实数基本定理

1、 Ch 8 实数基本定理计划课时： 8 时 § 0 连续统假设简介 （ 2 时 ）一 数的发展简史：参阅数学分析选讲讲稿P6676（1997. 8.10 ）.1. 自然数的产生: 十九世纪数学家 Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数,其余则是我们人类的事了.2. 从自然数系到有理数系:3. 算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响. Pythagoras （约在纪元前六世纪）， Hippasus， Leonardoda Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid.4. 微积分的建立: Newton , Leibniz ; Eu

2、ler , Lagrange , DAlembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes数域.5. 实数系的建立: 十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.二. 连续统假设:1. 连续统假设: 以Cantor实数为例做简介. Cauchy ( 17891857, 法 ), Bolzano (17811845 ), Cantor (

3、18291920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert( 18621943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 ,其中的第一题就是所谓连续统假设. 首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著数学简史P160161 ). 连续统假设的研究现况.2. 实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限定理和实数完备性定理. § 1 实数基本定理的陈述 （ 4 时 ）一 确界存在定理：回顾确界概念 Th 1 非空有上界数集必有上确界

4、；非空有下界数集必有下确界 .二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 .三. Cantor闭区间套定理 :1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件> 对, 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; > . 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为: .我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,递减.例如 和都是区间套. 但、和 都不是.2. Cantor区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯

5、一的点,使对有. 简言之, 区间套必有唯一公共点.四 Cauchy收敛准则 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.例1 验证以下两数列为Cauchy列 : . .解 ; 对，为使 ，易见只要 .于是取 . .当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 ,又 .当为奇数时 , , .综上 , 对任何自然数, 有 . Cauchy列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列.证 对, 取, 有 .因此, 取 ,2. Cauchy收敛原理: Th 4 数列收敛 是Cauchy列.( 要求学生

6、复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. HeineBo

7、rel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族.定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 复盖了区间, 但不能复盖;复盖, 但不能复盖.2. HeineBorel 有限复盖定理: Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. § 2 实数基本定理等价性的证明 （ 4 时 ）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线

8、: 证明按以下三条路线进行: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ;: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;: 区间套定理 HeineBorel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .证 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 证 系1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.系2 若是区间套确定的公共点, 则有, , . 3. 用“区间套定理”证明“C

9、auchy收敛准则”:Th 4 数列收敛 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217218上的证明留作阅读 . 现采用3P7071例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由

10、Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见. 设.有.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二. “” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ） 2用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： Th 4 数列收敛 是Cauchy列.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限. Ex 1P223224 17，11.三. “” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“HeineB

11、orel 有限复盖定理”:证2. 用“HeineBorel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用3P72例4的证明. Ex 1P224 812 选做，其中 1 0 必做. § 3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) 一. 有界性: 命题1 , 在上. 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性: 命题2 , 在上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅1P226 证法 二 后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 ( 零点定理

12、 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 .令, 则非空有界, 有上确界. 设,有. 现证 , ( 为此证明且 ). 取> 且. 由在点连续和, , . 于是. 由在点连续和, . 因此只能有. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). Ex 1P232 1，2，5.四. 一致连续性: 命题4 ( Cantor定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅1P229230 证法一 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅1P229230 证法二 Ex 1P232 3，4， 6；P236 1，2，4. 习 题 课 （ 4 时 ）一 实数基本定理互证举例：例1

13、 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间 内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 . 设 , .易见有 和. 由，.例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间

14、, 使在内仅有的有限个点. .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设为有界无限点集. 构造数集 中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对,由不是的上界, 中大于的点有无穷多个; 由是的上界, 中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .二. 实数基本定理应用举例：例5 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅3 P76例10 证法1 )设集合 . 则, 不空 ; ,有界 .由确界原理 ,有上确界. 设, 则.下证.> 若, 有;

15、又, 得. 由递增和, 有, 可见. 由, . 于是 , 只能有.> 若, 则存在内的数列, 使, ; 也存在数列, ,. 由递增, 以及, 就有式对任何成立 . 令, 得 于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅3 P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为 . 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间 . 依此构造区间套, 对,有 . 由区间套定理, , 使对任何,有. 现证. 事实上, 注意到时和以及递增, 就有 .令, 得于是有.例6 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程 在区间 内有实根 . （ 西北师大2001年硕士研究生入学试题 ）证 构造区间套,使 .由区间套定理, 使对, 有. 现证 . 事实上, 由在上的递增性和的