第四十八 二重积分的概念与性质

1、第四十八 二重积分的概念与性质 重点：二重积分的概念难点：二重积分的概念一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积。在空间直角坐标下，设有一立体，它的底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，它的顶是是曲面，这里且在上连续（图101）。这种立体叫做曲顶柱体。下面我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积。我们知道，对于平顶柱体的体积的体积公式 体积=高´底面积。对于曲顶柱体，当点（，）在区域 上变动时，高度是个变量，因此它的体积不能直接用上面的公式来计算。但是，我们可以仿照计算曲边梯形的面积的思想来计算曲顶柱体的体积。（1）分割。用一组曲线网将区域任意分成个小闭区域：，

2、。以（）表示第个小区域的面积（图102）。然后分别以这些小区域的边界为准线，作母线平行于轴的柱面。这样，把原来的曲顶柱体分成个小曲顶柱体（图103）。（2）近似替代。在第个小区域上任取一点，用以为高、为底的平顶曲顶柱体的体积近似替代第个小曲顶柱体的体积，即 。（3）求和。将这个小曲顶柱体的体积相加，得到原来曲顶柱体体积的近似值，即 。（4）求极限。令，其中表示第个小区域的直径。如果当时，和式的极限存在，则将其极限值定义为曲顶柱体的体积，即 。2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有平面上的区域，它的面密度（单位面积上的质量）为，这里且在上连续。现在计算该薄片的质量。如果薄片是均匀的，即面密度是常数

3、，那么薄片的质量可以用公式 质量=面密度´面积来计算。现在面密度是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算。但是上面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全可以用来处理这个问题。（1）分割。用一组曲线网将区域任意分成个小闭区域：，。以（）表示第个小区域的面积。（2）近似替代。每个小区域对应的小薄片可以近似地看作均匀薄片，在第个小区域上任取一点，则 可看作第个小块的质量的近似值（图102）。（3）求和。将这个小块的质量相加，得到薄片质量M的近似值，即 。（4）求极限。令，其中表示第个小区域的直径。如果当时，和式的极限存在，则将其极限值定义为平面薄片的质量，即 。尽管上面两个问题的实际意义不同，

4、但所求量最后都归结为具有同一结构的和式的极限。由此我们给出二重积分的概念。定义 设二元函数在有界闭区域上有定义。将区域任意分成个小区域 ，其中表示第个小区域，也表示第个小区域的面积。在第个小区域上任意取一点，作和。如果当各小区域直径中的最大值l趋于零时，和式的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即=。此时，也称在上可积，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是函数在底面对应区域上的二重积分，即 ；平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分，即。与定积分一样，二重积分也具有明显的几何意义。当时,

5、二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当时，柱体在平面的下方，二重积分表示该柱体体积的相反值；当在上有正有负时，如果我们规定在平面上方的柱体体积取正号，在平面下方的柱体体积取负号，则二重积分的几何意义就是它对应的曲顶柱体体积的代数和。由二重积分的几何意义，知。二、二重积分的性质二重积分与定积分有类似的性质。性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 （为常数）性质2 两个函数和差的二重积分等于它们二重积分的和差，即。性质3 如果区域被分成两个小区域和，则在上的二重积分等于在小区域、上的二重积分的和，即。这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性。性质4 如果在上，s为的面积，则。性质5 如果在上，则。推论 函数在上的二重积分的绝对值不大于函数的绝对值在上的二