微分几何教案第三讲

1、§ 10 Weingarten 变换 W 变换，由而可证明：对于任意 则有我们称为自共轭。对于复线性空间V，任意，有故设是W的特征值，即 由即因 故 为实数。（即W称为自共轭时，为实数。）故W有两个实的特征值，设，单位的，是W的两个特征值对应的特征向量，即§ 11设 a 与b称为互相共轭的，如果。 设此时即若a与其自身互共轭时，称a为渐进方向。若曲线上一条曲线：上每点切向量都是渐进方向，则称此条曲线为渐进曲线。此时，切向量为 于是有当 与互共轭时，有 即即 定理 曲面S的参数曲线网是共轭曲线网充要条件是当S的参数曲线网是渐进曲线网，即都是渐进方向时，于是有定理 曲面S的参数

2、曲线是渐进曲线网充要条件是L=N=0。§ 12 曲面上的曲率曲面S：，p处一曲线c：为弧长参数。则 曲线这里为测地曲率向量在上的投影。为法曲率向量在n方向上的投影。法曲率只与的方向有关与大小无关！定理 若曲面上的两条曲线在某点相切（即在某点有相同的切向量，大小可以不同），则它们在这点的法曲率相同。证明：由 的公式立即可得。设为W的特征值。即 法曲率为W一变换的特征值。设 T为处任一单位切向量，则事实上，设 此为Euler公式。§ 13主方向、主曲率时，达到极值点。当 时， 则或故 或 为的方向，为的方向。称主曲率达到最大、最小两个方向：，为主方向 ，为主曲率。若在 则由 知

3、点的任何方向的法曲率都相等，此时称为S的脐点。此时有当时，称为平点；当时，称为圆点。§14 曲率线c：S上曲线，若在点的切线为曲面的主方向，则称c为S的曲率线。定理 曲线为曲面S的曲率线充要条件是存在函数使得：证：为曲率线，则为主曲率。§15 主曲率及曲率线的计算、总曲率、平均曲率设 为S的主曲率 为特征向量：因线性无关 即 因为特征向量），故不全为零。故 即 将上式展开得：定义： 曲率（总曲率）， 平均曲率。则上方程变为设 为两个主曲率，则以下计算K和H的公式：（因 ，故例 1、环面解：从而故当 时，即在环的外侧时，当 时，当 时，即环面的内侧时，。例 求曲面 的Gaus

4、s曲率K及平均曲率H。解：曲率线的计算：设c为曲率线，为它的主曲率，c的切向量为主方向，则有（由将上式展开整理得：因 不全为零，则即此为曲率线方程。§16 曲率线网设S上无脐点，则任意有两个独立的主方向，则可以选到参数使得两坐标曲线都是曲率线网，即均是主方向。此时，即故为主曲率。所以，我们得到：定理 在不含有脐点的曲面上，参数曲线网为曲率线网（即为主方向，此时§17曲面在一点邻近处的形状去掉高阶无穷小，这里，为曲率线。去掉中高阶无穷小得则在点用平行于Z轴的平面来截曲面S，则有当的点称为椭圆点。当的点称为双曲点。当的点称为抛物点。§18 高斯映射为切空间，为单位法向

5、量。映射（单位球面） 是点对应。 向量的对应。§19 曲率的另一表示由前面我们得到 展开即为另一方面把中区域映射到球面中区域，上的面积元素为上面积元素为则故因此，表示在映射下包含点的区域的象的面积与的面积的比，当收缩到的极限值。§20 曲率、平均曲率满足某些性质的曲面1 全脐点曲面曲面S如果 则S称为全脐点曲面。此时， 此时，曲面上任何方向都为主方向。为两主曲率，则 以下给出了所有的全脐点曲面。定理 全脐点曲面必是平面或者球面的一部分。证明：S全脐点曲面而由因 关于对称。不平行于若 由为常向量。为一平面方程。若 ，表示球心为2曲率为0的曲面不仿设取曲率线网为参数曲线网。（即均为主方向，此时，若 取为弧长参数为参数，即导致于是由而 取正交曲线网时，故 于是 是直纹面，为该直纹面的母线。因 故沿该直纹面的母线，切平面都相同。（沿，即 故 从而切平面相同。）因此，它是可展曲面。可展的直纹面只能是柱面、锥面和切线面，而柱面、锥面及切线面的从而得：定理 曲面S的曲面为可展曲面，即锥面、柱面或者切线面（平面当然有）。R