第二章 一阶微分方程的初等解法

1、第二章 一阶微分方程的初等解法教学目的1、使学生掌握微分方程及解的有关概念，初等理解微分方程的几何解释及初值问题解的存在唯一性问题。2、能判断方程的类型，要求学生熟练掌握各种类型方程的相应解法。3、初步了解如何建立方程及讨论解的实际背景，训练学生初步解决实际问题的能力。本章重点：会判断方程类型，熟练掌握各种可积类型的解法。本章难点 各种可积类型的解法1、判断方程类型、特点及相应解法，学生往往不注意方程类型拿过来题就解，往往事倍功半。2、运用等倾线画积分曲线3、微分方程的应用课时安排：讲授16学时，习题课4学时作业安排：课上布置：50题 课外布置50题单元测试1次§2、1 变量分离方程

2、与变量变换数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式。这种联系着自变量未知函数及它的导数的关系式，数学上称之为微分方程。如：，微分方程包括常微与偏微本书仅讨论常微。2.1.1 变量分离方程与变量变换首先我们要介绍一类最简单的一阶方程，即变量分离方程 (1.10)的解法我们总假设在上连读，在连读。先讨论的情形。分析:设为（1.10）在上的任意一个解。代入方程后可建立一个积分方程。可证明积分方程确定的隐函数确定满

3、足条件的（1.10）的解。由此可以看出：求（1.10）的解的问题可通过求积分方程得到解。在具体求解方程时，往往把求积分过程写成不定积分的形式，即由解出，就是（1.10）的通解，所以是（1.10）的通解的隐式表达式。在常微分方程中，通常把解的隐式表达式称为微分方程的积分。且把方程的通解的隐式表达式称为方程的通积分。再来讨论若存在使的情形。易于证明为（1.10）的一个解。事实上，以代入（1.10）两端全为0，使其成为恒等式。于是，方程（1.10）除了通积分之外，还可能有一些常数解。例1、求解方程解：当时，方程化为或解出，得到通解另外也是方程的解。所以，可取任意常数。例2、求解方程解：当时 也是解（

4、不包括上述通解中）例3、求解方程的满足初始条件及的解。解：当时通解为为求满足初始条件的解，以代入上式，应有 代入通解，即得满足的解。 另外，易知为方程的解，且显然满足初始条件，故它是所求的第二个解。在通解公式中,当为负数时,通解所对应的积分曲线位于带形区域之中；而当为正数时，它确定了两条积分曲线，其中一条定义于上,它位于半平面上:另一条定义于,它位于半平面上。2º 变量可分离方程经常以微分的形式出现，即 （1.12）这时，x和y的地位是“平等的”，即x和y都有可能被选为自变量或函数。注意到：如果，则为方程的解。 同样，如果，则也是方程的解。在求解中不要丢失这些解。当时，用它除（1.1

5、2）两端，方程变成积分求解。例4、求解方程 解：首先，易于看出，为方程的解。其次，两端同除以，得到积分即得到方程的通积分为 (C0)或 注意:当时，包括了前面提到的特解。注：一般不必勉强从其求出解的显式表达式来。3°最后，我们还指出一点，初值问题 的解不一定是唯一的。例5、下列初值问题的解不唯一 (1.14)解:在区域y>0 中,方程为 积分后得到通积分(x>c) 或y= 又经验算,y= 在x=c出也满足方程,在原区域中的通解为 y= (x 0)以x=0,y=0 代入 得c=0 即 为方程满足y(o)=0 的一个解 。另外,y=0 显然也为一个所求的解,由此可见 所求初值

6、问题的解多于一个。2.1.2 可化为变量分离方程的类型1º 形如 (1.15) 的方程称为齐次方程。作变量替换，令，即。代入（1.15）得 ， 及 （1.16） （可分离）若，则是（1.16）的解，得 当 (1.16)的通积分为 或 即 （还原可得到通积分）例1、求解 解：令代入上式得 即 易于看出，为这个方程的解为原方程的一个解.当 时, 分离变量得 两端积分后还原 2º 形如 的方程是齐次方程下面考虑稍为广泛一些的方程 我们可通过变量变换把及 消去. 令,(为待定常数) 这与系数行列式有关，唯一解令, .未必有解 讨论如下：当, 与中至少有一个为零.若则原方程是变量分离

7、的。若时 则。这时可令 , 分离 .当时, 有关系 原方程化为 令 则 代入上面的方程，即得关于的新方程 这是一个变量可分离的方程，从而可以求解。例3、求解解：方程组 有解 令 代入原方程，得到新方程令 代入上式 , 得到新方程 ，整理后得到 积分得 即 或以代回，即得原方程的通积分 或例2、（补）抛物线的光学性质 汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物线面。就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面。将光源安置在抛物线的焦点处，光线经镜面反射就成为平行线了，这个问题在平面解析几何中已经作了证明。现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线。由于对称性，只考虑在过旋转的一个平面上的轮廓线L，从旋转轴

8、为ox轴，光源放在原点，设L之方程为为。由O点出发之光线经镜面反射后平行于ox轴。设为L上任一点，光线经反射后为，为M点的切线。为L在M点的法线，根据光线的反射定律，有 从而 因为的斜率为，的斜率为，所以由夹角正数公式，有 从而 即得到微分方程 由这方程中解出，得到齐次方程 令，即，代入上式 或 分离变量后得：令，上式变为 积分后得 或 即 两端平方得 化简后得 以 代入，得 这是一族以原点为焦点的抛物线。§2.2 线性微分方程与常数变易法1º 形如 （1.19）的方程称为一阶线性方程，其中p(x), q(x) 在上 连续。 当q(x)=0 时为线性齐次方程 （1.21）齐

9、次方程的解:(1) y=0 时是它的解。 (2) ,分离变量得 积分后得 ()或 () 又 y=0是解 ,故不论c 为任何常数，函数（1.22）均为（1.21）的解。为了求（1.21）满足初始条件 的解，可在（1.22）中采用定积分， 即将（1.22）写成以代入，得。于是，所求解为 （3）求非齐次线性方程的解。（常数变易法）令 代入方程中 得 （1.19）的通解的一般形式为 或 例1、求解 解：先求齐次方程的解。再用常数变易法求此方程的解。（4）结论：线性非齐次方程的通解，等于它所对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。（5）求解初值问题补题：求具有性质的函数，已知存在。常数变易法可采

10、取定积分形式，即将（1.24）改为代入（1.19）并化简，得，两端积分，即得 代入（1.26），得到 从 代入，应有。于是，所求初值问题的解为或 （1.27） 例2、求 的通解。解：齐次方程通解为 此方程通解为 2º 下面来求解形如 （1.29）的方程，称为贝努利（Bernoulli）方程。 方程两端除以化为线性方程，可求解。例3、求解 解为3º、利用线性非齐次方程的初值解公式。研究解的性质及“后值”。下面举例加以说明。例4、设函数在上连续且有界，试证明方程 的所有解在上有界。解：设为方程的任一解，它满足某初始条件。于是，由公式我们只证在上有界。设。于是，对有 §

11、2.3 恰当微分方程与积分因子1°考虑微分形式的一阶方程 定义： (1.6) 如果上式的左端恰为某二元函数U(x,y) 的全微分即 (1.30)则称(1.6) 是全微分方程或恰当方程.而函数U(x,y)称为微分式（1.30）的原函数。例如方程就是一个全微分方程。因为它的左端 恰为二元函数的全微分. 函数就是一个原函数。 又如方程 也是个全微分方程 . 如何求全微分方程。如：左边恰好是的全微分若为这个方程的解，应有恒等式，从而这就是未知函数的关系，由此可解出来，即：。一般地全微分方程的解法可表述为如下定理。定理1.1：假如是微分（1.30）的一个原函数，则全微分方程（1.6）的通积分为

12、 其中为任意常数。例1：求解解：展开后重新整理得：从而看到，我们必须熟悉一些常见的初等函数的全微分，并在此基础上掌握一定的技巧。此法称为观察法，步骤：(i)将方程分为若干组，使每组的积分因子能教容易求出。(ii)尽量把每组的积分因子的最普遍的表达式写出来。常用初等函数的全微分：选择它们的共同积分因子，这就是方程的积分因子。但是，对于一般的方程（1.6），如何判断它是否为全微分方程呢？这已是数学分析中早有的结论了，即：假如在矩形 上连续可微，则在 上是全微分方程的充要条件为：在上有 （1.32）于是（1.32）就是（1.6）在上为全微分方程的充分且必要的条件。如：因为 所以它是全微分方程，而不是

13、全微分方程。求法：设为（1.30）的原函数，显然应有，由第一个等式，应有 其中是的任意（可微）函数，为了使再满足 必须适当选取，使满足 由参变量积分的性质和条件（1.32），上式即为： 或从而应取积分后得到因为只要一个就够了，故取于是，函数 （1.33）就是所求的原函数，而全微分方程（1.6）的通积分是 （1.34）（1.6）满足初始条件的解，以代入（1.34），可定出，因此（1.6）满足初始条件的积分即为： （1.35）由隐函数定理可知，当时，由（1.35）所确定的满足的解也就是唯一的了。例2求解方程 略。例3求解初值问题 2°当方程不为全微分方程时，在一定条件下，我们可以把它化为

14、全微分方程。假如存在这样的连续可微函数，使方程 （1.36） 成为全微分方程，我们就把称为方程（1.6）的一个积分因子。易于看到，当时，方程（1.6）与（1.36）是同解的，下面就来研究求积分因子的方法。方程（1.36）是全微分方程的充要条件为：展开整理后，上式可化成： 或 （1.37）于是，为了求得，必须求解（1.37）一般地说，（1.37）是不易求解的。不过，对于某些特殊情况，（1.37）的求解问题也是比较容易的。 设方程（1.6）存在积分因子，则方程（1.37）就化成 或既然只与有关，而上式成立，故左端 （1.38）也只与x有关（即不含y）这样，方程（1.6）存在只与有关的积分因子的必要

15、条件是：（1.38）只与有关（不含）。下指出，这个条件也是充分的。设（1.38）只与有关（即不含），且为方程 （1.39） 的解.易于看出， 是方程（1.37）的一个解，从而是（1.6）的一个积分因子. 结论：当（1.6）给定后，假如（1.38）与无关，则（1.6）存在与无关的积分因子，且可由求解方程得到。同理可证，当表达式与无关时，方程（1.6）存在与无关的积分因子，且可求解方程 （1.41）得到。例4求解 解：因为与无关，故原方程存在只与有关的积分因子。 求解方程得到于是，方程为全微分方程。 且，故这方程与原方程同解。 取于是通积分为即：上面方法虽然很好，但是，在有些情况下，利用所熟悉的全

16、微分，能够更简单地“凑“出积分因子来，而且还能解决上述方法不能解决的问题。 例5 求解解:因为 所以方程不是全微分方程，不过，如果把原方程改写成 可以看出方程有积分因子，因为，上式两端同乘后有： 即 从而得到方程的通积分 或 例6求解解：因为且不存在形如或的积分因子。但改写成 可知有积分因子 化成本节例1。3°全微分方程有很具体的物理背景。略4°到此为止，我们已经介绍了变量可分离、齐次、一阶线性和全微分方程的解法，及可化为这些方程的方程类型。归结为初等积分法。这种方法是常微理论中古典的，比较初等的部分，但是也是最基础的部分，同时这种方法在实际中的应用也很广泛，因此我们应当熟

17、练地掌握它。难点：方程类型较多，不易判断。解决方法提供如下： 检验所考虑的方程是不是变量可分离方程，如不是再分两种情况如即非可分离又不是齐次方程与线性方程。但是却是关于的线性方程。以上均失效，再检验它是否是全微分方程，或可找到积分因子，应当灵活地运用各种解题的技巧。另外：注意解的过程可能会产生增解。最后：尽管介绍了好几种，但可积类型为数“很少”的。有关这方面介绍一下即可。 §2.4一阶隐式微分方程与参数表示目的：熟练掌握一阶隐方程的初等积分法。并理解包络，奇解等概念。难点：奇解的求法教学内容 关于隐方程的求解方法。 （1） 假如能从（1）中把解出，那么就得到一个或个显方程积分这些显式

18、一阶微分方程，就得到（1）的解。例1、求解方程 解：方程左端可以分解因式，得从而得到两个方程 但一般不易求出，或者即使能求出，也不一定是可积的微分方程。下面介绍几种方法（微分积分法）由（1）可解出，即 （2）这里引入参数，于是 （3）将（2）对求导可解假如（3）能求出通解代入（2）中得（1）通解若只能求得（3）通积分则与（2）联立，即消去，可得到（1）的通积分例2、求解 解：令对求导<> <>作为上面的重要类型介绍方程 （4）令代入（4）中 （5）假定 代入（5）中得通解取与（5）联立故第一式存在隐函数代入二式得一个解这个解也可以由联立方程来表达。于是方程除之外，还有一

19、个由联立所确定的解（这个解，后面还要讨论）可解出，即它与（2）方法相似引入参数，有 （6）将上式对求导即这是可解出的方程，通解为代入（6）中若能求得通积分将它与（6）式联立，得消去可得通积分。例3、求解略（参数法求解）如果不能解出或或者即使可以解出其中某一个，但所得到的方程不易求解，则可用参数方程来求解，我们只讨论两种特殊情形。<i>不显含 （7）而且它可以表为参数形式这时，由于可知从而于是可得到（7）式的参数形式的解<ii>不显含 （8）设其可表示参数形式从而得到参数形式的解例4、求解 解：令 有于是积分得到通解为消去：例5、 解：令 则 从而§1.7 一阶

20、微分方程应用举例 通过前面的一些例子，我们已经看到常微分方程是解决实际问题的有力工具。这一节我们再来举几个例子。帮助大家进一步掌握用微分方程来解决实际问题的方法，一般来说可分如下三个步骤：（1） 根据所给的条件列出微分方程和相应的初始条件。（2） 求解微分方程（3） 通过解的性质来研究所提出的问等角轨线定义：我们来求这样的曲线或曲线族。使得它与某已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度。这样的曲线称为已知曲线族的等角轨线。当所给的角为直角时，等角轨线就成为正交轨线。在其它学科（如天文，气象）中都用应用(后继课微分几何应用)下面就来介绍求等角轨线的方法<i>把问题明确进一步明确一下设

21、在 平面上，给定一个单参数曲线族： 求这样的曲线L 使得L与 中每一条曲线的交角都是定角 。<ii>设L的方程为（求出所应满足的关系式）我们先来求出所应满足的微分方程，也就是要先得的关系式。由条件可知L与的曲线相交成定角于是可以想见，和 必然应当与中的曲线及其切线斜率有一定的关系。事实上，当 时 有或 当 时， 有又因为在交点处，于是，如果我们能求得的关系，即曲线族所满足的微分方程 （4） 只要把和（2）或（3）代入（4）中就可以求得 的方程了。<>如何求（4）呢？采用分析法。设为中任一条曲线，于是在相应的C使得 （5） 因为要求的关系，将上式对求导数，得 这样将两式联

22、立 即由消去就可以得出所应当满足的关系 这个关系称为曲线族 的微分方程.于是,等角轨线（）的微分方程就是而正交轨线的微分方程为=0 似用代替。求得方程的解即为等角轨线的求法。<>由此得到等角轨线的求法。（1）先求曲线族的微分方程 （2）在方程中，将替换成（或），则得等角（或正角）轨线的微分方程 2°、在动力学中的应用在动力学中，往往根据牛顿第二定律：来导出微分方程的。例1、 一质量为的质点，在平行力 F的作用下沿 轴运动，则根据力F 的不同情况出现不同的形式的微分方程，如：<>如果只与和有关 即 ,<>如果只与时间和速度有关，即则（1）可以化为一阶

23、微分方程 <>如果至于位置和速度有关，即此时注意到 于是（1）化为 （可化为一阶方程）例2、物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下（低音速的），空气阻力看做与速度的平方成正比，试证明在这情况下落体在极限速度解：设物体质量为，空气阻力系数又设在时刻物体的下落速度为，于是在时刻物体所受的力为 从而，由牛顿定律列出方程为注： 积分 或时， 据测控。据测定练：一质量为的物体，在某种介质中由静止自由下落，假设介质的阻力与速度成正比，试求物体运动规律。 条件时， 思考：一链条悬挂在钉子上，起动时一端离开钉子8米，另一端离开钉子12米，分别在以下两种情况下求链

24、条滑下来所需时间若不计钉子对链条所产生的摩擦力若摩擦力为链条1米长的重量3°流体混合问题：容器内装有物质A的流体，设时刻时，流体体积为，物质A 的质量为（浓度当然也就知道了）今以速度（单位时间的流量）放出的流体，而同时又以速度注入浓度为的流体是求时刻时容器中物质A的流体的浓度。这类问题称为流体混合问题。它是不能用初等数学解决的，必须用微分方程来计算。首先，我们用微元法来列方程，设在时刻，容器内物质A的质量为，浓度为，经过时间后，容器内物质A质量增加。于是有关系 因为代入上式或 这是一个线性方程且初始条件为可求了。例3、某厂房容积为经测定，空气中含有0.2%的开动通风设备以的速度输入含

25、有0.05% 的的新鲜空气，同时又派出同等数量的室内空气，问30分钟后室内所含的百分比。解：设在时刻，车间内的百分比。当时间经过之后，室内的改变量为：于是有关系或 分离积分求出，分钟=1800秒 代入 基本上是新鲜的空气了。 本章小结：本章介绍了形如 或 和 方程求解问题。1、 主要介绍了五种类型的方程的求解问题：变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程及全微分方程。实际上作为基础的不外是变量分离方程和恰当方程（含微分方程）。其它类型的方程均可借助变量变换或积分因子化为这两种类型。它们可简略地表示如下图。变量分离方程线性方程恰当方程齐次方程2、 方程为隐方程 能就解出 或则令 后，化为求解

26、关于与（或）之间的一阶方程： 或 再求解。 对形如 或 的方程引入参数，将方程表示为参数形式。再注意到关系式，就将问题转化为求解关于与的一阶方程归结到上述五种类型之一。最后工作就是求积分问题。习题课 目的：对1-5节内容即初等积分法（显方程）求解方法的归纳，并通过几个典型例题的讲解，使学生认识到一阶方程解法的灵活性，多样性。 关于一阶方程的通解公式和通解结构定理，也是一重要的内容。特别是对解的性质的研究十分重要，应该是提起注意。 1、对前面几种方法的总结。 2、通过几个例子看如何具体地灵活运用。 例1、求解方程解：这显然不是变量可分离方程，也不是前面提到的其它类型方程，此时需要通过适当变换方能变成我们求解的类型。法（1）：原方程变形为可见，若把看成自变量，为的函数，则方程 就是一个典型的一阶线性方程，从而可解，使用常数变易法可解得法（2）：