知识讲解-导数的几何意义-基础1

1、精品文档1欢迎下载【学习目标】1 1 理解导数的几何意义。2 2.理解导数的全面涵义。3 3 掌握利用导数求函数图象的切线的斜率4 4.会求过点(或在点处)的切线方程。【要点梳理】要点一、导数几何意义1.1.平均变化率的几何意义一一曲线的割线函数y f(x)的平均变化率 一y丄凹一丄切 的几何意义是表示连接函数y f(x)图像上两点割xx2X|线的斜率。匚一f(xi)的几何意义是：直线 ABAB 的斜率。x2捲导数的几何意义如图所示，函数(x)的平均变化率yx事实上，kAB3Bf(X2)f(XJA。xAxBx2论x换一种表述：曲线上一点P(x0, y0)及其附近一点Q(x0 x, y0y),经

2、过点P、Q作曲线的割线PQ,则有kpQWOy)yoy(Xox)XoX要点诠释： 根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。2.2.导数的几何意义一一曲线的切线精品文档2欢迎下载如图 1 1,当巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿着曲线f(x)趋近于点P(Xo,f(X。)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即厶XT 0 0 时, ,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线 定义：如图，当点Q(XoX,yoy)沿曲线无限接近于点P(Xo,y。),即X 0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。也就

3、是：当X 0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即:k limlimf (XoX) f (X)f (Xo)。X 0XX 0X要点诠释：(1 1)曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。(2 2)切线斜率的本质-函数在X X0处的导数。(3 3 )曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。若曲线y f(X)在点P(Xo,f(X0)处的导数不存在，但有切线，则切线与X轴垂直。f(Xo)0，切线与X轴正向夹角为锐角，f(X)瞬时递增；f(X0)0，切线与X轴正向夹角为钝角,f(X)瞬时递减；f(X0)0，切线与X轴零度角，瞬时无增减。精品文档3欢迎下载(4 4)曲线的切线可能和曲线有多个公共

4、点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线 C C 都用“与 C C 有且只有一个公共点”来定义 C C 的切线呢？如图 1-1-2-11-1-2-1 的曲线 C C 是我们熟知的正弦曲线 y=siny=sin x x 的一部分，直线丨2显然与曲线 C C 有唯一公共点 M M 但我们不能说直线丨2与曲线 C C 相切；而直线li尽管与曲线 C C 有不止一个公共点，但我们可以说直线li是曲线 C C 在点 N N 处的切线。要点二、曲线的切

5、线(1 1 )用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：1求出切点(Xo, f(Xo)的坐标；2求出函数y f (x)在点X)处的导数f (xo)3得切线方程y f (xo)f (x)(x Xo)(2 2)在点(x,f(xo)处的切线与过点(x xo, y yo)的切线的区别。在点(xo, f(xo)处的切线是说明点(xo, f (xo)为此切线的切点；而过点(x xo, y yo)的切线，则强调切线是过点(x xo, y yo)，此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点(x xo, y yo)的切线方程时，先应判断点(x xo, y yo)是否为曲线f (x)上的点，若是则为第一类解法

6、，若不同则必须先在曲线上取一切点(x1, f (x1)，求过此切点的切线方程yy1f(xj(xx1)，再将点(x xo,y yo)代入，求得切点(捲，f(xj)的坐标，进而求过点(x xo, y yo)的切线方程。要点三、导数的概念导函数定义：由函数f( (x) )在x= =xo处求导数的过程可以看到，当时，f (xo)是一个确定的数，那么, ,当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为f( (x) )的导函数 记作：f(X)或y,f (x x) f (x)即：f (x) y limXox要点诠释：函数f(x)在点Xo处的导数f (Xo)、导函数f (x)之间的区别与联系。(1) 函数在一点处的

7、导数f(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2)函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数 f(x)f(x)的导函数。(3)函数f(x)在点Xo处的导数f(Xo)就是导函数f(X)在X xo处的函数值。精品文档4欢迎下载导函数也简称导数，所以精品文档5欢迎下载(用疸一趾At的导班 一！IL*厲数彼所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。导函数求法：由导数的定义可知，求函数y f(x)的导数的一般方法是：(1). .求函数的改变量yf(xx)f(x)0(2). .求平均变化率-yf(xx)f(x)-

8、oxx(3). .取极限，得导数/y二=limy0 x ox要点四、导数的定义的几种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如:【典型例题】类型一、求曲线的切线方程【高清课堂：导数的几何意义 385147385147 例 1 1】例 1 1 曲线的方程为y X21，那么求此曲线在点P(1 1, 2 2)处的切线的斜率，以及切线的方程【解析】利用导数的几何意义，曲线在点P(1 1, 2 2)处的切线的斜率等于函数y x21在X 1处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程 由y x21得y (x21) 2x，所以曲线在点P处的切线斜率为k y |x 1

9、2,过点 P P 的切线方程为y 22(x 1)，即y 2x. .【总结升华】求曲线上一点处切线的步骤：yf (xlimx ox) f(x);(或：xy lim f(x) f(xX)；y lim f(xx)f (x)x oxx oxyf (xo)limf(x) f(x)0X Xox xo要点诠释：只要是x 0时，极限式所表示的是割线的斜率(或其若干倍)，就能表示为导数式。精品文档6欢迎下载1求函数y= =f( (x) )在点x xo处的导数，即曲线y= =f( (x) )在P(xo, f (xo)处切线的斜率。2由点斜式写出直线方程：y yof(Xo)(x Xo);如果y= =f( (x) )

10、在P(x, f (xo)的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义知：切线方程为：x xo. .精品文档7欢迎下载举一反三:12A A.B B .C C .1 1 D D33【答案】B B【解析】当 Ax=0.5x=0.5 时，2+2+A x=2.5x=2.52.55故2y?12.535故kpc322- - o2.52 3故选 BoBo【变式 2 2】已知函数f( (x) ) =x2+ 3 3,则f( (x) )在(2(2 ,f(2)(2)处的切线方程为【答案】2Tf( (x) ) =x+ 3 3,Xo= 2 22 f(2)(2) = 7 7, Ay=f(2(2 + Ax) ) f(2)

11、(2) = 4 4 Ax+ ( ( Ax) ):，亠=4 4+ Ax. .limy= 4.4.即f (2)(2) = 4.4.xx 0 x又切线过(2,7)(2,7)点，所以f( (x) )在(2(2 ,f(2)(2)处的切线方程为y 7 7= 4(4(x 2)2)即 4 4xy 1 1 = 0.0.【变式 3 3】(20152015 春 潍坊期末)函数f (x) x34x 5的图象在x 1处的切线在x轴上的截距为()A.A. 1010B.B. 5 5C.C.1D.D.373【答案】-7【解析】Q f (x) x34x 5,f(x) 3x24,f(1) 7，即切线的斜率为乙又f(1) 10，故

12、切点坐标(1,101,10 ),3切线的方程为：y 10 7(x 1)，当y 0时，x -,73切线在x轴上的截距为3o【变式 1 1】(20152015 春 儋州校级期末)过曲线y2+2+A y y)作割线，则当 x=0.5x=0.5 时割线的斜率为Xf(X)图象上一点(2 2, 2 2)及邻近一点(2+2+A x x,1 X)精品文档8欢迎下载7【高清课堂：导数的几何意义 385147385147 例 2 2】精品文档9欢迎下载例 2 2 求曲线y x3经过点P(1,1)的切线方程. .【解析】 本题要分点P(1,1)是切点和P(1,1)不是切点两类进行求解 若点P(1,1)是切点，由y

13、x3得y 3x2则k 3，于是切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 2；由于点(2,2)在函数f (x)图象上,(1)当点(2,2)是切点时，函数f (x)图象在点(2,2)处的导数即为切线的斜率,切线方程为：9x y 160；(2)当点(2,2)不是切点时，设点(x,x；3xo)为切点,即此时点(1,2)为切点，此时切线方程为y【变式 2 2】已知曲线y 1。x若点P(1,1)不是切点，设切点为(x),x03):则切线率k2y 3X0，所以3x01 X031 X13解之得X02，所以k-，所以切线方程是y 1|(x 1)，即y |x44【总结升华】求切线方程，首先要判断所给的点是否是切

14、点。若是，可用求切线方程的步骤求解;点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线方程。举一反三：若不是，可设出切【变式 1 1】已知：函数f(x)X33x，经过点(2,2)作函数图象的切线，求：切线的方程。【答案】对于函数f (X) X33X，f(X)3X23即：kf (2)3 2239，函数f(x)在此处的导数(即切线的斜率)k2f(X。)3xoX03x02X 2(x2)即：X；3x240(X。1)(X02)2X。精品文档10欢迎下载(1(1)求曲线过点 A A( 1 1，0 0)的切线方程;精品文档11欢迎下载(2(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程。31【答案】(1 1)设过

15、点 A A( 1 1，0 0)的切线的切点坐标为a,精品文档12欢迎下载a因为limf(ax)fx 01 1，所以该a切线的斜率为丄，切线方程为ya1 、2(x a)。a将A(1 1, 0 0)代入式，得a所以所求的切线方程为y=y= 4x+44x+4。(2)设切点坐标为P x0,，由(1 1)知，切线的斜率为Xok2，则X01Xo13，x03么切点为p或P，3.3- 。3所以所求的切线方程为y【高清课堂：导数的几何意义 385147385147 例 3 3】【变式 3 3】设函数f(x) x32ax2bx a,g(x)x23x 2，其中x R，a, b为常数，已知曲线y f (x)与yg(x

16、)在点(2,02,0 )处有相同的切线l. .求a,b的值，并写出切线I的方程 323【答案】f (2)lim(2 x) 2a(2 x) b(2 x) a (2 8a 2b口木x0 xa)2lim 12 8a b 6 x ( x) 12 8a bx 02 2g(2) lim(2 x) 3(2 x) 2 (23 2 2)x 0lim(1 x) 1由已知：f(2)0 且 f (2)g(2)a 2,b5，因为k g(2)1所以I的方程：y x 2类型二、利用定义求导函数4例 3 3.求函数y2在 x=2x=2 处的导数。x精品文档13欢迎下载x x xX(、x , x x)【解析】解法一：（导数定义

17、法）4(x 2)212)(x)24 x2 ，(x 2)limx 0 x4ox 2)2lim -2x 0( x 2)解法二：（导函数的函数值法）x(2xx2(xx)x)2 y4(2 xx2(xx)x)2lxm04(2 x x)x2(x x)- f(2) y|x2【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。举一反三:【变式 1 1】已知f(x).，门，求f(x)，f(2)【答案】 因为2，所以yx(x x 2)(x 2) x(、x x 2. x 2)当厶 X XT0 0 时，f（x），当 x=2x=2 时，f (2)2x 22=22【变式 2 2】求函数y1x在(0,）内的导函数。

18、解：y-x、x x(x x x)(、X、xx)精品文档14欢迎下载x1X XXX G XXx)XX “ X ( . X , Xx)y lim111 1Xo、X:X X ( . X、Xx) x 2、；x2类型三、导数的几种形式f(xo) 2，则limf (xok) f(xo) k 0Ilimfxo( k) f(xo)1 21。2k 0k2【总结升华】(1(1)有一种错误的解法：(2 2)在导数的定义中，增量 x x 的形式是多种多样的，但不论厶 x x 选择哪种形式， y y 也必须选择与之 相对应的形式。利用函数f(x)在 x=xx=xo处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式。概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题。举一反三：【变式 1 1】已知函数y=f( (x) )在x=xo处的导数为 1111,则limx 0f x0