样本及抽样分布

1、实用文档第六章样本及抽样分布【内容提要】一、简单随机样本与统计量1.总体用来表征某一随机试验的数量指标X,其概率分布称为总体的分布。2.简单随机样本 在相同条件下，对总体X进行n次独立的重复观察，将所得结果Xi,X2,Xn称为从总体X中抽取的容量为 n的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值XX2,)Xn ,称其X同分布。Xi,X2,Xn的观察值。注：若Xi,X2,，Xn为总体X的简单随机样本，则Xi,X2,，Xn相互独立，且与总体3.统计量设Xl,X2，Xn为总体X的简单随机样本，T=g(Xl,X2，Xn)为样本Xl,X2，Xn的实值函数，且不含任何未知参数，则称Ag(Xi,X2，Xn)为一

2、个统计量，将样本值Xi,X2，X!代入后算出的函数值t=g(Xi,X2,，Xn)称为该统计量的值。注：设Xi,X2,Xn为总体X的简单随机样本，Xi,X2,，Xn为相应的样本值，则常用的统计量有：名称统计量统计量的值样本均值-1nX一送Xiny1nx=-XXinz21n-2s2=Z(Xj-X)2nT721、2样本方差S-Z(Xix)n-17样本标准差Ss=yfS样本k阶原点矩1n人七Xiknim4kak方陋Xi样本k阶中心矩Bk二迟区-X)kni=±1n0=±S(xAx)knim4.经验分布函数设Xi,X2,，Xn为总体X的简单随机样本，Xi,X2,，Xn为相应的样本值，将

3、样本值按由小到大的顺序重新编号其中0 - mk- n且a mkx；"：X2"："Xr,1_r_n,弁设Xi,X2,，Xn中取到Xk的频数为m-0,若X<Xn，则称Fn(x)=匹=若Xkxxy，其中1-k-rT为i玉至潜哑n*至至n若x兰x:总体X的经验分布函数(或样本分布函数)注：设F(x),Fn(x)为总体X的概率分布函数与经验分布函数，则-x?R,有：Pim_F(x)-Fn(x)=0i;=1,即只要n充分大，则Fn(x)与F(x)只有微小的差别。二、抽样分布n1 .2一分布：设X!,X2,)Xn为总体XLIN(0,1)的简单随机样本，则称2riX：服从自

4、由度为nkJnk=1的2-分布，记为2=?X2L2(n)。L 2(n), _ 2(m),且二者相互独立，则xn2 AeA'2【定理】设随机变量f(x)二 2n2(n 2).的密度函数为.72-分布的再生性:三十耳1_2(m+n)；.2-分布的数字特征：E()工n,D(八2n；.72-分布的临界值pfE<弋热n)=P(?>/;(n)=a.(查表)2 t分布.设随机变量XN(0,1),Y_E2(n),且二者相互独立，则称随机变量t=-jA服从自由Jyf度为n的t-分布，记为tLIt(n)。【定理】设随机变量|_|t(n),则？匕的密度函数为：f(X)=竺+12+(1+x2/n)

5、q林，XE-,xc);y/rnV(n2)？t-分布的极限分布:n二时，|_1N(0,1),即limf(x)hF(x)x(：，：)；n_.t-分布的数字特征：若n2,则E()=0,D()=n.(n-2);.t-分布的临界值：P:t.(n)=P.-t(n)=.(查表)虚线：N(0,1)分布的密度函数y=(x)实线：t(n)-分布的密度函数y二f(x)3.F-分布：设随机变量XL2(m),丫一2(n),且二者相互独立，则称随机变量F=%1服从自Yn由度为(m,n)的F-分布，记为FLIF(m,n)。【定理】设随机变量LIF(m,n),贝U.？的密度函数为：f(x)=(m+n)2)亡工二若-(m2b(

6、n2)(mx?n)(mn)2,x>0.F-分布的倒数不变性：F(n,m)；.F-分布的数字特征则E()nJ二22n(mn-2)2m(n2)(n4)tF.(n, m) = : ?(查表).F-分布的临界值：P:R.(m,n)=P三、正态总体的统计量的分布i.单个正态总体的情形设Xi,X2,Xn为正态总体XLN（?;2）的简单随机样本，令1_2v(Xk-X)2,1XXk,SniJsX-1-?N(0,1);二.n2(n-1)S2.X与S相互独立，且CT2(n-1);2.两个正态总体的情形-X,设i,X2,X山为总体xL川叮町)的简单随机样本,2二17(Xk-%则n1童丸一22(n);.Xt(n

7、-1)。SnY,Y2,，丫呢为总体YLN(P2,;)的简单随机样本，且两个样本之间相互独立，令X二LXk,Y二LYk,S2J'(Xk-X)2,gJ'(Yk-丫)2n11主1n21_k_T2m11_k卫1v(YkJ2)2,Sw二n21玉玄2(n2'11±a2)S;+(n2-1)M、则n-i22 _： u F（mri2）；2 厂=2.（X丫）W2）Ln/、.，什12n弋（0,1）；.23=_tUF(m-1,门2-1)；5,22.若二12,则(XY)(叫一2)Lt(nn2-2)。、填空题【第六章作业】1、设Xi,X2,Xn,独立同分布，2且有有限的期望E（XQ工4与

8、方差D（XQ二匚0,则n充分大2、时，近似地有X1nXkN(?2n）,即分布于N（*;2）时，上述结论还是精确成立的X_!(0,1)特别当X1,X2,，Xn,独立设X1,X2，Xn,独立同分布，且有有限的期望(Xk)-与方差(Xk)=：;0,k=1,2,1n则Y二一送X:依概率收敛到nk吕(er2+42),即>0,有limP（一瓦X：-02+P2)c名)=1o3、设X1,X2,X3,X4是N（o,22）的简单随机样本，且=C-(Xi+X2)2+(X3X4)2L护（2），则4、5、C=18。设容量为n=9的样本之观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则该样本之观察值的样本均值为本方差

9、为s2=140810设X1,X2，Xn是N（f2）的简单随机样本，则XXkLN(；2n)n心二、单项选择题1、设X1,X2,X3是母体N（=二2）的简单随机样本，其中0未知，则下列选项中非统计量的是（C）:A.XiX2X3;B.maxX1,X2,X3A；C.(X12X；-X|V-2;D?Xi2、设X1,X2，Xn是母体B（1,p）的简单随机样本，则下列选项中错误的是(B,D):A.当n充分大时，近似地有XLN(p,p(1-p);n);B. P(X二k)=Cnpk(Ap)nJs,八0,1,2,n;C. P(X二kn)=C：pk(1-p)n=k=0,1,2,，n；kkn_kD. P(Xi=k)=C

10、nP(1-p),k=0,1,2,.,n。3、设XLIt(n)，贝y(A)：A.X2LF(1,n);B.X2LF(n,1);X2l2(n)；D.X2Lt(n)o4、设Xi,X2，,Xn是总体N（；n而M二一、(Xk_X)2,Snk22)的简单随机样本，令1nn-1k4(Xk)2,s2x-t:S2n-1XXk,S2(Xk-X)2,1nn兰岂n1兰念(Xk-?iy,则服从t(n_1)的是(C)：nyX-kD.t-S4.n5、设X1,X2,.XnX,nX利牡Xnm是总体N(0,c2）的容量为（nm）的简单随机样本，则统计量V=（m»X：）/（nWXn、）服从的分布是（C）:C. F （n,m

11、）;12人次的加工工时，测得如下数据（分钟）:,试求样本均值、样本方差、样本标准差。1二二/1二哲A.F（m,n）；B.F（n-1,m-1）；二、计算题1、为了研究某种零件的加工工时定额，随机观察了_ 1 n2 1 n _2 !2解：x Xk： 9.02, sn k吕9.8,7.8,8.2,10.5,7.5,8.8,10.0,9.4,8.5,9.5,8.4,9.8(Xk-X)：0.8359,s=s：0.9143n-1k生2、从一批人中随机抽取10人，测得每个人的身高，得到如下数据（cm）:173,170,148,160,168,181,151,168,154,177,求该样本观察值的样本分布函

12、数。解：该样本观察值的样本分布函数为：X(-?,148)148,151)151,154)【154,160)160,168)Fn(x)00.10.20.30.4X068,170)170,173)173,177)【177,181)【181严）Fn(x)0.60.70.80.913、在总体N（52.6,32）中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.八53.8之间的概率，解:由于XLN（怙2：n）*（52.6,0.52）,故-X-526P（50.8aX乞53.8）=P（3.62.4）二门（2.4）-乍（3.6）-1:（2.4）:0.99180.54、在总体N（20,3）中随机抽取两个容量分

13、别为10,15的独立样本，求两个样本均值只差的绝对值大于0.3的概率。2 nJ = N （20,0.2）,且相互独立，故解:由于XLN(?点2门】=N(20,0.3),X25、6、Xi-歹2LN(0,0.5),从而P(X-X2>0.3)=1-P(20.6628-i=0.3256。Xi-X20.5<0.3=2:(0.3*05)-1:2(0.42)-1设Xi,X2，X10是总体N(0,0.32)的简单随机样本，求由于Xi,X2，Xi0是总体N(0,0.32)的简单随机样本，故P(VX;i.44)=P(2vX;i6)0.ii”0PCX：i.44)oi兰总0叮、'X；L2(i0),从而0.3i兰即设Xi,X2，,Xi0是总体(n)的简单随机样本，求E(X),D(X),E(S)由于Xi,X2，Xi0是总体(n)的简单随机样本，故E(XQ=n,D(XQ=2n,i乞k乞i0,E(X)=ii0kiE(Xkrn,D(X)二亦/(XXOan,ii0E(S2)E('Xk2-i0X2i0K壬D(Xk)(EX