信号与系统(郑君里)复习要点

1、信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。第一章 信号与系统1、信号的分类连续信号和离散信号周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。能量信号和功率信号因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷）2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间

2、变换运算 （反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a) 例：3.2序列(k)和(k)f(k)(k) = f(0)(k) f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统线性性质T af (·) = a T f (·)(齐次性)T f1(·)+ f2(·) = T f1(·)+T f2(·) （可加性） 当动态系统满足下列三个条件时

3、该系统为线性系统： y (·) = yf(·) + yx(·) = T f (·) , 0+ T 0，x(0) (可分解性)Ta f (·) , 0 = a T f (·) , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 (·) , 0 + T f2 (·) , 0(零状态线性)T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)(零输入线性)4.4时不变系统与时变系统T0，f(t - td) = yf(t - td)(时不变性质)直观判断方法： 若f (·)前出现

4、变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI连续系统的微分特性和积分特性微分特性：若 f (t) yf(t) ， 则 f (t) y f (t) 积分特性：若 f (t) yf(t) ， 则4.5因果系统与非因果系统5、系统的框图描述第二章 连续系统的时域分析1、LTI连续系统的响应1.1微分方程的经典解y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，

5、y(0)=0时的全解2、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法系数平衡法 系统方程两端对应系数相等由单位阶跃响应求单位冲激响应，即 例y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 3、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。4、卷积积分4.1定义 4.2 任意信号作用下的零状态响应4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法4.4 卷积积分的性质 交换律结合律分配律积分性质 微分性质 任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*(t) = f(t) ；f(t)*(t)卷积的时移性质 f1(t t1)* f2(

6、t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 第三章 离散系统的时域分析1、LTI离散系统的响应1.1差分与差分方程1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）1.2.1y(k) = yh(k) + yp(k) 当特征根为单根时，齐次解yn(k)形式为： Ck当特征根为r重根时，齐次解yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 当特征根为一对共轭复根 时，齐次解yn(k)形式为：1.2.2 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r1） 。 所有特征根均不等于1时; yp(k)

7、=Pmkm+P1k+P0有r重等于1的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激励f(k)=ak 当a不等于特征根时; yp(k)=Pak 当a是r重特征根时; yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(k)或sin(k) 且所有特征根均不等于e±j ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k) 若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应2、单位序列响应和阶跃响

8、应2.1 单位序列响应 2.1.1定义2.1.2 求法递推求初始值，求齐次差分方程的解例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应h(k)。 例 若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应h(k) 2.2 阶跃响应2.2.1定义，h(k) =Ñg(k) 2.2.2 求法3 常用序列4 离散信号的卷积和4.1 任意序列的分解f(k)4.2列作用下的零状态响应4.3 定义4.4 卷积和的求法 4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i)（2）反

9、转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。注意：k 为参变量。4.1.2 不进位乘法求卷积例f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=04.2 卷积和的性质4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.4.2.2f（k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0) 4.2.3. f(k)*(k) = 4.2.4f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 4.

10、2.5 Ñf1(k)* f2(k) = Ñf1(k)* f2(k) = f1(k)* Ñf2(k) 第四章 连续系统的频域分析1 傅里叶级数1.1 傅里叶级数的三角形式 1.2 波形的对称特性和谐波特性A .f(t)为偶函数对称纵坐标 展开为余弦级数B .f(t)为奇函数对称于原点 展开为正弦级数C f(t)为奇谐函数f(t) = f(t±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量D f(t)为偶谐函数f(t) = f(t±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。1.3 傅里叶级数的指数形式 n = 0, ±1, ±2， 2 周期

11、信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。例：周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图。3 傅里叶变换3.1 定义3.2 常用函数的傅里叶变换（1）单边指数函数f(t) = eat(t)， a >0实数（2）双边指数函数f(t) = eôatô , a >0 （3）门函数(矩形脉冲)（4）冲激函数d(t)、d´(t) （5）常数1 （6）符号函数（7）阶跃函数3.3 傅里叶变换的性质a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F

12、2(j) （1）线性 （2）时移性质(Timeshifting Property)F( jt ) 2f ()（3）对称性质(Symmetrical Property)（4）频移性质(Frequency Shifting Property)（5）尺度变换性质(Scaling Transform Property)（6）卷积性质(Convolution Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)（7）时域的微分和积分（8）频域的微分和积分(jt)n f (t

13、) F(n)(j) （9）怕赛瓦尔关系（10）奇偶性(Parity)4 周期信号的傅里叶变换5 连续系统的频域分析5.1Y(j w) = F(j w)H(j w)5.2 无失真传输y(t) = K f(ttd) Y(jw)=Ke jwtdF(jw) 例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)6 抽样定理第五章 连续系统的s 域分析二、求解方

14、法1、部分分式展开法（1）F(s)为单极点（单根）（2）若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = a±jb)（3）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 三、系统的s域分析方法思路：用拉普拉斯变换微分特性例1 描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5coste(t)，求系统的全响

15、应y(t)四、系统函数H(s)= L h(t)系统函数H(s)定义为 系统的s域框图 第六章 离散系统的z域分析附：部分重要内容（无z变换）第一章：1 连续时间信号与离散时间信号2 模拟信号与数字信号3 信号的运算（1）移位、反褶与尺度变换（2）微分和积分（3）两信号相加或相乘4 （1）单位阶跃信号（2）单位冲激信号 （当时） 抽样性： 偶对称性： 尺度变换性： 相乘性质： 冲激偶信号 5 线性时不变系统（1）叠加性与均匀性（2）时不变性（3）因果性第二章1系统的状态（起始状态，初始条件）2 系统的全响应（1）求解方法：经典法，双零法（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入

16、响应3线性系统的特性（1） 响应的可分解性 系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2） 零状态线性 当起始状态为零时，系统的零状态响应对外加激励信号呈现线性。（3） 零输入线性 当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。第三章1 周期信号的傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数（2）指数形式的傅里叶级数2 傅里叶变换定义为正变换逆变换3 傅里叶变换的性质 (1)对称性若，则 (2)线性性若，则(3)奇偶虚实性若，则是实偶函数，即为的实偶函数。是实奇函数，即为的虚奇函数。(4)尺度变换特性若，则式中为非零实常数。(5)时移特性若，则(6)频移特性若，则(7)时域微分特性

17、若，则(8)频域微分特性若，则(9)时域积分特性若，则(10)时域卷积定理若，则(11)频域卷积定理若，则4.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的倍。即其中还可用下式获得：上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数单脉冲的傅里叶变换在频率点的值乘以。5 抽样定理（1）时域采样定理第四章：1 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定单边拉普拉斯变换：正变换逆变换 2 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性若,为常数时，则（2） 原函数微分若则式中是r阶导数在时刻的取值。（3） 原函数积分若，则式中（4） 延时性若，则（5） s域平移若，则（6） 尺度变换若，则（a0）（7） 初值定理（8） 终值定理