向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版

1、极化恒等式引例：平行四边形是标向量加法和减法的几可模型。 你能用向量方法证明：平行四边形的对角线解方和 等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设45 = a,AZ） = B,AC = a+b9DB =a-b,10 2+ 2a-b + b=()一叶叩127B + F(1)(2)2（1）（2）两式相加得:结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1） （2）两式相减，能得到什么结论呢（" 一 "极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式 的几何意义是什么 几何意义；向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边

2、的平行四边形的“和对角线”与 “差对角线”平方差的;.即：a-b = -DB2 （平行四边形模式）思考：在图1的三角形题中（必为帅的中点），此恒等式如何表示呢因为AC = 2AM,所以“小=（三角形模式）例L （2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中点，AW=3,8C = 10,则福衣=目标检测（2012J匕京文13改编）已知正方形勺边长为1, 点K是A笈边上的动点，贝瓦法的值为.例2.（自编）已知正三角形136接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点, 则通.函I勺取值范围是.目标检测（2010福建文11）若点。和点尸分别为椭圆工+:=1的中心和左焦点，点P 43为椭圆上的任意一

3、点，则成不用J最大值为（）A 283C.6D.8例3. （2013浙江理7）在八43。中，外是边A8上一定点，满足庶8 = ；AB,且对于边A3上任一点p,恒有phpdz凡启则（ ）A. ZABC = 90 B. ZBAC = 90 C. AB = AC例4.（2017全国2理科12）己知AA8C是边长为2的等边三角形，P为平而ABC内一点,则西.（而+正）的最小是（）c34,A. -2B. C. D. -123课后检测1 .在AA8C中，N8AC = 60若48 = 2, 8C = JJ, O在线段4c上运动，丽凉的最小值为2 .已知A8是圆。的直径，A8长为2, C是圆。上异于A 8的一点

4、，尸是圆。所在平面上 任意一点,贝IJ （西+而）正的最小值为3 .在AA3C中，AB = 3, AC = 4, ZBAC = 60 ,若P是AA3C所在平而内一点，且 AP = 2,则方无的最大值为24 .若点。和点尸（一2,0）分别是双曲线二一卡=1（。0）的中心和左焦点，点p为双曲线 cr右支上任意一点则OP- FP的取值范围是.5 .在RfAABC, AC = BC = 2,已知点尸是AABC内一点，则无.（而十两的最小 值是.6 .已知A、8是单位圆上的两点，。为圆心，且NAO8=12（T,AfN是圆。的一条直径，点。在圆内，且满足沅=月加+ （1丽则说丽的取值范围是（）A. 151

5、）-1） C. -D,1，°）7 .正AA8C边长等于6,点P在其外接圆上运动，则而丽 的取值范围是（A.B.3 j_2,2j_ 35'5D.112'28 .在锐角AA3C中，已知8 =。，|aS-AC| = 2,则A与乂3的取值范围是（2008浙江理9）已知£,渥平面也个互相垂直的单位向量 若向量端足9 .（"二）.（坂二）=6,则口的最大值是（）AA B.2C.41£>.2平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平而向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知3 = 4

6、赤+ 无，若九+ = 1,则A,民。三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底刀,砺及任一向量OA, OP = AVA + pOBA,ieR）,若点尸在直线A3上或者在平行于A8的直线上，则4 + "=攵（定值），反之也成立，我们把直线A3以及与直线A8平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线A8时，k = l；（2）当等和线在。点和直线A8之间时，Ar （0,1）；（3）当直线48在点。和等和线之间时，攵w（l,*g）；（4）当等和线过。点时，k=0：（5）若两等和线关于。点对称，则定值互为相反数:【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线：2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点

7、的可行域，分析何处取得最大值和最小值：3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值：说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着 少数服从多数的原则，优先平移固定的向量：若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平而向量。4和。后，它们的夹角为120°,如图所示，点。在以。为圆心的圆弧A8上变动。若沅=+ y砺，其中则x+y的最大值是OI >跟踪练习：已知。为AABC的外心，若cos/A8C = , AO = 4A3 + AC,则几十的 最大值为例2、在平面直

8、角坐标系中，0为坐标原点，两定点满足砺1=0底砺=2,则点集PI丽=4方+ 砺,1丸1 + 1匕1,人£/?所表示的区域面积为例3、如图，在扇形OA5中，4408 = 60°, C为弧A8上不与A8重合的一个动点，OC = xOA + yOB ,若 =x + /ly （九 0）存在最大值，则4的取值范围为.跟踪练习：在正方形A3CO中，E为BC中煎,P为以A8为直径的半圆弧上任意一点， iAE = xAD + yAP,贝U2x + y 的最小值为.【强化训练】1、在正六边形A8CQEF中，尸是三角形CQE内（包括边界）的动点，设方=x而+ y就， 则x+y的取值范围.2、如

9、图，在平行四边形A3CQ中，M,N为C。边的三等份点，S为AM、BN的交点、,P为边A8上的一动点，。为ASMN内一点（含边界），若而=不而+、丽，则x+y 的取值范惘.d2r1 ?3、设DE分别是AA8C的边AB , 3C上的点，AD = -AB > BE = -BC ,若2de=a,ab+a2ac （4,4为实数），则4+4的值为4、梯形 ABC。中，AD±AB, AD = DC = , A8 = 3, P 为三角形 BCD 内一点（包 括边界），AP = xAB + yAD,则x + y的取值范围.5、己知 1)1=1/瓦 1=", OAOB = 0,点。在 NAO8 内，且 NAOC = 300,设OC = mOA + nOB,则”的值为.n6、在正方形A8CO中，E为AB中点,P为以A为圆心，A8为半径的圆弧上的任意一点，设衣=+ y衣，则x + y的最小值为.7、己知IZ而1=1两1=1, 而=1两+，丽（北旷为实数）。若"MN为以M为直角顶 点的直角三角形，则xy取值的集合为8、平面内有三个向量/，砺，反，其中。无历夹角为120°,。火反的夹角为30°,且 OAOB=OC=2 ,若 OC = mOA + nOB ,贝ij m + n 的值为9、如图，A,3,C是圆。上的