一元二次方程提升专题培训含答案

1、10月5日)a=1,贝U b=(第三讲：一元二次程的综合应用1 .如图,假设将左图正形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设Augusi c 一A.号 B.噜C.亨D.V2412 .如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数(如6, 7,8, 13, 14, 15, 20 , 21 , 22).假设圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192 ,那么这9个数的和为(A. 32B. 126C.ABEF和正形的面积是B C3 .如图,矩形 ABCD的长是20cm,以AB , AD为边向外作正形ADGH,假设正形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCDA. 2

2、1cm 2B . 16cm 2 C. 24cm 2 D . 9cm 24 .如果关于x的程(m-2) x2-2 (m-1) x+m=0 只有一个实数根,那么程 mx 2 - ( m+2 )x+ (4-m) =0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C,有两个相等的实数根D ,只有一个实数根5 .假设a, b , c为三角形三边,那么关于x的二次程誉x2+ (a-b) x+c 2=0的根的情况是()Word专业资料A,有两个相等的实数根B,有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定6 .a ,B是关于x的一元二次程x2+ 2m+3 x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足工

3、+廿-二-1 ,那么m的值是A. 3 B. 1 C. 3 或-1D. - 3 或 17 .假设从BC的一边a为4,另两边b、c分另满足b2-5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,贝U9BC的长为 A. 9 B. 10C. 9 或 10 D. 8 或 9或 108 . a2+ a -1=0 ,供+ B -1=0,且 a W B ,那么a * a+ 0 的值为A. 2 B, - 2C. - 1D. 09.A.假设 a?b 力,且有 2a 2+5a+1=0C.10 .设a, b是程x2+x - 2021=0的两个实数根,那么a2+2a+b 的值为A. 2006 B. 2007 C.2021D.

4、202111 .设 a, B 是程 x2+9x+1=0的两根,贝 Ua 2+2021a+1俨 + 2021 0+1的值是A. 0 B. 1 C. 2000D. 4 000 00012 .假设xi、x2是关于x的程x2+bx - 3b=0的两个根,且xi 2+x 22=7 ,那么b的值是A. 1 B, - 7C. 1 或-7 D. 7 或113 .如果关于x的程x2 - 2 1 -k x+k 2=0有实数根a、B ,那么a+ B的取值围是A. a+0 m B. a+04 C. a+0 义D . a+ 0 i二.解做题共3小题14 .等腰zABC的直角边AB=BC=10cm ,点P、Q分别从A、C

5、两点同时出发,均以1cm/秒的Word专业资料相同速度作直线运动,P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t, APCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)当点P运动几秒时,S/PCQ=SZABC?(3)作PELAC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变？证实你的结论.15 .某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了 200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束

6、后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为 40元,设第二个月单价降低x元.Word专业资料(1)填表：(不需化简)时间 第一个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?16 .X1, X2是一元二次程4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2x i - X2)(xi - 2x 2)=-/成立？假设存在,求出k的值；假设不存在,请您说明理由.(2)求使辽+至-2的值为整数的实数k的整数值.Q X1Word专业资料17 ,关于 x 的程 x2- (2k+1

7、) x+4 (k -y) =0 .(1)求证：无论k取什么实数值,这个程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使程的两实数根互为相反数？假设能找到,求出 k的值；假设不能,请说明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长a=4 ,另两边的长b、c恰好是这个程的两根时,求 ABC的长.18 .阅读材料：p2 - p - 1=0 , 1 - q - q2=0 ,且pq w1 ,求出工的值.a解：由 P2-p-1=0 及1-q-q2=o,可知 p网, qs又pqf .p 叶1 -q-q2=0可变形为 弓)2-(；) TH的特征.所以p与;是程x2-x- 1=0的两个不相等的实数根. 那么二 1, 丐二二1

8、|Word专业资料根据阅读材料所提供的法,完成下面的解答.：2m 2 - 5m - 1=0 , -L二一2二.,且 m wn .求：一J 的值. n2 nm nWord专业资料参考答案与试题解析1 .如图,假设将左图正形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设 a=1,那么b=【分析】根据左图可以知道图形是一个正形,边长为a+b ,右图是一个长形,长宽分别为b+a+b 、 b,并且它们的面积相等,由此即可列出等式a+b 2=b b+a+b ,而a=1 ,代入即可得到关于 b的程,解程即可求出b .【解答】解：依题意得a+b 2=b b+a+b ,而 a=1 ,. b2-b- 1=0 ,. b=生匹,而

9、b不能为负,. b=喑应选B.【点评】此题是一个信息题目,首先正确理解题目的意思,然后会根据题目隐含条件找到数量关系,然后利用数量关系列出程解决问题.2.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数如6, 7,8, 13, 14, 15, 20 , 21 , 22.假设圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192 ,那么这9个数的和为Word专业资料AUguST .总裁铝?8 rHs颗 龚SU2VI任1219普C.62B44A.【分析】根据日历上数字规律得出,圈出的 9个数,最大数与最小数的差为16,以及利用最大数与最小数的积为192 ,求出两数,再利用上下对应数字

10、关系得出其他数即可.【解答】解：根据图象可以得出,圈出的 9个数,最大数与最小数的差为 16,设最小数为：x,那么最大数为x+16 ,根据题意得出：x x+16 =192 ,解得：x1 =8 , x2= - 24 ,不合题意舍去,故最小的三个数为：8, 9, 10,下面一行的数字分别比上面三个数大 7,即为：15, 16, 17,第3行三个数,比上一行三个数分别大 7 ,即为：22 , 23 , 24 ,故这 9 个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.应选：D .【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次程的解法,根据得出最大数与最小数的差为16是解题关键.

11、3 .如图,矩形 ABCD的长是20cm,以AB , AD为边向外作正形 ABEF和正形ADGH ,假设正形ABEF和ADGH的面积之和68cm 2,那么矩形ABCD的面积是Word专业资料【分析】此题可设AB=xcm , AD= (10 - x) cm ,那么正形ABEF的面积为x2cm 2,正形ADGH的面积为(10-x) 2cm2,进而结合题意,可列出程,求得答案.【解答】解：设 AB=xcm , AD= (10 -x) cm ,那么正形ABEF的面积为x2cm 2,正形ADGH的面积为(10 - x) 2cm 2,根据题意得x2+ (10 -x) 2=68整理得 x2- 10x+16=

12、0解之得x1=2 , x2=8所以 AB=2cm , AD=8cm 或 AB=8cm , AD=2cm ,综上可求矩形ABCD的面积是16cm 2.应选B【点评】此题主要考查一元二次程的应用,在利用一元二次程解决实际问题时,要根据实际问题对解进行取舍.4 .如果关于x的程(m-2) x2 - 2 (m-1) x+m=0 只有一个实数根,那么程 mx 2 - ( m+2 )x+ (4-m) =0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C,有两个相等的实数根D ,只有一个实数根【分析】由关于x的程(m - 2) x2 - 2 (m T) x+m=0只有一个实数根,那么它为一元一次程,

13、所以 m 2=0 ,即 m=2 ;把 m=2 代入程 mx 2 - ( m+2 ) x+ (4 m ) =0 得 2x2 4x+2=0 ,并且Word专业资料 可计算出=0 ,由此可判断根的情况.【解答】解：二,关于x的程(m-2) x2 - 2 (m-1) x+m=0 只有一个实数根,. m - 2=0 ,即 m=2 ,那么程 mx 2 - ( m+2 ) x+ (4-m) =0 变为：2x2-4x+2=0 ,占4 2 - 4 X2 X2=0 ,所以程有两个相等的实数根.应选C.【点评】此题考查了一元二次程 ax2+bx+c=0(aw0, a, b, c为常数)根的判别式.当4> 0,

14、程有两个不相等的实数根；当 =0 ,程有两个相等的实数根；当< 0,程没有实数根.也考查了一元 一次程和一元二次程的定义.5 .假设a, b , c为三角形三边,那么关于x的二次程jx2+ (a-b) x+c 2=0的根的情况是()A,有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D .无法确定【分析】先求出=b2-4ac,再结合a, b, c为三角形的三边,即可判断根的情况.【解答】解：,jx2+ (a-b) x+c 2=0 ,.叁b 2 4ac=(瓦一b)c"= (a b) 2 - c2= (a bc) (a b+c).a, b, c为三角形三边,. b+c &g

15、t;a, a+c >b. a - b - c< 0, a - b+c >0(a - b - c) (a-b+c) <0,即二次程x2+ (a-b) x+c 2=0无实数根.应选C.Word专业资料【点评】此题考查了一元二次程根的判别式的应用及三角形三边的关系.6.(非课改)a, B是关于x的一元二次程x2+ (2m+3 ) x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足9+±= - 1 ,那么m的值是()A. 3 B. 1 C. 3 或-1 D . - 3 或 1【分析】由于程有两个不相等的实数根可得> 0,由此可以求出m的取值围,再利用根与系数的关系和上+

16、春1= 1,可以求出m的值,最后求出符合题意的 m值- a p【解答】解：根据条件知：a+ B = - 2m+3 ), a B =m 上±-3) = .a5a B 2口即 m 2 - 2m - 3=0 ,所以,得 解得m=3【点评】1、考查一元二次程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用水平.一元二次程根 的情况与判别式的关系:(1) A>0?程有两个不相等的实数根;(2) *0?程有两个相等的实数根;(3) «?程没有实数根.2、一元二次程 ax2+bx+c=0(aw0)的根与系数的关系为：x1+x 2=, x1？x2=；.7.假设从BC的一边a为4,另两边b

17、、c分另满足b2 -5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,贝U9BC的长为Word专业资料A. 9 B. 10 C. 9 或 10 D. 8 或 9或 10【分析】由于两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,可求出b , c的值,而AABC的一 边a为4,由此即可求出 ABC的一边a为4长.【解答】解：二,两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,解得：b=3或2 , c=2或3,MBC的一边a为4 ,假设b=c ,那么b=c=3 或b=c=2,但2+2=4 ,所以三角形不成立,故 b=c=3 . /ABC 的长为 4+3+3

18、=10假设b wc, ；zABC的长为4+5=9 .应选C.【点评】此题主要考查了一元二次程的解法和三角形的长结合起来,利用三角形三边关系得出是解 题关键.8 . a2+ a -1=0 ,供+ B -1=0,且 a W B ,那么a + a+ 0 的值为A. 2 B, - 2 C. - 1 D . 0【分析】由于a2+ a -1=0 ,俨+ B T=0,且a W B所以a , 0是程x2+x - 1=0的两个根,贝 a+ 0二-1 , a B =1 y代入a / a+ B即可求出其值.【解答】解：: a2+ a -1=0 , 02+ 0 7=0 ,且 a W B , .a ,程程x2+x -

19、1=0的两个根,贝U a+ B = T , a B =1,代入 a + a+ 0 = 11= 2.应选B.【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题法.Word专业资料9 .假设 a?b 力,且有 2a2+5a+1=0A. B- B , C-C,223【分析】根据条件“假设 a?b力,且有2a2+5a+1=0 , b2+5b+ 2=0 知,二、b可以看成是关a于x的一元二次程x2+5x+2=0 的两根；然后根据韦达定理求得 xi?x2=2 ,即L?b=2 ,a在；再将其代入所求的代数式求值即可.【解答】解：v2a2+5a+1=0 ,- J-+5 X+2=0 ;a2 a又

20、.b2+5b+2=0 ,工b可以看成是关于x的一元二次程x2+5x+2=0 的两根; axi?x2=2 ,即=？b=2 ,由韦达定理,得【点评】此题主要考查了根与系数的关系、 二次根式的化简求值.解答此题时,不要无视了条件 a?b月,假设在程2a2+5a+1=0 的两边同时乘以2时,那么2a、b可以看成是关于x的一元二次程x2+5x+2=0 的两根,那么 a?b=1 .10 .设a, b是程x2+x - 2021=0的两个实数根,那么a2+2a+b 的值为A. 2006 B . 2007 C. 2021 D . 2021【分析】由于a2+2a+b=a2+a + a+b ,故根据程的解的意义,求

21、得a2+a的值,由根与系数的关系得到a+b 的值,即可求解.【解答】解：V a是程x2+x 2021=0的根,Word专业资料.a2+a=2021a+b= 1,由根与系数的关系得：. a2+2a+b=(a2+a ) + (a+b ) =2021 - 1=2021 .应选：C.【点评】此题综合考查了一元二次程的解的定义及根与系数的关系,要正确解答此题还要能对代数 式进行包等变形.11 .设 a, B 是程 x2+9x+1=0 的两根,贝 U ( a 2+2021 a+1 )(仅 + 2021 0+1 )的值是()A. 0 B. 1 C. 2000 D . 4 000 000【分析】欲求(a 2+

22、 2021 a+1 )(仅+ 2021 B+1 )的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式(a2+ 2021 a+1 )(俨+2021 时1 ) = (a2+9a+1+ 2000 a)(B2 + 9B+1+ 2000 B ),再利用 根与系数的关系代入数值计算即可.【解答】解：: a , B是程X2+9x+1=0 的两个实数根,. 廿 B = -9, a ? B =1 .(a2+ 2021 a+1 )(仅+2021 0+1 )=(a2+9 a+1+ 2000 a)(俨+9 0+1+ 2000 0)又;a,建程X2+9x+1=0 的两个实数根,. +9a+1=0 , 02+9 0+1=0

23、 .( o?+9 a+1+ 2000 a)( 02+9 0+1+ 2000 0)=2000 a ?2000 0=2000 X 2000 a 0 ,而 a ? B =1 ,(2+9a+1+ 2000 a)( 02+9 0+1+ 2000 0)=4 000 000 .应选D .Word专业资料【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题法.12 .假设xi、X2是关于x的程x2+bx - 3b=0的两个根,且xi 2+x 22=7 ,那么b的值是()A. 1 B, - 7 C. 1 或-7 D . 7 或1【分析】根据一元二次程根与系数的关系和代数式变形列出程求那么可.设x1

24、 , x2是关于x的一元二次程ax2+bx+c=0 (aw0 , a , b , c为常数)的两个实数根,贝U x+x 2=上,x1x2=2 .根据x12+x 22= a a(x1+x 2) 2 - 2x1x2代入数值列出程解即可.【解答】解：x1、x2是关于x的程x2+bx - 3b=0的两个根,得 x1+x2=-b, x1x2=-3b.又 x12+x 22=7 ,贝U ( x1+x 2) 2 - 2x 1x2=b 2+6b=7 ,解得 b= 7 或 1 ,当b= -7时,A=49 - 84 < 0,程无实数根,应舍去,取 b=1 .应选A .【点评】此题考查了一元二次程根与系数的关系

25、,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题法.13 .如果关于x的程x2 - 2 (1 -k) x+k 2=0有实数根a、B ,那么a+ 0的取值围是()A. a + 0 m B . a+ 0 同 C. a+ 0 Dr-D . a+ 0【分析】由于关于x的程x2-2(1-k) x+k 2=0有实数根a、B,那么判别式耳,由此可以确定k的取值围,然后利用根与系数的关系确定 a+ B的取值围.【解答】解：= a=1 , b= - 2 (1 k), c=k 2,Ab 2 - 4ac= -2 (1 -k) 2- 4 X1 xk2>0,k4.a+ B =2 1 - k) =2 -

26、 2k ,而 k<,Word专业资料【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题法.14 .等腰zABC的直角边AB=BC=10cm ,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的 相同速度作直线运动,P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点 D.设P点运动时间为t, APCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时,SzPCQ=S ZABC ?(3)作PELAC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变？证实你的结论.【分析】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s , S=

27、；QCXPB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在 B点左侧运动,到达一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我 们应分条答复.【解答】解：(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t , PB=10 -1iI九XtX (10-t )=77(10t-t )当t >10秒时,P在线段AB得延长线上,止匕时CQ=t , PB=t - 10(4分)Word专业资料 ,Szabcu一轴=5Q5 分二当t<10 秒时,SzrcQ = *iOt-t2=50整理得t2 - 10t+100=0 无解6分当 t

28、 >10 秒时,Szpcq = t2-10t>50整理得t2 - 10t - 100=0解得t=5 ±5 舍去负值7分 当点P运动5+尻门秒时,Szpcq=S ZABC (8分)(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.证实：过Q作QM XAC ,交直线AC于点M易证AAPEWzQCM ,. AE=PE=CM=QM= 返t, 2一四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.又. EM=AC=10 V2. DE=5 1当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.同理,当点P在点B右侧时,DE=5 0!综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.Word

29、专业资料QA PS【点评】做此类题应首先找出未知量与量的对应关系,利用量来表示未知量,多问题就会迎刃而解.15.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了 200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为 40元,设第二个月单价降低x元.1填表：不需化简时间第一个月第二个月清仓时单价元8040销售量件2002如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元

30、？【分析】1根据题意直接用含x的代数式表示即可；2利用“获利9000元,即销售额-进价=利润,作为相等关系列程,解程求解后要代入实际 问题中检验是否符合题意,进行值的取舍.【解答】解：1 80 x, 200+10X , 800 -200 200+10X 时间 第一个月 第二个月清仓时单价元8080 -X40Word专业资料销售量(件)200200+10X800 -200 - (200+10X )(2)根据题意,得200 X (80 -50) + (200+10X )义(80 -X- 50) + (400 - 10X)(40 -50 ) =9000整理得 10X 2 - 200X+1000=0,

31、即 X2- 20X+100=0,解得 X1=X 2=10当 x=10 时,80 -x=70 >50答：第二个月的单价应是70元.【点评】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出适宜的等量关系,歹I出程,冉 求解.有关销售问题中的等量关系一般为：利润 =售价-进价.16 【分析】(1)根据程有两个实数根,那么学0,可得k的围,由于程有两个实数根,那么根 据根与系数的关系可得X1+X 2=1 , X1X2=g然后把X1+X 2、X1X2代入(2XL X2)(X1 - 2X2)=-二中,进而可求k的值；(2)由X1,X2是一兀二次程4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根,利

32、用根与系数的关系表小出X1+X2与X1X2,将出+这-2通分并利用同分母分式的加法法那么计算,利用完全平公式变形后,把表示出工2"X1+X2与X1X2代入,整理后根据此式子的值为整数,即可求出实数k的整数值.【解答】解：(1) X1、X2是一元二次程4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根,叁16k 2 - 4 X4k (k+2 ) = - 32k >0 ,且 4k w0 ,解得k<0；X1 > X2是一元二次程 4kx 2 - 4kx+k+2=0 的两个实数根,dk+2X1+X 2=1 , X1X2 = -, 4kWord专业资料2x 1 - X2X12x2

33、=2x 12 4x 1X2 X1X2+2X 22=2 X1+X 22-9x 1x2=2 X12- 9?+2 = 4L184k4k其二一一=4k解上述程得,k=185,.k<0,那么 k= M不成立,不存在这样k的值.(2) X1, x2是一元二次程 4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根,X1+X 2=1 , X1X2=-2 ,且 16k 2 16k (k+2 ) >0,即 k<0, 我,卫+三2=1-2=(勺十二一 2'仆？ 2-配L 2=旦, 盯 叼盯上I叼k+1k+1由此式子的值为整数,得到k=-5, -3, -2, 0, 1, 3.k<0,. k= -5, - 3, -2.【点评】此题考查了根的判别式、根与系数的关系,解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关 系、以及完全平公式的使用.17 ,关于 x 的程 x2- (2k+1 ) x+4 (k -y) =0 .(1)求证：无论k取什么实数值,这个程总有实数根；(2)能否找到一个