几何定理证明

1、5个基本事实:1. 两直线平行,同位角相等2. 同位角相等,两直线平行3. 边角边4. 角边角5. 边边边定理及其证明:1. 同角的余角相等。2. 对顶角相等。3. 两直线平行,内错角相等4. 同旁内角互补,两直线平行。5. 平行于同一直线的两直线平行。6. 三角形内角和为 180º。已知: ABC求证: A+ B+ C=180º方法证明:作 BC 延长线 CD ,过点 C 作 CE AB CE AB (已知 1= B (两直线平行,同位角相等 2= A (两直线平行,内错角相等 1+ 2+ ACB=180º(平角的定义 A+ B+ ACB=180º(等

2、量代换方法证明:过点 A 作 EF BC EF BC (已知 1= C , 2= B (两直线平行,内错角相等 1+ 2+ BAC=180º(平角的定义 C+ B+ BAC=180º(等量代换方法证明:作 CA 的延长线 AD ,过点 A 作 1= C 1= C (已知 AE BC (同位角相等,两直线平行 EAB= B (两直线平行,内错角相等 1+ EAB+ BAC=180 º(平角的定义 C+ B+ BAC=180 º(等量代换方法证明:在 BC 上任取一点 D ,过点 D 分别作 DE AB 交 AC 于 E , DF AC 交 AB 于 F .

3、 DE AB , DF AC B 2 B DE 1BED 112四边形 AFDE 是平行四边形(平行四边形的定义 BDF = C (两直线平行,同位角相等 EDC = B (两直线平行,同位角相等 EDF = A (平行四边形的对角相等 BDF + EDF + EDC =180°(平角的定义 A + B + C =180°(等量代换7. 两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等。已知:在 ABC 与 DEF 中, A= D, B= E , BC=EF 求证: ABC DEF证明:在 ABC 中, A+ B+ C=180º(三角形内角和等于 180º C

4、=180º- A- B (等式性质在 DEF 中, D+ E+ F=180º(三角形内角和等于 180º F=180º- D- E (等式性质 A= D, B= E(已知 C= F (等量代换 在 ABC 与 DEF 中 B= E BC=EF C= F ABC DEF(ASA8. 等腰三角形每个内角都为 60度。 9. 等边对等角。已知:在 ABC 中, AB=AC 求证: B= C证明:作 BAC 平分线 AD ,交 BC 于点 D AD 平分 BAC (已知 BAD= CAD (角平分线定义 在 ABD 与 ACD 中 AB=AC (已知 BAD=

5、CAD (已证 AD=AD(公共边 ABD ACD (SAS B= C (全等三角形对应角相等B CDAB C EA B C D E F310. 三线合一。已知:在等腰三角形 ABC 中, AB=AC, AD BC 求证:AD 平分 BAC,BD=CD 证明: AD BC (已知 ADB= ADC=90°(垂直定义 ABC 为等腰三角形(已知 AB=AC(等腰三角形定义 B= C (等边对等角 在 ABD 与 ACD 中 B= C (已证 ADB= ADC (已证 AD=AD ABD ACD (AAS BD=CD(全等三角形对应边相等 BAD= CAD (全等三角形对应角相等11.

6、等角对等边。 (辅助线不能选中线 已知:在 ABC 中, B= C 求证:AB=AC 证明:作 AD BC AD BC (已知 ADB= ADC=90°(垂直定义在 ABD 与 ACD 中 B= C (已知 ADB= ADC (已证 AD=AD ACD (AAS AB=AC(全等三角形对应边相等12. 线段垂直平分线上的点到线端两端距离相等。 已知:CD 是 AB 的垂直平分线, M 是 CD 上一点,CDCD4求证:MA=MB证明: O 为 AB 中点(已知 AO=BO CD AB (已知 MOA= MOB=90°(垂直定义 在 MOA 与 MOB 中 MO=MO(公共边

7、 MOA= MOB (已证 AO=BO(已证 MOA MOB(SAS MA=MB(全等三角形的对应边相等13. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知:MA=MB求证:M 在线段 AB 的垂直平分线上 证明:1. 当 M 不在 AB 上时过点 M 作 CD AB, 交 AB 于点 O CD AB (已知 MOA= MOB=90°(垂直定义 MA=MB(已知 A= B (等边对等角 在 MOA 与 MOB 中 MOA= MOB(已证 A= B (已证 MA=MB(已知 MOA MOB(AAS AO=BO(全等三角形的对应边相等 AO=BO MO AB CD 是线段 AB

8、 的垂直平分线 点 M 在线段 AB 的垂直平分线上2. 当 M 在 AB 上时 MA=MB M 是 AB 中点点 M 在 线段 AB 的垂直平分线上综上所述, M 是 AB 垂直平分线上的点。14. 三个角都相等的三角形是等边三角形。15. HL (利用勾股定理证明516. 角平分线上的点到角两边距离相等。已知:OC 平分 AOB ,点 P 在 OC 上, PD OA , PE OB. 求证:PD=PE证明: OC 平分 AOB (已知 AOP= BOP (角平分线定理 PD OA , PE OB (已知 PDO= PEO=90°在 PDO 与 PEO 中 AOP= BOP(已证

9、PDO= PEO(已证 OP=OP(公共边 PDO PEO (AAS PD=PE (全等三角形对应边相等17. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 已知:如图, PD OA , PE OB , PD=PE 求证:点 P 在 AOB 的角平分线上 证明:连接并延长 OP在 PDO 中, PD OA (已知 PDO 是直角三角形在 PEO 中, PE OB (已知 PEO 是直角三角形在 Rt PDO 与 Rt PEO 中 PD=PE(已知 PO=PO(公共边 Rt PDO Rt PEO (HL DPO= EPO (全等三角形对应角相等 OP 平分 AOB点 P 在 AOB 的角平

10、分线上18. 平行四边形对角线互相平分中, AC 、 BD 交于点 O 求证:AC 、 BD 互相平分证明: ABCD 是平行四边形 AB CD , AD BC(平行四边形定义 AB CD 1= 2, 5= 6(两直线平行,内错角相等 AD CBAO D E PCADPO EBDC6 3= 4(两直线平行,内错角相等 在 ABC 与 CDA 中, 1= 2(已证 AC=AC (公共边 5= 6(已证 ABC CDA (ASA AB=CD(全等三角形对应边相等 在 AOB 与 COD 中, 1= 2(已证 AB=CD(已证5= 6(已证 AOB COD (ASA AO=CO,BO=DO 即 AC

11、 与 BD 互相平分19. 平行四边形对边相等。 20. 平行四边形对角相等。 已知:ABCD 是平行四边形 求证: A= C, B= D 证明: ABCD 是平行四边形 AB CD AD BC AB CD A+ D=180° AD BC A+ B=180°(两直线平行,同旁内角互补 B= D(同角的补角相等 同理可得 A= C21. 矩形的四个角都是直角 22. 矩形的对角线相等。已知:在矩形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 交于点 O 求证:AC=BD证明:四边形 ABCD 是矩形(已知 AB=CD(矩形的对边相等 ABC= DCB=90°(矩形的四个内

12、角都是直角在 ABC 与 DCB 中 AB=DC(已证 ABC= DCB (已证B CAD7BC=CB(公共边相等 ABC DCB (SAS AC=DB(全等三角形的对应边相等23. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 已知:在 Rt ABC 中, B=90°, O 是 AC 中点 求证: B0=21AC 证明:延长 BO 至点 D ,使 BO=DO,连接 AD , CD BO=DO, AO=CO(四边形 ABCD 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形 在 中 , ABC=90° ABCD 是矩形(矩形定义 AC=BD(矩形的对角线相等 BO=DO BO=2

13、1BD=21AC(等量代换 24. 菱形的四条边都相等。25. 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 已知:在菱形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 交于点 O 。求证:AC BD , AC 平分 BAD 和 BCD,BD 平分 ADC 和 ABC 。 证明:四边形 ABCD 是菱形(已知 AB=BC=CD=DA(菱形的四条边都相等BO=DO(菱形对角线互相平分在 ABD 中, AB=AD, OB=OD AO BD , AC 平分 BAD (等腰三角形三线合一 同理可得:AC平分 BCD , BD 平分 ADC 、 ABC26. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知:在

14、四边形 ABCD 中, AD BC , AD=BC。求证:四边形 ABCD 是平行四边形。 证明:连接 BD AD BC (已知 ADB= CBD (两直线平行,内错角相等 在 ADB 与 CBD 中 (已知 ADB= CBD (已证DC DCA8DB=BD(公共边 ADB CBD (SAS ABD= CDB (全等三角形对应边相等 AB CD (内错角相等,两直线平行 在四边形 ABCD 中AD BC , AB CD (已证四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形27. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知:在四边形 ABCD 中, OA=OC,OB=OD,A

15、C、 BD 交于点 O求证:四边形 ABCD 是平行四边形证明:在 AOD 与 COB 中 (=OB OD CO AO 对顶角相等21 AOD COB (SAS 3= 4(全等三角形对应角相等 AD BC(内错角相等,两直线平行 同理得 AB CD AD BC , AB CD四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形 28. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 已知:在四边形 ABCD 中, AB=CD,AD=CB求证:四边形 ABCD 是平行四边形证明:连接 AC 在 ABC 与 CDA 中 (=公共边 CA AC DA BC CDAB ABC CDA (SS

16、S 1= 2, 3= 4(全等三角形对应角相等 1= 2 AD BC(内错角相等,两直线平行 同理得 AB CD AD BC , AB CD四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A B DB DA929. 对角线相等的平行四边形是矩形。 已知,平行四边形 ABCD 中, AC =BD 求证:平行四边形 ABCD 是矩形 证明: ABCD 是平行四边形, BC =AD , BC AD 在 ABC 与 BAD 中 AC=BD AD=BC ABC BAD ABC= BAD , BC AD ABC+ BAD =180° ABC= BAD =90°A

17、BCD 中, BAD =90° ABCD 是矩形30. 有三个角是直角的四边形是矩形。已知:在四边形 ABCD 中, A=90°, B=90°, D=90° 求证:四边形 ABCD 是矩形证明: A=90° B=90°(已知 A+ B=180°(互补定义 AD BC (同旁内角互补,两直线平行 A=90°, D=90°(已知 A+ D=180°(互补定义 AB CD (同旁内角互补,两直线平行 AD BC , AB CD (已证四边形 ABCD 是平行四边形(平行四边形定义在 ABCD 中, A

18、=90° ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形31. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。已知:在 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 交于点 O ,且 AC BD 求证:ABCD 是菱形 证明: AC BD AOB= AOD=90°(垂直定义 ABCD 是平行四边形 BO=DO(平行四边形对角线互相平分DC10在 AOB 与 AOD 中 AO=OA AOB= AOD BO=DO AOB AOD(SAS AB=AD在 ABCD 中, AB=AD ABCD 是菱形(菱形的定义32. 四边都相等的四边形是菱形。已知:四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA

19、求证:四边形 ABCD 是菱形 证明:连接 BD在 ABD 与 CDB 中 AB=CD AD=CB BD=DB ABD CDB (SSS 1= 2全等三角形对应角相等 AB CD (内错角相等,两直线平行 在四边形 ABCD 中 AB CD (已证四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 在 中 ,AB=BC四边形 ABCD 是菱形 (四边相等的平行四边形是菱形33. 有一组邻边相等的矩形是正方形。已知:四边形 ABCD 是矩形, AB=BC 求证:四边形 ABCD 是正方形 证明: ABCD 是矩形 ABCD 是平行四边形 且 ABC=90° 在 中,

20、 AB=BC ABC=90° ABCD 是正方形(有一组邻边相等,一个角为直角的平行四边形是正方形34. 有一个角是直角的菱形是正方形。 已知:四边形 ABCD 是菱形, ABC=90° 求证:四边形 ABCD 是正方形 证明:四边形 ABCD 是菱形, (已知 AB=CD(菱形的邻边相等且 ABCD 是平行四边形 在 中, ABC=90°, AB=CDA C D A CDABCD 是正方形 （有一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形） E 35. 在同一底上，两角相等的梯形是等腰梯形。 在同一底上，两角相等的梯形是等腰梯形。 已知：如图 1，在梯形 AB

21、CD 中，ADBC，B=C 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形 A 方法 1：证明：延长 BA、CD 相交于点 E B=C （已知） EB=EC （等角对等边） B ADBC （已知） EAD=B , EDA=C （两直线平行，同位角相等） EAD=EDA （等量代换） EA=ED （等角对等边） AB=BEAE CD=CECD （由图可知） AB=CD （等量代换） 梯形 ABCD 为等腰梯形 （梯形定义） 方法 2：证明：作 DEAB 交 BC 于点 E ABDE (已知 DEC=B （两直线平行，同位角相等） B=C (已知 B DEC=C （等量代换） DE=DC （等角对等边） ADB

22、E,ABDE (已知 四边形 ABED 为平行四边形 (平行四边形定义 AB=DE （平行四边形对边相等） AB=DC （等量代换） 梯形 ABCD 为等腰梯形 （梯形定义） 方法 3：证明：作 AMBC , DNBC AMBC (已知 AMB=90° （垂直定义） DNBC (已知 DMC=90° （垂直定义） AMB=DMC（等量代换） AM 和 DN 是梯形的高 AM=DN 在ABM 与DCN 中 B=C （已知） 11 D C A D C E A D B M N C AMB=DMC （已证） AM=DN （已证） ABMDCN （AAS） AB=DC （全等三角形对

23、应边相等） 梯形 ABCD 为等腰梯形 （梯形定义） 36. 等腰梯形同一底上两底角相等。 等腰梯形同一底上两底角相等。 已知：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC 求证：B=C 证明：作 DEAB 交 BC 于点 E A 四边形 ABCD 是等腰梯形（已知） AB=DC （等腰梯形定义） ADBE,ABDE (已知 B 四边形 ABED 为平行四边形 (平行四边形定义 AB=DE （平行四边形对边相等） DE=DC （等量代换） DEC=C （等边对等角） ABDE （已知） B=DEC （两直线平行，同位角相等） B=C （等量代换） 37. 等腰梯形两条对角线相等。 等腰梯形两条对角线相等。 已知：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC,AB=CD. 对角线 AC,BO 交于点 O。 求证：AC=BD 证明：四边形 ABCD 等腰梯形 ABC=DCB（等腰梯形的底角相等） 在ABC 与DCB 中 AB=CD ABC=DCB BC=BC ABCDCB(SAS AC=BD（全等三角形对边相等） 38. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 D 已知：如图，DE 是ABC 的中位线 求证：DEBC，DE= D C E A E