抛物线的概念与性质

1、 中国领先的中小学教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3 课 题抛物线概念与性质教学目标1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。教学内容一、知识梳理1、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线（定点F不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。思考：如果定点F在定直线上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线(0,0)轴(,0)(0,0)轴(-,0)(0,

2、0)轴(0, )(0,0)轴(0,-)我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。3、直线与抛物线它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说：1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；3、有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。常见的问题有：（1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。 包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。（2）直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥

3、曲线的方程，对称性问题等等。弦长的求法：由，弦长.注意：消去可得关于的二元方程有直线斜率.求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。4、抛物线的特殊性质（1）过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于、两点，设，O为原点，则有：（1）；（2）；（3）；（4）。（2）直线l交抛物线（）于、两点，O为原点，若OAOB，则直线l经过定点（2p，0），反之亦然（证明略）。二、例题解析1、抛物线的准线为_ ,焦点坐标为_2、已知圆

4、，与抛物线的准线相切，则 _23、点M与点F的距离比它到直线:的距离小1，则点的轨迹方程是 _4、抛物线（）与椭圆有一个共同的焦点，则的取值范围是_5、抛物线上一点到轴的距离为12，则点到焦点的距离为_136、一个正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ A ） （A） （B） （C） （D）7、若点A的坐标是（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的M的坐标为_(2,2)_8、若抛物线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为_9、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。解:直线L

5、与X轴交点(4,0),与Y轴交点(0,-3)所以抛物线方程为焦点弦有关的问题1、已知是抛物线上的点，是该抛物线的焦点，求证：.说明利用抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，称为抛物线的焦半径.证明：过点作准线的垂线，垂足为，则.根据抛物线的定义，.2、在抛物线y2=8x上一点到x轴的距离为4，则该点到焦点F的距离为 63、在抛物线y2=8x上与焦点F的距离等于6的点的坐标为 . 4、过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ A ）A8B10C6 D45、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、

6、Q两点，若线段PF与FQ得长分别是、，则 等于（ C ）A B C D 解析：考虑特殊位置，令焦点弦PQ平行于轴。6、抛物线（）上有、三点，是它的焦点，若、成等差数列，则（ A ）A 成等差数列 B 成等差数列 C 成等差数列 D 成等差数列7、是抛物线的焦点弦，若，则的中点到直线的距离是_8、若抛物线的焦点弦长为，求焦点弦所在直线方程.说明根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示.解：抛物线的焦点为.设焦点弦的两个端点分别为、.由条件，所以.如果直线平行于轴，那么，这与矛盾，所以直线不平行于轴.设焦点弦所在直线方程为，联立方程 消去，得到，根据韦达定理，求出，于是焦点弦所在直

7、线的方程为.9、过抛物线的焦点作抛物线的弦，当时，求直线倾斜角的大小。答案：，所以倾斜角为或10、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离是，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及的值。说明根据点的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为，其准线方程为.根据抛物线的定义，有，所以. 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为，将点的坐标代入方程，算得直线与抛物线1、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ A ）A（1，1）B（）CD（2，4）2、过点（0,1）作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（C）A1条B2条C3条D0

8、条3、直线交抛物线于、两点，若，则_14、抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 25、过A（1，1），且与抛物线有一个公共点的直线方程为 及X=-16、在抛物线中，以为中心的弦所在的直线方程为_7、已知直线l过点A（4,0）且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求抛物线C的方程。8、给定直线：，抛物线C：。（1）当抛物线C的焦点在直线上时，确定抛物线C的方程。（2）若ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标，ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程。答案：（1）（2）代入得则A(8,2),设.直线方程代入,由

9、韦达定理及重心坐标公式求得.9、已知动圆过定点，且与定直线相切，点在上。（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设过点且斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段的长；（3）问：能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，说明理由。解：（1）因为动圆过定点，且与定直线相切所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线所以 圆心的轨迹方程为 -4分（2）由题知，直线的方程为 -6分所以解得： -8分 -10分（3）假设能为正三角形，则设点的坐标为 -11分 由题知 13分 即： -14分 由于上述方程无实数解，因此直线上不存在这样的点C。 -16分10、若抛物线上两点、关于直线对称，且

10、，求的值。答案：11、若抛物线上存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围。解析：提示：设A（m，n），B（-n，-m）为抛物线上关于x+y=0对称的两点，则（1）-（2）得 （3）（1）+（3）得，故判别式 ，又a0 三、总结与反思四、课后作业1、抛物线的准线方程是（ C ）ABCy=2 Dy=42、与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ B ）A B C D3、已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ C ）Ax=pBCD3p4、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方

11、程为（ D ） A BC D5、已知抛物线x2=4y，过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的长为 （ A ） A.8 B.4 C.6 D.3 6、过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ C ）A0条B1条C2条D3条7、直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为（ ） （A）或2（B）（C）2 （D）8、抛物线y2=8x的焦点为F、P在抛物线上，若|PF|=5，则P点的坐标为（ C ）A. (3，2) B.(3，-2)C.(3，2)或(3，-2) D.(-3，2)或(-3，-2)9、设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 310、动圆经过点且与直线：相切，则的轨迹方程为 11、若点M到点的距离比它到直线的距离大1，则点M的轨迹方程为 或12、抛物线上的两点A、B到焦点的距离之和为10，则线段AB中点到y轴的距离为 413、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上的抛物线方程是 或14、等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面