数列通项公式前n项和求法总结全

1、一.数列通项公式求法总结：1 .定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型(等差或者等比).例1 .等差数列Q 是递增数列，前n项和为Sn ,且ai,a3, a§成等比数列，S5 = a2 .求数歹心口 的通项公式.变式练习：2 .等差数列%中，a7 =4,ai9=2a9,求值的通项公式3 .在等比数列a。中，a?-&=2，且2a2为3ai和a3的等差中项，求数列烝的首项、公比及 前n项和.4 .公式法、S n = 1 .求数列an的通项an可用公式an =求解。、Sn-Snn22特征：已知数列的前n项和Sn与an的关系例2.已知下列两数列an的前

2、n项和Sn的公式，求an的通项公式。(1) Sn=n3 + n1。(2)Sn=n21变式练习：1 .已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n, nC N* ,数列b n满足an =4log 2bn+3, nC N * .求 an , bn。2 .已知数列4的前n项和0 =-n2+kn (kN*)，且S的最大值为8,试确定常数k2并求an o2 .3.已知数列an)的前n项和&=nn, nW N”.求数列Gn)的通项公式。23.由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为an+=an +f(n)对策：把原递推公式转化为an+-an = f(n),利用累加法求解。例3.已知数列

3、67;n满足a1=1, an4t=an十一一 ,求an。2n n变式练习：1 .已知数列an满足an =an+2n+1, a1 =1 ,求数列an的通项公式。2 .已知数列：求通项公式类型2特征：递推公式为 an. = f（n）%对策：把原递推公式转化为 电土 = f （n）,利用累乘法求解。an例4.已知数列配满足ai =2, an¥=-an,求七。 3n 1变式练习：1 .已知数列aj中，a1=2, an干=3nan,求通项公式an。2 .设an是首项为1的正项数列，且（n+1 ）an -na2+an书an =0 （ n =1, 2, 3 ,），求数列的通项公式是an类型3特征：

4、递推公式为an* = pan +q （其中p, q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由an+= pan+q得an = pan+q（n之2）两式相减并整理得an书an =p,构成数列an书-an以a2-a1为首项，以p为公比的等比数 an _ an 1歹I.求出an4-an的通项再转化为类型1 （累加法）便可求出an.例 5.已知数列 L 中，a1 =1 , an+ = 2an +3 ,求 an .变式练习：1 .数列an满足a1=1, 3an4 +an-7=0,求数列a。的通项公式。2 .已知数列an满足a1=1,前书=3升+1.证明%+；2是等比数列，并求斗的通项公式。类

5、型4特征：递推公式为an = pan + f（n）（其中p为常数）对策：（利用构造法消去 p）两边同时除以pn*可得到 书=驾+"1） ,令粤=4 ,则 ppppbn+=bn+里，再转化为类型1 （累加法），求出bn之后得an = pnbn p例6.已知数列an满足an+ =2% +4 '3n,，a1 =1 ,求数列an的通项公式。变式练习：已知数列In1满足a1 =1 , an=3n+2an（n±2）,求an.二.数列的前n项和的求法总结1.公式法（1）等差数列前n项和：Sn =g3 = na1+皿dn 212(2)等比数列前n项和:q=1 时，Sn=na1例1.

6、已知log 3 x = -1 ,求x + x2 +x3 +xn +的前n项和. log2 3变式练习：1 .设等比数列an的前n项和为Sn.已知a2=6, 6a1+a3=30，求an和Sn.2 .设a。是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，且 ai = bi=1, a3 + bs = 21, a5 +b3 =13 o(1)求 an , bn；(2)求数列%的前n项和Sn。an3 .错位相减法若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列an bn的求和就要采用此法.将数列Qn bn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 % bn 的 前n项和.例 2.求 1 + 2x

7、 + 3x2 + 4x3 + +nxn，的和变式练习：1 .已知数列a的前n项和为Sn,且Sn = 2n2+n ,n C N*，数列bn满足an = 4log2n+ 3n C N * .(1)求 an, bn；(2)求数列Qn bn 的前n项和Tn .2 .若公比为c的等比数列4的首项为&=1,且满足烝=+*10=3,4,.)。2(1)求c的值；(2)求数列nan的前n项和&3 .倒序相加法如果一个数列4,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： a1 , an =a2 an4 =

8、.把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。例3.已知f(x)x2门)k 则”"+fHf(3) ff(4) f变式练习:1.求122212 10222 92Q22母.川记彳的和.2.求 sin21 -十sin2 2" + sin23"+ 十sin288°+sin289 -的值。4 .裂项相消法般地，当数列的通项an(an b1)(an b2)(a,bi,b2,c为常数)时，往往可将an变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项:设anan b2通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得c= , b2 - b从而可得(an b1)(a

9、n b2) (b21bl)(an b1an b2”常用裂项形式有:1=1_ 1 .n(n 1) n n T 1111)； 22k2k2 -112 k -1 k 1k 1 (k 1)k1：记：(k -1)k k -1 k一1 . n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)' 2(，n , 1 -、n) =2 :二1：二 2= 2(、. n -n -d)n . n 1、. n , n . n -1例4.求数列1 3'n(n 2),的前n项和S.变式练习:1.在数列a n中,an =+ +,又bn=-2,求数列bn的前n项的和. n 1an an 12.等比数列4的

10、各项均为正数，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(I)求数列Gn的通项公式.(II) 设 bn =log3al+log3 a2 + ,+log3 an,求数歹U4一的刖项和. bn5.分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.1111例5.求数列2,4,6，J|L2n,的刖n项和Sn . 4 8 162变式练习：1 .求数列11,21,3',4211的前n项和 3 9 27 812 .若数列an 的通项公式an =2an +3na -1(a =0),求an的前n项和6 .记住常见数列的前