1[1].1.1归纳推理教案(北师大版选修2-2)

1、§1 归纳与类比1.1 归纳推理(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)引导学生发现归纳推理的特征、概括归纳推理的定义，知道归纳推理是科学发现的重要方法(2)掌握归纳推理的一般性步骤：“观察分析归纳猜想”，并能利用归纳推理解决简单问题2过程与方法通过具体实例的探究，使学生掌握观察问题的角度，培养学生分析问题的能力和抽象概括能力，体会从特殊到一般的认识规律3情感、态度与价值观(1)通过对具体实例的分析与探究，体会归纳推理是认识世界、改造世界的重要手段，培养学生探究精神和创新意识(2)通过本节的学习和运用，体会发现问题、提出问题的方法，树立用数学思维方式创新探究的意识，不断提高自身的数

2、学素养重点难点重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理难点：用归纳进行推理，做出猜想教学时应引导学生学会观察，例如先整体，再局部；哪些是共同点，哪些是区别？哪些量变化，哪些量不变，变化部分有什么规律？等等通过不断地观察、分析、归纳提出猜想，从而化解难点这一过程要让学生多探究、多交流，以便提高学生抽象概括能力通过对具体问题的简单求解，使学生理解归纳推理是根据一类事物中部分事物具有的特征，推断该事物中每个事物都具有这种属性的推理方式，明确归纳推理的特点，强化重点(教师用书独具)教学建议 本节内容属于数学思维方法归纳法，结合生活实例和学生已学过的数学实例(如数列)，把过去渗透在具体数学内容

3、中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并在今后的学习中有意识使用它提出猜想因此，本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心准备的具体问题情境下，让学生主动探究，然后通过师生、生生交流归纳、揭示规律，形成概念，获取方法，并在具体问题的求解中，深化规律，形成技能，使知识与思想方法得以升华教学流程运用规律，解决问题.利用归纳推理解决例2，加深对归纳推理的认识，初步认识归纳推理的特点. 变练演编，升华提高.通过习题1和习题2，让学生掌握归纳推理的一般步骤，可作变式训练，让学生学会观察. 课标解读1.理解归纳推理的定义2.能够利用归纳推理进行简单的推理(重点、难点)3.体

4、会归纳推理在数学发现中的作用.归纳推理【问题导思】1已知数列an的前5项依次为1,3,6, 10,15.这五项的变化是递增还是递减？有什么规律？【提示】递增；从第2项起，每一项与前一项的差成等差数列2猜想问题1中第6项的值【提示】213猜想出的结论一定正确吗？【提示】不一定1归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的数与式的归纳已知数列an满足a11，(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通项公式an；(2)根据(

5、1)中的猜想，有下面的数阵：S1a1S2a2a3S3a4a5a6S4a7a8a9a10S5a11a12a13a14a15试求S1，S1S3，S1S3S5，并猜想S1S3S5S2n1的值【思路探究】【自主解答】(1)因为a11，由知an1·an，故a22，a33，a44，a55.可归纳猜想出ann(nN*)(2)根据(1)中的猜想，数阵为：S11S2235S345615S47891034S5111213141565故S1114，S1S31151624，S1S3S5115658134，可猜想S1S3S5S2n1n4.1本题中通项an易于猜想，而猜想S1S3S2n1时，应注意将每个式子及其

6、结果同n的取值对应，并尝试用含n的代数式f(n)归纳2在对数与式进行归纳时，应坚持“先整体，后局部”的原则，先从整体上把握数与式的特征及变化规律，然后着眼局部变化规律的归纳在数列an中，a11，且an1(nN*)，猜想这个数列的通项公式【解】在an中，a11，an1，a2；a3；a4；猜想an的通项公式为an(nN*).图与形的归纳古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图111：图111由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数【思路探究】可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如11,312,6

7、123；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数【自主解答】法一由11，312，6123，101234，可归纳出第n个三角形数为123n.法二观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积归纳：第n个三角形数的石子数应为：.1通过图形中石子的排列规律，分析出三角形数的形成规律是解答本题的关键，同时较法二来讲也易于操作；实质上数列1,3,6,10，中从第2项起，每一项与前一项的差构成一个以2为首项，1为公差的等差数列，故这类数列求通项时，可借鉴三角形数的形成规律如猜想5,7,10,14,19，的通项时，可通过5

8、5,752,10523,145234,1952345，得an5234n5.2对于图与形的归纳一般有两种方法，一是通过图形中呈现的规律求解；二是将每个图形对应的数字求出后，分析各数的变化规律(如是增还是减？如何增减？等)后进而猜想，实质上就将问题转化为对数与式的猜想了(1)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图，如此继续下去，得图试用n表示出第n个图形的边数an_.图图图图112【解析】观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为4的等比数列，故an3×4n1.【答案】3×4n1(2)下面是

9、按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有an根树枝，则an1与an(n1)之间的关系是_图113【解析】由图可得，第一个图形有1根树枝，a11，第2个图形有3根树枝，即a23，同理可知：a37，a415，a531.归纳可知：a232×112a11，a372×312a21，a4152×712a31，a5312×1512a41，由归纳推理可猜测：an12an1.【答案】an12an1归纳推理的综合应用(2012·山东高考改编)已知数列an中，an9n8(nN*)，(1)试分别计算数列an中落入区间(9,92)和(92,94)内的项的个数；(2

10、)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的通项公式【思路探究】分别令9<an<92,92<an<94求解项数n的范围，并求对应项数；利用(1)中的方法解答(2)【自主解答】(1)令9<an<92，即9<9n8<92，解得1<n<9，故2n9，因此，数列an中落入区间(9,92)内的项的个数为8；同理，令92<an<94，解得91n93，故数列an中落入区间(92,94)中的项的个数为939；(2)由题意，令9m<9n8<92m，得9m1<n<92m1，9m

11、11n92m1，故bm92m19m1.1解答本题第(2)问的关键是通过第(1)问中两种特殊情况的求解，归纳出一般性规律从而使问题获解2归纳推理是一种从特殊到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段，是通过归纳得到结论或发现解决问题的途径的有效方法如图114所示，点M是椭圆1(a>b>0)上一动点，由点M到圆x2y2b2的两条切点MA，MB，切点分别为A，B.下面是探究当AMB时，椭圆离心率e的取值范围的过程图114连接OA，OB，MA，MB与圆相切，OAMA，OBMB，连接OM，AMB，AMO，|OM|b，又在椭圆中|OM|b，a，故ba，即2b2a2，2(a2c2)a

12、2，即a22c2，离心率e的取值范围是，1)(1)若将“AMB”改为“AMB”，试探究离心率e的取值范围(2)试将本题加以推广，得到一个一般性结论【解】连接OA，OB，OM，易知AMO，在RtAOM中，|OM|2b，又|OM|a，即2ba.故椭圆的离心率的范围是，1)(2)同上述解法，设AMB2(0<<)，则AMO，在RtAOM中，|OM|，又|OM|b，a，a，即a2c2a2sin2，整理，得a2cos2c2，故cos ，所以，离心率e的取值范围是cos ，1)忽视“项数n”与“命题”间的对应关系致误已知 2， 3，4， 5，则第n个式子为()A.n(nN*)B.n(n2)C.(

13、n1)(nN*)D.(n1)(n2)【错解】通过观察知3221,8321,15421,24521，故第n个式子为n(n2)，故选B.【答案】B【错因分析】本题解答忽视了“项数n”与“第n个命题”间的对应关系，即第1个式子中用1表示为(11) .【正解】n1时，有(11)，n2时，有(21)，n3时，有 (31)，同理n4，n5时，也有相同规律故猜想第n个式子为(n1)(nN*)应选C.【答案】C1归纳推理是由特殊到一般的推理，是发现一般性结论或解题方法的重要途径2归纳推理属于不完全归纳，故所得结论不一定可靠，需给出证明3归纳推理的思维过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳提出猜想.1在数

14、列an中，a10，an12an2，则an是()A2n2B2n2C2n11 D2n14【解析】当n1,2,3时，求得a22，a36，a414，观察知an2n2.【答案】B2已知数列an的前n项和Snn2·an(n2)，且a11通过计算a2，a3，a4，猜想an()A. B.C. D.【解析】可以通过Snn2an分别代入n2,3,4求得a2，a3，a4，猜想an.【答案】B3把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图115所示，则第七个三角形数是_图115【解析】第一个三角形数是1，第二个三角形数是123，第三个三角形数是1236，

15、第四个三角形数是123410.因此，由归纳推理得第n个三角形数是1234n.由此可以得出第七个三角形数是28.【答案】284平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数【解】n2时，交点个数：f(2)1.n3时，交点个数：f(3)3.n4时，交点个数：f(4)6.n5时，交点个数：f(5)10.猜想f(n)n(n1)(n2)一、选择题1已知数列，1,1，2，3，猜想该数列的第6项为()A4B4C5 D5【解析】将各项均写成假分数的形式为，即，故猜想第6项为5.【答案】D2观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 011的末两位数字为()A0

16、1 B43C07 D49【解析】7516 807,76117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 01174×5023，故其末两位数字为43.【答案】B3(2013·厦门高二检测)观察下列等式：1323(12)2，132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律第n个等式为()A132333n3(123n)2B1323n3123(n1)2C132333(n1)3(123n)2D132333(n1)3123(n1)2【解析】将各等式中的变化规律同n对应起来可知选D.【答案】D4有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案

17、，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图116A26 B31C32 D36【解析】设第n个图案有an个菱形花纹的正六边形，则a16×10，a26×21，a36×32，故猜想a66×6531.【答案】B5把正偶数列2n的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M(r，t)表示该表中第r行的第t个数，则表中的数2 014对应于()2468101214161820AM(45,14) BM(45,27)CM(46,14) DM(46,27)【解析】由题意2 014是数列2n中的第1 007项，而数阵中的前r行共有123r，令1 007知r最大值为44.

18、当r44时，前44行共有990项，故2 014位于第45行，第1 00799027个数，即M(45,27)【答案】B二、填空题6如图117所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_.图117【解析】依据图形特点可知当n6时，三角形各边上各有6个点，因此a63×6315.由n2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an3n3(n2，nN)【答案】153n3(n2，nN)7设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的

19、结论为_【解析】由题意f(21)，f(22)>，f(23)>，f(24)>，故一般的结论为f(2n).【答案】f(2n)8(2013·深圳高二检测)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)

20、f(fn1(x).【答案】三、解答题9在ABC中，不等式成立，在四边形ABCD中，不等式成立，在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，其不等式为什么？【解】不等式左边项数分别为3,4,5时，不等式右边的数依次为，其分子依次为32,42,52，分母依次为(32)，(42)，(52)，故当不等式左边项数为n个时，归纳猜想右边应为(n3，nN*)，故所求为(n3，nN*)10已知：sin230°sin290°sin2150°，sin25°sin265°sin2125°.观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明

21、之【解】一般性的命题为sin2sin2(60°)sin2(120°).证明如下：sin2sin2(60°)sin2(120°)cos 2cos(120°2)cos(240°2)2cos 60°cos(60°2)cos(180°60°2)cos(60°2)cos(60°2).11设an是集合2t2s|0s<t，且s，tZ中所有的数从小到大排列成的数列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：35691012(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求a100.【解】(1)由题意，a1，对应的有序数对(s，t)为(0,1)a2，a3对应的有序数对(s，t)分别为(0,2)，(1,2)；a4，a5，a6对应的有序数对(s，t)分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s，t)依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表(0