求二面角方法定义法

1、面 角 一 一 1 定 义 法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言， 二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求 二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法， 作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为8, 则cos6= S射影三角形，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大 S侧面三角形小的基本方法为先证后算，即先由有关立几结论找出二面角的平面角（大多数题 是用三垂线法去找），然后借助于解三角形求出平面角.现

2、将二面角大小的求法 归类分析如下：定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个 半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角 .用定义法时, 要认真观察图形的特性1.如图，四面体 ABCD的棱BD长为2, 角 ABD C、B AC D 的大小解析：取BD的中点O,连AO、OC在 AABD 中，v AB=AD= 22 , BD=2,. A ABD是等腰直角三角形，AOXBD,同理OCLBD其余各棱的长均是后，求：二面C/AOC是二面角 A BD C的平面 角。又 AO = OC=1, AC=亚, ./AOC = 90°即二面角A BD C为直二

3、面角。(2)取AC的中点E,连BE、DE. AB = BC, AD=DC, a BDXAC, DEL AC, / BED就是二面角的平面角在 ABDE中，BE = DE=,2由余弦定理，得cos：=-32.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD , PA= AB =a,求二面角BPCD的大小。解:PA_L ABPA.L AD >= PB=PD , AB=AD=aPB =PDIBC = DC >= APBD = APDC 过 B 作BHPC 于 H,连结 DH 使 DH，PC,PC -PC故/BHD为二面角B-PC- D的平面角。因 PB= &a,BC=

4、 a,PC=扁,-PB BC= SBC = 1PC BH,贝U BH=至=DH 223又BD=V2a,在ABHD中由余弦定理，得:cos/ BHD =_2_22BH DH -BD2BHLBD隹a+隹a 一恪）: 33J2 二又 0< / BHD < tt,则 / BHD =,3而角BPC D的大小是3.三棱锥A-BCD中,/ BAC = /BCD = 90°, /DBC = 30°, AB=AC =后，AD =4,求二面角A BCD的度数。解：由已知条件/ BAC=90°, AB=AC, 设BC的中点设为O,则OA = OC= J3 BC= 2百 .A

5、D2 "AO 2 OC2 CD 2 - 2AO CDcosi 解之得：f =1504.如图 AC，面 BCD , BD，面 ACD ,若 AC = CD = 1, /ABC = 30°,求二面角 C -AB - D的大小。.3斛：cos ,口 =3 . 3 即所求角的大小为arccos。3(此题也可用垂线法)练习：1.已知四棱锥P-ABCD勺底面为直角梯形，AB / DC, "AB =90 : PA _L 底面 ABCR 且1PA=AD=DC=AB=1, M 是 PB的中点。2(I )证明：面PAD!面PCR(H)求AC与PB所成的角；(田)求面AMC与面BMC所

6、成二面角的大小。万案一：(I)证明：= PA1面 ABCR CD± AD, 由三垂线定理得：CD± PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD, PD都垂直, . .CD，面 PAD.又 CD二面 PCR面 PADL面 PCD.(H)解：过点 B 作 BECA,且 BE=CA则/PBE是AC与PB所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=2 ,又 AB=2, BE.cos PBE = PB所以四边形ACBE为正方形.由PA，面ABCD得/ PEB=90在 RtA PEB中 BE='2 , PB=<5 ,(m)解：作AN±CM,垂足为N,连

7、结BN.在 Rt PAB中，AM=MB,又 AC=CB.AMCABMC, .BNICM,故/ ANB为所求二面角的平面角. . CB± AC,由三垂线定理，得 CB± PG在 Rt PCB中，CM=MB,所以 CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN - MC=JcM 2 -(公C)2 AC ,2,.3_' 22_2_ 2_26AN BN - AB 2.r AN =7= = . AB=2, r. cos-ANB =552 AN BN 322故所求的一面角为arccos(-).3方法二：因为PAI PD, PAI AB, ADXAB,以A为坐标原点AD长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1,1,0), D (1, 0, 0), P (0, 0,1), M (0,1,2).(I)证明：因 AP =(0,0,1),DC =(0,1,0)，故AP DC =0,所以AP_LDC. 由题设知ADXDC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC,面 PAD.又DC在面PCD上，故面PADL面PCD.(H)解：因 AC =(1,1,0),PB = (0,2,1),(m)解：在MC上