【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题14 复数 理（2007-2012）

1、【2012年高考试题】1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位，则=A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 3.【2012高考真题四川理2】复数（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B 【解析】4.【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选B.5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方

2、程的一个复数根，则（ ）A B C D6.【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】。故选A。7.【2012高考真题辽宁理2】复数(A) (B) (C) (D) 9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位，则复数=A6+5i B6-5i C-6+5i D-6-5i 【答案】D【解析】=故选D10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i【答案】A. 【解析】根据知，故选A.11.【2012高考真题北京理3】设a，bR。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”

3、的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.【2012高考真题安徽理1】复数满足：；则（ ） 13【2012高考真题天津理1】i是虚数单位，复数= （A） 2 + i （B）2 i （C）-2 + i （D）-2 i【答案】B【解析】复数，选B.14.【2012高考真题全国卷理1】复数=A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C【解析】，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则 16.【2012高考真题上海理1】计算： （为虚数单位）。【答案】【解析】复数。17.【2012高考江苏3】（5分）

4、设，（i为虚数单位），则的值为 18.【2012高考真题湖南理12】已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_.【答案】10【解析】=，.【2011年高考试题】一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（A） （B） （C）（D）【答案】 A【解析】 故选A5(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ） A1+i B1-i C2+2i D2-2i【解析】B.由

5、题得所以选B. 6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）（A）2 （B） (C) (D)1答案： B解析：,a>0,故a=.7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）A B C D;8.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为=，所以复数,选D.9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 A3125 B5625 C0625 D812510(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

6、向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是12(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=A.iB.1C.iD.1答案：A解析：因为,故所以选A.13(2011年高考陕西卷理科7)设集合，则为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：由即由得即故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数（A） (B) (C) (D) 解析：选B. 。二、填空题:1. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的

7、分母为,故当且时，.2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线3. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至

8、少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）4(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第个等式为 【答案】3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_【答案】1【解析】因为，所以,故的实部是1.三、解答题:1(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）（）设证明，（），证明.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】：()由于，所以要证明：

9、只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：由于，上式显然成立，所以原命题成立。2. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，3. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当

10、时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1） ；（2） .答案：2; 10934. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有解：由知，而且，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2 由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.当时，显然成立，假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立5. (2

11、011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,【解析】（1）由令，当当时，6(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）【解析】解：（1）证明：切线的方程为当当 （2）的方程分别为求得的坐标，由于，故有1）先证：（）设当当（）设当注意到 （3）求得的交点而是的切点为的切线，且与轴交于，由（）线段Q1Q2，有当在（0，2）上，令7. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行

12、推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：（）的定义域为，令，解得，当时，在（0，1）内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值（）（1）由（）知，当时，有，即，从而有，得，求和得,即.8.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，【解析】：（） 故（）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率由（），当即有故10(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推

13、理能力，较难题。（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。（2）设，则对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；当n-1被3整除时，解数一共有：当n-1被3除余1时，解数一共有：当n-1被3除余2时，解数一共有：11(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为

14、a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为【2010年高考试题】（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A） （B）（C） （D）解析：可对选项逐个检查，A项，故A错，B项，故B错，C项，故C错，D项正确。（2010全国卷2理数）（1）复数（A） （B） （C） （D）【答案】A 【解析】.（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则（A） (B) (C) (D) （2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2C. x

15、=1，y=1 D. x=1，y=2（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算ii2i3（A）1 （B）1 （C） （D）解析：由复数性质知：i21故ii2i3i(1)(i)1答案：A（2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ）A4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.32. A（2010全国卷1

16、理数）(1)复数(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13（2010山东理数）(2) 已知（a,bR），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)31.（2010安徽理数）1、是虚数单位， A、B、C、D、1.B【解析】，选B.【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.2. （2010福建理数）（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I ，则=_.解析：（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。答案：（-1,1） （2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=

17、6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。（2010湖北理数）1若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是AE B.F C.G D.H 1【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，1），故D正确.【2009年高考试题】21( 2009·天津理1) i是虚数单位，=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i考点定位本小考查复数的运算，基础题。解析：，故选择D。23( 2009·浙江文理3)设（是虚数单位），则（ ）A

18、 B C D答案：D 命题意图本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度解析对于24( 2009·山东文理2)复数等于（ ） A B C D 26( 2009·辽宁理2)已知复数，那么= 28 (2009·广东理2) 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，A 8 B 6 C 4 D 2解析，则最小正整数为4，选C31 (2009·福建理13) 复数的实部是 -1 。解析 =-1-I,所以实部是-1。32 (2009·福建理11)若（i为虚数单位， ）则_ wwwks5ucom 答案：2 解析：由，所以故。【2008年高考试题】3（2008·