圆中常见的辅助线的作法分类大全

1、精品文档那么OP的长的取值范围是BM1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦 的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2 、禾U用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3 、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5 、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，AE是O O的直径，P0丄AB交O O于P点，弦PN与AB相交于点 M 求证：PM?PN=2P0 分析：要证明 PM?PN=2P0即证明PM?PC =p0,过0

2、点作OCL PN于C,根据垂经定理 NC=PC,只需证明PM?PC=PO,要证明 PM?PC=P0只需证明 Rt POS Rt PM0.1证明：过圆心 0作0CL PN于C,.PC= PN2/ P0L AB, 0C丄 PN,MOPM 0CP=90 .又/ OPCM MPO： Rt POS Rt PMO. =竺 即p0= pm?pc. P0= PM?- PNPM?PN=2P0PM PO2【例1】如图，已知 ABC内接于O O,Z A=45°, BC=2求O O的面积。【例2】如图，O O的直径为10,弦AB= 8, P是弦AB上一个动点,【例3】如图，弦AB的长等于O 0的半径，点C在

3、弧AMB上,则/ C的度数是2. 遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例 如图，在 ABC中，/ C=90,以BC上一点0为圆心，以 0B为半径的圆交 AB于点M交BC于点N.(1) 求证：BA- BM=BC BN；(2) 如果CM是O 0的切线，N为0C的中点，当 AC=3时，求AB的值.分析：要证 BA- BM=BC BN,需证 ACBA NMB而/ C=90°,所以需要厶 NMB中有个直角，而 BN是圆0的直径，所以连结 MN可得/ BMN=90。(1) 证明：连结 MN 则/ BMN=90 =Z ACB ACBA NMBB

4、C _ AB二 BM = BN" AB- BM=BC BN(2) 解：连结 0M 则/ 0MC=90 N为0C中点 MN=ON=0M/ M0N=601/ 0M=0BB=2 / M0N=30/ ACB=90 , AB=2AC=Z 3=6【例4】如图，AB是O 0的直径，AB=4,弦BC=2,Z B=3. 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。M0NB作用：禾U用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB AC是O 0的的两条弦，Z BAC=90 ,AB=6, AC=8 O 0的半径是AC5.遇到有切线时(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)(2)常常

5、添加连结圆上一点和切点 作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得 0AL AB,得到直角或直角三角形。D,求证：AC=CD【例6】如图，AB是O 0的直径，弦AC与 AB成30°角，CD与O 0切于C,交AB?勺延长线于3欢迎下载精品文档7欢迎下载6. 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1 ）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以 ，在证明直线是切线时，往往需要通过作恰

6、当的辅助线，才能顺利地解决问题下面是添辅助线的小规律1 .无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径例7 .已知：如图， AB是O O的直径，ADL AB于A, BC丄AB于B,若/ DOC= 90 .求证：DC是O O的切线.分析：DC与O O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OEL DC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径,若能证 OE=OAI卩可.而OE OA在厶DEO DAO中，需证明厶 证明：作OEL DC于 E点，取DC的中点F,连结OF.又/ DOC= 90 . FO=FD仁/ 3./ ADL AB,

7、 BCL AB, BC/ AD, OF为梯形的中位线. OF/ AD . / 2=Z 3.仁/2. DO是/ ADE的角平分线./ OAL DA OEL DC OA=OE圆的半径. DC是O O的切线.2有点连圆心.DEOBA DAO当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8 .已知：如图， AB为O O的直径，BC为O O的切线，切点为 B, OC平行于弦 AD求证：CD是O O的切线分析：D在O O上，有点连圆心，连结 DO证明DCL DC即可.证明：连结 DO T OC/ ADDAOM COB / ADON DOC而/ DAON AD

8、O/ DOCN COB 又 OC=OC DO=BO.A DOCA BOC M ODCN OBC T BC为O O的切线，切点为 B / OBC=90 ,ODC=90 ,又 D在O O上, CD是O O的切线.【例7】女口图所示,已知 AB是 O O的直径,ACL L于C, BD丄L于D,且AC+BD=AB求证：直线L与OO相切。C E D【例8】如图， ABO中，OA= OB以O为圆心的圆经过 AB中点C,且分别交 OA OB于点E、F.求证：AB是O O切线;ABAB于D7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、

9、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例9】如图，P是OO外一点，PA PB分别和O O切于A B, C是弧AB上任意一点，过 C作OO的切线分别交 PA PB于D丘，若厶PDE的周长为12,则PA长为8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：禾U用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图， ABC中，/ A=45°, I是内心，则/ BIC=【例 11】如图，Rt ABC中，AC=8 BC=6 / C=90°,O I 分别切 AC, BC,内心I与外心

10、O之间的距离.9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1已知：P是O O外一点，PB, PD分别交O O于A、B和C D,且 AB=CD求证:PO平分/ BPD.2.如图， ABC中，/ C=90°,求圆O的半径.圆0分别与AC BC相切于M N,点0在AB上，如果aAOW叫BOW叫 ABCD勺对角线 AC BD交于0点,BC切O 0于E点.求证：AD也和O 0相切.3 .已知:4如图，学校 A附近有一公路 MN 一拖拉机从 P点岀发向PN方向行驶，已知/ NPA=30 , AP=160米，假 使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为 18千米/小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2 AB是圆O的切线，B是切点，弦 BC/ OA连结AC,求阴 影部分的面积.A我们可