由于U与V不相关，因此cov(U ,V)0,4分于是a 1.2分(方法2) E(UV) E(X Y)(X aY)2121 E(X) (a 1)H E(X)E(Y) a1 E(Y)4E(U)E(V) E(X Y)E(X aY) E(X)2(a 1)E(X)E(Y) aE(Y)25则cov(U ,V) E(UV) E(U )E(V) (a 1)X1101X201p111P丄142422并且PX1X201。(1) 求X1，X2的数学期望以及方差；(2) 求(X1,X2)的联合分布律；(3) 求X1，X2的协方差；(4) 判断X1，X2是否不相

24、关，是否独立解答：(2)(1)E X10,E X212,1D X1-,21D X2-；4-101X aY，4由于U与V不相关，因此cov(U,V) 0,4分于是a 1.2分08级2、设随机变量X1和X2的分布律为01401410120(3)cov(XX2) E(X1X2) EX1EX20;(4)由cov(Xi,X2) 0知xx0故Xi,X2不相关；又(人兀)联合分布律中不满足PijPiPj，所以Xi,X2不独立设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格品中只有专的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品。已知每件合格品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少产品30.96 0.040.80.984，不合格率为，设随机变量42000078.4255.1，因此企业每天至少应生产256件产品。07级2、设二维随机变量(X,Y)的概率分布为01PX Xi-10PYyj1(1)请将上表空格处填全；(2)求X，Y的数学期望以及方差EX、EY、DX、DY；(