杆件的应力与强度计算

1、第5章杆件的应力与强度计算第5章杆件的应力与强度计算第 5 章杆件的应力与强度计算第一节变形固体及其基本假设一、变形固体工程上所用的构件都是由固体材料 制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等, 它们在外力作用下会或多或少地产生变 形，有些变形可直接观察到，有些变形 可以通过仪器测出。在外力作用下，会 产生变形的固体称为变形固体。在静力学中，由于研究的是物体在力 作用下平衡的问题。物体的微小变形对 研究这种问题的影响是很小的，可以作 为次要因素忽略。因此，认为物体在外 力作用下，大小形状都不发生变化，而 把物体视为一个刚体来进行理论分析。 在材料力学中，由于主要研究的是构件 在外力作用下的强度、刚度

2、和稳定性的 问题。对于这类问题，即使是微小的变 形往往也是主要影响的因素之一，必须 予以考虑而不能忽略。因此，在材料力 学中，必须将组成构件的各种固体视为 变形固体。变形固体在外力作用下会产生两种 不同性质的变形：一种是外力消除时， 变形随着消失，这种变形称为弹性变形; 另一种是外力消除后，不能消失的变形 称为塑性变形。一般情况下，物体受力 后，即有弹性变形，又有塑性变形。但 工程中常用的材料，当外力不超过一定 范围时，塑性变形很小，忽略不计，认 为只有弹性变形，这种只有弹性变形的 变形固体称为完全弹性体。只引起弹性 变形的外力范围称为弹性范围。本书主 要讨论材料在弹性范围内的变形及受 力。二

3、、变形固体的基本假设变形固体有多种多样，其组成和性质 是非常复杂的。对于用变形固体材料做 成的构件进行强度、刚度和稳定性计算 时，为了使问题得到简化，常略去一些 次要的性质，而保留其主要的性质，因 此，对变形固体材料作出下列的几个基 本假设。1 均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内毫无 空隙的充满了物体，并且各处的材料力 学性能完全相同。实际上，变形固体是由很多微粒或晶 体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙 的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完 全相同。但是由于这些空隙与构件的尺 寸相比是极微小的，同时构件包含的微 粒或晶体的数目极多，排列也不规则， 所以，物体的力学性能并不反映其某一 个组成部

4、分的性能，而是反映所有组成 部分性能的统计平均值。因而可以认为 固体的结构是密实的，力学性能是均匀 的。有了这个假设，物体内的一些物理 量，才可能是连续的，才能用连续函数 来表示。在进行分析时，可以从物体内 任何位置取出一小部分来研究材料的性 质，其结果可代表整个物体，也可将那 些大尺寸构件的试验结果应用于物体的 任何微小部分上去。2 各向同性假设假设变形固体沿各个方向的力学性 能均相同。实际上，组成固体的各个晶体在不同 方向上有着不同的性质。但由于构件所 包含的晶体数量极多，且排列也完全没 有规则，变形固体的性质是这些晶粒性 质的统计平均值。这样，在以构件为对 象的研究问题中，就可以认为是各

5、项同 性的。工程使用的大多数材料，如钢材、 玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认 为是各向同性的材料。根据这个假设当 获得了材料在任何一个方向的力学性能 后，就可将其结果用于其它方向。在工程实际中，也存在了不少的各向 异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材 等，它们沿各方向的力学性能是不同的。 很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹 方向和斜纹方向受到外力作用时，它所 表现出的强度或其它的力学性质都是各 不相同的。因此，对于由各向异性材料 制成的构件，在设计时必须考虑材料在 各个不同方向的不同力学性质。3小变形假设在实际工程中，构件在荷载作用下， 其变形与构件的原尺寸相比通常很小， 可以忽略不计，所以在

6、研究构件的平衡 和运动时，可按变形前的原始尺寸和形 状进行计算。在研究和计算变形时，变 形的咼次幂项也可忽略不计。这样，使 计算工作大为简化，而又不影响计算结 果的精度。总的来说，在材料力学中是把实际材 料看作是连续、均匀、各向同性的弹 性变形固体，且限于小变形范围。第二节 杆件变形的基本形式作用在杆上的外力是多种多样的， 因此，杆件的变形也是多种多样的。但 总不外乎是由下列四种基本变形之一， 或者是几种基本变形形式的组合。一、轴向拉伸和轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线 与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主 要变形是长度改变。这种变形称为轴向 拉伸(图5-1 (a)或轴向压缩(图 5 1

7、(b)。二、剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形 是横截面沿外力作用方向发生错动。这 种变形形式称为剪切(图 51( c)图5-1三、 扭转在一对大小相等、方向相反、位于垂 直于杆轴线的两平面内的外力偶作用 下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对 转动，而轴线仍维持直线，这种变形形 式称为扭转(图 5 1 (d)。四、 弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆 的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的 轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式 称为弯曲(图 5-1 (e)。在工程实际中，杆件可能同时承受不 同形式的荷载而发生复杂的变形，但却 可看作是上述基本变形的组合。由两种 或

8、两种以上基本变形组成的复杂变形称 为组合变形。本书以下几章中，将分别讨论上述各 种基本变形，然后再讨论组合变形。第三节轴向拉伸和压缩时的内力一、轴向拉伸和压缩的概念在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压 缩的杆件，例如图 6-1 所示的桁架的竖 杆、斜杆和上下弦杆， 图 6 -2 所示起重 架的 1、2 杆和做材料试验用的万能试验 机的立柱。作用在这些杆上外力的合力 作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或 缩短。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。二、内力的概念我们知道，物体是由质点组成的，物 体在没有受到外力作用时，各质点间本 来就有相互作用力。物体在外力作用下，

9、 内部各质点的相对位置将发生改变，其 质点的相互作用力也会发生变化。这种 相互作用力由于物体受到外力作用而引 起的改变量，称为“附加内力”，简称为 内力。内力随外力的增大、 变形的增大而增 大，图6-2当内力达到某一限度时，就会引起 构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力三、截面法轴力轴力图求构件内力的基本方法是截面法。下 面通过求解图 6 3 (a)的拉杆 m m 横截面上的内力来阐明这种方法。假想 用一横截面将杆沿截面 m m 截开，取 左段为研究对象图 6 3(b)。 由于整个 杆件是处于平衡状态的，所以左段也保 持平衡，由平衡条件x=o可知，截面 m m 上的分布

10、内力的合力必是与杆轴相 重合的一个力，且N=P，其指向背离截 面。同样，若取右段为研究对象图 6 3N一LP图1(C)6-4图6-3m(c)(c),可得出相同的结果。对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面 m m 上的轴力 N，其指向 如图 64 所示。把作用线与杆轴线相重合的内力称 为轴力，用符号 N 表示。背离截面的轴 力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。 通常规定：拉力为正，压力为负。轴力的单位为牛顿（N ）或千牛顿（kN ）。这种假想用一截面将物体截开为两 部分，取其中一部分为研究对象，利用 平衡条件求解截面内力的方法称截面 法。综上所述，截面法包括以下三个步 骤：（1） 沿所求内

11、力的截面假想地将杆件截成两部分。（2） 取出任一部分为研究对象， 并 在截开面上用内力代替弃去部分对该部分的作用。(3) 列出研究 对象的平衡方 程，并求解内 力。【例 6- 1】 杆件受力如图 6 5(a)所示，在 力R、P2、P3作用下 处于平衡。已知P =25kN,P2=35kN,P3=10kN,求杆件 AB 和 BC 段的轴力。【解】杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力 将不相同，因此要分段求出杆的力。(1)求 AB 段的轴力用1 1截面在AB段内将杆截开， 取左段为研究对象(图 6 5 (b)，截 面上的轴力用Ni表示，并假设为拉力，由平衡方程图6-5 X =0N

12、i-Pi=0N1二P严25kN得正号， 说明假设方向与实际方向相同，AB段的轴力为拉力。(2)求 BC 段的轴力用 2-2 截面在 BC 段内将杆截开， 取左段为研究对象(图 6-5 (c),截 面上的轴力用N2表示，由平衡方程X=0N2P2-P1=0N2P-P2=25 -35二-10kN得负号， 说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力为压力。若取右段为研究对象(图 6-5 (d)， 由平衡方程X =0-NP, =0N2二P3二T0kN结果与取左段相同必须指出：在采用截面法之前，是不 能随意使用力的可传性和力偶的可移性 原理。这是因为将外力移动后就改变了 杆件的变形性质，并使内力也随之改变。

13、 如将上例中的P2移到 A 点，贝 g AB 段将 受压而缩短，其轴力也变为压力。可见, 外力使物体产生内力和变形，不但与外 力的大小有关，而且与外力的作用位置 及作用方式有关。当杆件受到多于两个的轴向外力作 用时，在杆的不同截面上轴力将不相同， 在这种情况下，对杆件进行强度计算时， 必须知道杆的各个横截面上的轴力，最 大轴力的数值及其所在截面的位置。为 了直观地看出轴力沿横截面位置的变化 情况，可按选定的比例尺，用平行于轴 线的坐标表示横截面的位置，用垂直于 杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大 小，绘出表示轴力与截面位置关系的图 线，该图线就称为轴力图。画图时，习 惯上将正值的轴力画在上侧，负

14、值的轴 力画在下侧。【例 6 2】杆件受力图 6 6 (a) 所示。试求杆内的轴力并作出轴力图。【解】：(1)为了运算方便，首先求 出支座反力。根据平衡条件可知，轴向 拉压杆固定端的支座反力只有 R 图 6 6 (b)，取整根杆为研究对象，列平衡 方程X =0_R _PlP2_P3P4=0R = _P +p2_F3+p4=20+60 40+25 = 25kN(2)求各段杆的轴力在计算中，为了使计算结果的正负 号与轴力规定的符号一致，在假设截面 轴力指向时，一律假设为拉力。如果计 算结果为正，表明内力的实际指向与假 设指向相同，轴力为拉力，如果计算结果为负，表明内力的实际指向与假设指 向相反，轴

15、力为压力。求 AB 段轴力： 用 1 1 截面将杆件 在AB 段内截开，取左段为研究对象（图6-6（c）,以Ni表示截面上的轴力，由 平衡方程X =0-R N, =0N,=R=25kN（拉力）求 BC 段的轴力：用 2-2 截面将杆 件截断，取左段为研究对象（图6-6（d）,由平衡方程X =0R+N2P =0N2=PiR =20 25 =45kN（拉力）求 CD 段轴力：用 3-3 截面将杆件 截断，取左段为研究对象（图 6-6（e），由平衡方程vX =0N3+P2P R=0N3=P +R-P2=20 +25-60=-15kN（ 压力）求 DE 段轴力：用 4-4 截面将杆件 截断，取右段为研

16、究对象(图 6-6(f), 由平衡方程二.X =0P4- N0N4=25kN(拉力)(3) 画轴力图以平行于杆轴的 X 轴为横坐标，垂直于杆轴的坐标轴为 N 轴，接一 定比例将各段轴力标在坐标轴上，可作 出轴力图，如图 6-6 (g)所示。第四节 梁的弯曲(平面弯曲)一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作 用或在纵向平面内受到力偶作用时 (图 9-1)，杆轴由直线弯成曲线，这 种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的 杆件称为梁。图9-1受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种 基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁， 受到楼面荷载和梁自重的作用，将发 生弯曲变形（9-2a、b）,阳台挑梁（9

17、-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构 件。工程中常见的梁，其横截面往往有 一根对称轴，如图 9-3 所示，这根对 称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向 对称平面（图9-4 ）。如果作用在梁上 的外力（包括荷载和支座反力）和外 力偶都位于纵向对称平面内，梁变形 后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。 这种梁图9-2工程中常见的受弯构件的弯曲平面与外力作用平面相重合 的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是 一种最简单，也是最常见的弯曲变形, 本章将主要讨论等截面直梁的平面弯 曲问题。图9-3梁常见的截面形状对图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式 工程中对于单跨静定梁按其支座情 况分为下列三种形式：

18、1 悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端（图 9-5a）。2.简支梁：梁的一端为固定铰 支座，另一端为可动铰支座（图9-5b）3.外伸梁：梁的一端或两端伸 出支座的简支梁（图 9-5c）。为了计算梁的强度和刚度问题， 在 求得梁的支座反力后，就必须计算梁 的内力。下面将着重讨论梁的内力的 计算方法。（一）、截面法求内力1、剪力和弯矩图 9-6a 所示为一简支梁，荷截F和支座反力 RA、RB是作用在三、 梁的弯曲内力剪力和弯矩（C）图9-5三种静定梁(c)图9-6用截面法求梁的内力梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。假想将梁沿 m-m 截面分为两段，现取左段

19、为研究对 象，从图 9-6b 可见，因有座支反力 RA作用，为使左段满足 S Y =0,截 面 m-m 上必然有与 RA等值、平行且 反向的内力 Q 存在，这个内力 Q,称 为剪力；同时，因 RA对截面m-m的 形心 O点有一个力矩 RA? a的作用， 为满足 S Mo=0，截面 m-m 上也必 然有一个与力矩 RA? a 大小相等且转 向相反的内力偶矩M存在， 这个内力 偶矩 M 称为弯矩。由此可见，梁发生 弯曲时，横截面上同时存在着两个内 力素， 即剪力和弯矩。剪力的常用单位为 N 或 kN，弯矩的 常用单位为 N?m 或 kN? m剪力和弯矩的大小， 可由左段梁的 静力平衡方程求得，即1

20、 Y =0，RA-Q = 0，彳得Q = RA、M。= 0，RAM =0，得= RAa如果取右段梁作为研究对象， 同样 可求得截面 m-m 上的 Q 和 M，根据 作用与反作用力的关系，它们与从右 段梁求出 m-m截面上的 Q 和 M 大小 相等，方向相反，如图9-6c 所示。2、 剪力和弯矩的正、 负号规定 为了使从左、右两段梁求得同一截 面上的剪力 Q 和弯矩M 具有相同的 正负号，并考虑到土建工程上的习惯 要求，对剪力和弯矩的正负号特作如 下规定：(1 ).剪力的正负号：使梁段有顺 时针转动趋势的剪力为正(图9-7a);反之，为负(图 9-7b) o(2 ).弯矩的正负号：使梁段产生下侧

21、受拉的弯矩为正(图9-8a);反(a)(b)图9-7剪力的正负号规定之，(a)(b)图9-8弯矩的正负号规定3、用截面法计算指定截面上的剪力 和弯矩用截面法求指定截面上的剪力和 弯矩的步骤如下：(1 ) 计算支座反力；(2 ).用假想的截面在需求内力处将梁截成两段， 取其中任一段为研 究对象； （3 ）画出研究对象的受 力图（截面上的 Q 和 M 都先假设 为正的方向）；（4 ）.建立平衡方程，解出内力。 下面举例说明用截面法计算指定 截面上的剪力和弯矩。【例 9-1】 简支梁如图 9-9a 所示。 已知 Fi= 30kN , F2=30kN，试求截面 1-1 上的剪力和弯矩。图9-9例9-1

22、图(a)(b)(c)【解】(1)求支座反力，考虑梁的 整体平衡MB=0F15 F22 RA6=0MA=0-F11 F24 RB6 = 0得RA= 35 kN( f ) ,RB=25 kN( f )校核 Y = RARB- FI- F2=35 25 - 30 - 30 = 0(2)求截面1-1上的内力在截面1-1处将梁截开，取左段梁 为研究对象，画出其受力，内力Q1和M1均先假设为正的方向(图9-9b)，例平衡方程 Y = 0RA_Fr _Qr=0vM1=0- RA2 F11 M1= 0得Q RA- F1=35 -30 =5kNM/RA2干1 -35 2 -30 1 =40kN m求得Q1和M1

23、均为正值，表示截面 1-1上内力的实际方向与假定的方向相 同；按内力的符号规定，剪力、弯矩 都是正的。所以，画受力图时一定要 先假设内力为正的方向，由平衡方程 求得结果的正负号，就能直接代表内 力本身的正负。如取1-1截面右段梁为研究对象(图 9-9c),可得出同样的结果。【例 9-2】悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图 9-10 所示， 求截面 1-1 上 的剪力和弯矩。1尸4 IsN/m彳门1 i匸a=2m(a)图9-10例9-2图【解】对于悬臂梁不需求支座反 力，可取右段梁为研究对象，其受力 图如图9-10b 所示。F-ritcN(b)a-qa F a = 02Q qa F = 4 2 5 =

24、13kN求得Q,为正值，表示Q,的实际方向与 假定的方向相同；M1为负值，表示M,的 实际方向与假定的方向相反。所以， 按梁内力的符号规定，1-1 截面上的剪力为正，弯矩为负。（二）、简便法求内力通过上述例题，可以总结出直接根 据外力计算梁内力的规律。1 .剪力的规律计算剪力是对截面左（或右）段梁 建立投影方程，经过移项后可得.1M1= 0-M12qa2-5 2 18kNQ =匚丫左或Q = Y右上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外 力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转 动趋势时，等式右方取正号（参见图 9-7a）;反之，取负号（参见图 9

25、-7b） 此规律可记为“顺转剪力正”。2.求弯矩的规律计算弯矩是对截面左（或右）段梁 建立力矩方程，经过移项后可得M=、Me左或M=、Me右上两式说明：梁内任一横截面上的 弯矩在数值上等于该截面一侧所有外 力（包括力偶）对该截面形心力矩的 代数和。将所求截面固定，若外力矩 使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时（即上部受压，下部受拉），等式右方 取正号（参见图 9-8a）;反之，取负 号（参见图 9-8b） 。 此规律可记为“下 凸弯矩正”。利用上述规律直接由外力求梁内 力的方法称为简便法。用简便法求内 力可以省去画受力图和列平衡方程从 而简化计算过程。现举例说明。【例 9-3】用简便法求图 9-1

26、1 所示 简支梁 1-1 截面上的剪力和弯矩。【解】 求支座反力。由梁的整体 平衡求得RA= 8 kN(t),RB= 7 kN(f)计算 1-1 截面上的内力由 1-1 截面以左部分的外力来计 算内力，根据“顺转剪力正”和“下 凸弯矩正”得Qi二RA-FI=8 -6 =2 kNM/RA3干2 =8 3-6 2 = 12 kN mFi 6 kNF； = 9 kN图9-11例9-3图MAD十m一2 8 2 8用内力方程法绘制剪力图和弯矩图为了计算梁的强度和刚度问题，除 了要计算指定截面的剪力和弯矩外， 还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变 化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的 最大值以及它们所在的截面位置

27、。（一）、剪力方程和弯矩方程从上节的讨论可以看出，梁内各截 面上的剪力和弯矩一般随截面的位置 而变化的。若横截面的位置用沿梁轴 线的坐标 x来表示，则各横截面上的 剪力和弯矩都可以表示为坐标x 的函数，即卩Q =Q(x)，M -M (x)以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力 方程和弯矩方程。（二）、剪力图和弯矩图为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程 和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩以沿梁轴线的横坐标x 表示梁横面的置，以坐标示相应横截面上的剪力或弯矩， 在土建工 程中，习惯上把正剪力画在 x 轴上方， 负剪力画在 x 轴下方；而把弯矩图画 在梁

28、受拉的一侧，即正弯矩画在x 轴下方，负弯矩画在 x 轴上方。如图 9-12 所示。4OxMx图截位纵表QO图9-12画剪力图和弯矩图的规定【例 9-4】简支梁受均布荷截作用 如图9-13a 所示，试画出梁的剪力图 和弯矩图。【解】(1)求支座反力因对称关系，可得RA= RB= 2ql(f)(2)列剪力方程和弯矩方程取距 A 点为 x 处的任意截面，将梁 假想截开，考虑左段平衡，可得(b)WF画剪力图和弯矩图由式(1)可见，Q(x)是 X 的一次函数， 即剪力方程为一直线方程，剪力图是 一条斜直线。当X = 0时QA豊根据这两个截面的剪力值，画出剪力 图，如图 9-13b所示。由式(2)知，M(

29、x)是 x 的二次函数, 说明弯矩图是一条二次抛物线，应至 少计算三(C)图9-13例9-4图Q(x)1RA-qxqi _qx(0 ： x ： I)(1)M(x)RAX一如2弓qlx(0 xb 时,Qmax=亍，发生在 BC 段的任意截面上;|Mmax二亍，发生在集中力作用处的截 面上。若集中力作用在梁的跨中，则 最大弯矩发生在梁的跨中截面上，其值为：Mmax1。4结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用 处，左右截面上的剪力图发生突变， 其突变值等于该集中力的大小，突变 方向与该集中力的方向一致；而弯矩 图出现转折，即出现尖点，尖点方向 与该集中力方向一致。【例 9-6

30、】如图 9-15a 所示简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图计算无误(b)【解】（1）求支座反力由整梁平衡得Her+x丁必一(a)3MB=0,(f)3MA=0,RB=-(J)校核：3Y =RA RB =m- =0l l(2)列剪力方程和弯矩方程 在梁的C截面的集中力 偶 m 作用，分两段列出剪力方程和弯 矩方程。(c)AC 段：在 A 端为 xi的截面处 假想将梁截开，考虑左段梁平衡，图9-15例9-6图列出剪力方程和弯矩方程为（1）（2）CB 段：在 A 端为 X2的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，列出 剪力方程和弯矩方程为 M （x2） =RAx2-m二m（l -x2）（a

31、： x2岂I）Q（xi） = RA（0 ： Xi_ a）M（Xi）m-RAXI-Xi（0辽Xi： a）Q（X2 ） =RA（a _ X2： I）（3）画剪力图和弯矩图Q 图：由式（1）、（ 3）可知，梁在 AC段和 CB 段剪力都是常数，其值为f，故剪力是一条在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线。画出剪力图如图9-15b 所示。M 图：由式（2）、（ 4）AC段和 CB 段内弯矩都是 数，故弯矩图是两段斜直线AC 段：当X, =0时，xi = a时寸,MC左CB 段：当X2=a时,当X2画出弯矩图如图 9-15C 所示。可知， 梁在 x的一次函mal、/当X2时,M B =0由内力图可见，简支

32、梁只受一个力偶作用时，剪力图为同一条平行线，而弯矩图是两段平行的斜直线，在集 中力偶处左右截面上的弯矩发生了突 变。结论：梁在集中力偶作用处，左右 截面上的剪力无变化，而弯矩出现突 变，其突变值等于该集中力偶矩。二、微分关系法绘制剪力图和弯矩图（一）、荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系上一节从直观上总结出剪力图、弯 矩图的一些规律和特点。 现进一步讨 论剪力图、弯矩图与荷载集度之间的 关系。如图 9-16 a 所示，梁上作用有任意 的分布荷载*x），设q（x）以向上为正。取 A 为坐标原点，x 轴以向右为正。现取分布荷载作用下的一微段dx 来研究(图 9-16b)。(a)(b)图9-16荷载与

33、内力的微分关系由于微段的长度dx 非常小，因此，在微段上作用的分布荷载q(x)可以认 为是均布的。微段左侧横截面上的剪 力是Q(x)、弯矩是M(x)； 微段右侧截面 上的剪力是Q(x) dQ(x)、弯矩是M (x) dM (x)， 并设它们都为正值。考虑微段的平衡， 由 Y =0Q(x) q(x)dx -Q(x) dQ(x) =0得Qq(x)dx(9-1)结论一：梁上任意一横载面上的 剪力对 x 的一阶导数等于作用在该截 面处的分布荷载集度。 这一微分关系 的几何意义是，剪力图上某点切线的 斜率等于相应截面处的分布荷载集 度。再由Me =0dx-M (x) - Q(x)dx - q(x)dx

34、M (x) dM (x) = 0上式中，c点为右侧横截面的形心，2经过整理，并略去二阶微量q(x)牛后,得皿二Q(x)dx(9-2)结论二：梁上任一横截面上的弯矩 对 x的一阶导数等于该截面上的剪 力。这一微分关系的几何意义是，弯 矩图上某点切线的斜率等于相应截面 上剪力。将式(9-2 )两边求导，可得d2M (x) dx2(9-3)结论三:=q(x)梁上任横截面上的弯矩对 x 的二阶导数等于该截面处的分布 荷载集度。这一微分关系的几何意义 是，弯矩图上某点的曲率等于相应截 面处的荷载集度，即由分布荷载集度 的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。(二)、用微分关系法绘制剪力图和 弯矩图利用弯矩、剪力

35、与荷载集度之间的 微分关系及其几何意义。可总结出下 列一些规律，以用来校核或绘制梁的 剪力图和弯矩图。1 .在无荷载梁段，即q(x)=O时 由式(9-1)可知，Q(x)是常数， 即剪 力图是一条平行于 x轴的直线；又由 式(9-2)可知该段弯矩图上各点切线的 斜率为常数，因此，弯矩图是一条斜 直线。2.均布荷载梁段，即q(x) =常数时 由式(9-1)可知，剪力图上各点切线的斜率为常数， 即Q”)是 X 的一次函数，剪力图是一条斜直线；又由式(9-2) 可知，该段弯矩图上各点切线的斜率 为 X 的一次函数，因此，M(X)是x的二 次函数，即弯矩图为二次抛物线。这 时可能出现两种情况，如图 9-

36、17 所 示。q : 0G)q 0()MM图9-仃M图的凹凸向与q(x)的关系3.弯矩的极值由dMIxl=Q(XHO可知，在Q(x)=0的截面dx处，M(x)具有极值。即剪力等于零的截面上，弯矩具有极值；反之，弯矩具 有极值的截面上，剪力一定等于零。利用上述荷载、剪力和弯矩之间的 微分关系及规律，可更简捷地绘制梁 的剪力图和弯矩图，其步骤如下：（1） 分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；（2） 根据各段梁上的荷载情况，断其剪力图和弯矩图的大致形状；（3） 利用计算内力的简便方法，接求出若干控制截面上的Q 值和值；（4） 逐段直接绘出梁的 Q 图和图。F=20 kN(b)L判直MM8Q图(kN)8(C)16M图(kNm