一元二次方程根与系数的关系教学设计与反思

1、一元二次方程根与系数的关系教学设计与反思西达中学申艳平教材分析：一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单 元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0 (a TO)的根X2得出一元二次方程根与系数的关系， 以及以数xi、 X2为根的一元二次方程的求方程模型。学情分析：1. 学生已学习用求根公式法解一元二次方程。2.本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的 多是事物外部的、直接的、具体形象的特 征。3.在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二 次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合 的基础上掌握

2、一元二次方程根与系数的关系。教学目标：K 知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根 与系 数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一 个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数 和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实 验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地清 晰地阐述自己的 观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养 学生积极 学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的 成功感，建立自信心。教学重难点：1、重点：一元二次方程根与

3、系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使 新方程的比较抽象，学生真正根与已知的方程的根有某种关系，掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程环节教师活动预设学生行为设计意图问题引探解下列方程：22x +5x+3=03X2-2X-8=0并根据问题2和以上的求解填写下表 请观察上表，你能发现两根 之和、两根之积与方程的系数之间有 什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程 ax2+bx+c=0 （a 工 0）的根 x., X2 与a、b、c之间的关系：o2若方程ax +bx+c=0 (a" 0

4、)的两根为Xi=9此得岀一兀一次 方程的根与系数的关 系；还可以让学生用自 己的语言表述这种关 系，来加深理解和记 忆。这个关系是一 个法国数学家韦达发 现的，所以也称之为 韦达定理。X2=o则X 计 x2=+XiX 2=问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言 叙述 说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。探索发现问题6.在方程ax +bx+c=0 （a I 0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性 小结） 二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； 当 a" 0 时，b=0, a、c异号，方程两根互为相反数； 当0 时， =b2-4ac可判定根的情况； 当

5、 a I 0, b -4ac > 0 时，Xi+X2=, x.x2=o学生交流探讨本设计采用“实 践一一观察一一发现 猜想一一证明” 的过程，使学生既动 手又动脑，且又动口， 教师引导启发，避免 注入式地讲授一元二 次方程根与系数的关 系，体现学生的主体 学习特性，培养了学 生的创新意识和创新 精神。当a" 0,c=0时，方程必有一根为0o尝试发展根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之 积(方 程两根为Xl, X2、k是常 数)1)2x2-3x+1=0x1+x2=x1x2=(2) 3x2+5x=0 x1 +x2=x1x2=(3) 5x2+x-2=0 x1 +x2=x1

6、x2=(4) 5x2+kx-6=0x1+x2=x1x2=此试一试、巩固知 识拓展创新利用根与系数的关系，求一元 二次方程2x2-3x-1=0的两个 根的(1)平方和，(2)倒数和。讨论：解上面问题的思路是 什 么？222Xi + X2=(Xi+X2)-2 X1X2：将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式师生共同归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、azO时，方程2ax +bx+c=O是一兀一次方程。3、当 azO, b -4ac> 0 时，Xl+X2=, XlX2=o4、b-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关 应用。回顾总结板书设计：一元二次方程

7、根与系数的关系如果 ax2+bx+c=0 (az 0)的两根是 xX,那么 Xi+X2=XiX2=o问题6.在方程ax2+bx+c=0 (azO)中，a、b、c的作用吗？ 二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； 当azO时，b=0, a、c异号，方程两根互为相反数； 当azO时， =b2-4ac可判定根的情况；/I 当 az 0, b -4ac > 0 时，Xi+X2= , x.X2=。当azO, c=O时，方程必有一根为Oo学生学习活动评价设计：本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能 力。教学反思：1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基 础上进 行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一 元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生 展示认识 事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借 此锻