二项式定理知识点总结材料

1、实用标准文档二项式定理一、二项式定理：(a+bf =C；an+C：anb+- +C：anbk 十一 +C：bn (nw N")等号右边的多项式叫做a bn的二项展开式,其中各项的系数Ck (k = 0,1,2,3n)叫做二项式系数.对二项式定理的理解：(1)二项展开式有n+1项(2)字母a按降哥排列,从第一项开始,次数由 n逐项减1到0；字母b按升哥排列,从 第一项开始,次数由 0逐项加1到n(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a, b,等式都成立,通过对 a,b取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便.在定理中假设a = 1, b = x ,那么 n 0 n 1k n

2、-kn n(1+xj =Cnx +Cnx十+Cnx +Cnx (nN )(4)要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a + bn展开,得到一个多项式；另一方面,也可将展开式合并成二项式a b n二、二项展开式的通项：丁=C：anbk二项展开式的通项 Ti=C：an&bk (k=0,1,2,3 门)是二项展开式的第 k+1项,它表达了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定哥的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广 泛应用对通项 Tk+ =CkanJkbk (k =0,1,2,3 n)的理解：(1)字母

3、b的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共含有 a,b, n,k,Tk由这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素1 23n . 1n例 1. Cn +3Cn +9Cn + 3 Cn 等于 ()/o n c 4n4n -1A. 4 Bo 3 4 Co -1D.33例2. (1)求(1+2x)7的展开式的第四项的系数；1(2)求(x-)9的展开式中x3的系数及二项式系数x文案大全实用标准文档三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中,与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等,即°_n1_n12_ pn -2k_n_kn n ,n n , n n ,n

4、 n ,增减性与最大值：在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值.n如果二项式的哥指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即 n偶数：(C：max=C?；n 1n ：11如果二项式的哥指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并最大,即(C： 1ax=cn =cn 二项展开式的各系数的和等于 2n,令a=1, b=1即C0+cn +C； =(1+1)n =2n； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,令a = 1, b = -1即 C0 +C： +=C： +Cn 十=2n 例题：写出(x y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系

5、数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式(a +a2 +an)n的展开式,可以把其中几项结合转化为二项式,再利用二项式定理展开.1例题：求多项式(x2 +- -2)3的展开式x(2)求二项式之间四那么运算所组成的式子展开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通 项再分析.例题：求(1+x)2 (1 x)5的展开式中x3的系数文案大全实用标准文档例题：(1)如果在的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的24x有理项.求(x+1-2'3的展开式的常数项.X J【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时,常用通

6、项公式,用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的选择那么根据所求的展开式系数和特征来定例题：(12x)7 = a0+ax+a2x2+|+a7x7,求：ai+a2+III+a7;(2)aI+23+25+27；(3)| a.|+ | a |+|+| a? |.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：(1)进行近似计算2n >2n(n >3,ne N )取 2n =(1 +1 7 的展开式(2)证实某些整除性问题或求余数(3)证实有关的等式和不等式.如证实:中的四项即可.2、各种问题的常用处理方法文案大全实用标准文档1近似计算的处理方法

7、当n不是很大,| x |比拟小时可以用展开式的前几项求1 + xn的近似值.例题：1.056的计算结果精确到 0.01的近似值是A. 1.23B, 1.24C. 1.33D, 1.342整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题,通常把哥的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式,再利用二项式定理展开,这里的k通常为±1,假设k为其他数,那么需对哥的底数k再次构造和或差的形式再展开,只考虑后面或者是某项一、二项就可以了要注意余数的范围,对给定白勺整数a,bb #0,有确定的一对整数 q和r,满足a =bq + r ,其中b为除

8、数,r为余数,r = 0, b】,利用二项式定理展开变形后,假设剩余局部是负数,要注意转换成正数例题：求202163除以7所得的余数例题：假设n为奇数,那么7n +C：7n'+C；7n,+口,7被9除得的余数是A. 0 Bo 2Co 7D.8例题：当nW N且n>1,求证2c(1+1)n <3 n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定文案大全实用标准文档综合测试一、选择题：本大题共.12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只 有一项为哪一项符合题目要求的.1.在x _城30的展开式中,x6的系数为A. -27060B. 27C4oC.

9、 9C6oD. 9c402,a + b a 0,b =4a, a + b n的展开式按a的降帚排列,其中第n 项与第n+1项相等,那么正整数n等于A. 4B. 90. 10( )D. 11_13.ja +才亍的展开式的第三项与第二项的系数的比为 .a11 ： 2,贝U n 是A. 10B. 110. 124. 5310被8除的余数是A. 1B. 20. 35. (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A. 1.23B, 1.240. 1.33D. 13()D. 7()D. 1.3411、6.二项式2/X+'i nW N的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,那么此展开式后理项的

10、项数是A. 1B. 20. 3( )D. 4117.设3x3 +x2 n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,假设 t+h=2 72,贝UM#式的x2项的系数是( )A. 1B. 10. 22D. 38.在1+x x26的展开式中x5的系数为( )A. 4B. 50. 6D. 79.斗丹+5/1n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,那么所有项的系数中最大的值是( )A. 330B. 4620. 680D. 79010.人 十14x 15的展开式中,x4的系数为( )A. 40B. 100. 40D. 45文案大全实用标准文档511,二项式1+sinxn的展开式中,末尾两项的系数之

11、和为7,且系数最大的一项的值为-,那么x在0, 2兀内的值为5- f2 ：_55 ：a. 6或 §b- 6或 "6"c-3 或-3-D,-3 或-6"12 .在1+x5+1+x6+1+x7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n5的 A.第2项B.第11项 C.第20项D.第24项二、填空题：本大题总分值 16分,每题4分,各题只要求直接写出结果 .13 . x2 29展开式中x9的系数是 . 2x_ 414 .右2x+n'3=a0+ax+ +a4x, 那么a.+a2 +a4-a+a3的值为.32 n15 .假设x +x 的展开式中只有第

12、6项的系数最大,那么展开式中的常数项是 16 .对于二项式1-x 1999 ,有以下四个命题：展开式中 T1000 = C1999 x ；展开式中非常数项的系数和是1;展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当x=2000时,1-x 1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是 .把你认为正确的命题序号都填上 三、解做题：本大题总分值 74分.17 . 12分假设W+4V展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. ? x1 求n的值；2此展开式中是否有常数项,为什么？文案大全实用标准文档18.12分1+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.19. 12分是否存在等差数列bn,使a1c；+a2cn+a3c2+ an41cn =n.2n对任意n WN*都成立？假设存在,求出数列 an 的通项公式；假设不存在,请说明理由.20. 12分某地现有耕地100000亩,规划10年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占 有量比现在提升10%.如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩精确到1亩？21. 12分设fx=1+xm+1+xnm、n N ,假设其展开式中,关于x的一次项系数为11,试问：m、n取何值时,fx的展开式中含x2项的系数取最小值,并求出这个最小值 .文案大全实用标准文档22. (14分)