食堂排队分析的数学模型+课程感受

1、食堂排队分析的数学模型吴佳平数学学院信息与计算科学 31090519 在学校里,我们常常可以看到这样的情景：下课后,许多同学争相跑向食堂去买饭,小 小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍,本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪. 饥肠漉漉的同学们见到这种长蛇阵,怎能不怨声载道.增加窗口数量,减少排队等待时间, 是学生们十分关心的问题.然而就食堂的角度来说,虽说增加窗口数量可以减少排队等待时 间,提升学生对该食堂的满意度,从而赢得更多的学生到该食堂就餐,但是同时也会增加食堂的运营本钱,因此如何在这两者之间进行权衡,找到最正确的窗口数量,对学生和食堂双方来说都是很重要的.摘要1、首先,我们分析调查

2、到的数据,发现学生流符合泊松分布,效劳时间符合指数分布,由 此我们的模型就变成了排队论中典型的MMn模型,根据MMn模型中的各效率指标的公式,我们可得到学一食堂拥挤情况的各方面数据.2、根据模型求解得到的数据,我们对模型进行了更精确的量化分析.我们发现,解决本模 型的关键就在于分析顾客平均排队时间,我们对其与窗口数之间的关系进行了拟合,并就两者之间关系进行了灵敏度分析.3、针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系,我们从经济学的角度进行了分析,即比拟 增加窗口后本钱的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的大小关系,最后得出学一食堂设置7个窗口最为合理. 进一步,我们结合经济学中的寡头竞争原理

3、,分析了现在6个窗口设置的原因.关键词排队论MMn模型灵敏度等待损失模型的建立与分析由于周六周日学校没课,故学生去食堂的时间较为分散,很少发生排长队的现象,我们在此就不做分析了. 我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析.观察发现,一般打到饭的同学都能找到座位吃饭,故我们可认为,食堂里的座位数是足够的,无需添加新的桌椅. 所以解决食堂拥挤状况,主要是解决排长队的问题.我们将就此问题建立模型,进行分析. 调查数据我们统计了从 6月6日到6月10日周一到周五12: 05至12: 25顶峰期学莘子园 的学生流分布情况：共统计了3059人次的数据,见下表：每10秒到达人数123457频数2574418

4、94956350161由概率论的知识可知,假设分布满足,那么该分布为泊松分布.其中为泊松分布的密度,入为泊松分布的参数由上表可得入=3.39.经检验,该分布近似于泊松分布.虽然我们仅仅调查了一周的数据,但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性,所以认为调查的数据还是较为可靠的.另外在非顶峰时段很少发生排队现象,故在此我们也不做分析.模型假设12: 05至12: 25这一时间且学生单独到来且相互独立.并总向较短的队进行转移,1、由于学校学生多,而食堂少,在中午时段,学生又大都集中在 段赶去食堂吃饭,故我们可认为在该时间段中学生源是无限的, 2、学生对菜色没有特别偏好,每个窗口对学生来说都是一样的.

5、3、食堂实行先来先效劳原那么, 且学生可自由在队列间进行转移, 没有学生会由于队列过长而离去,故可认为排队方式是单一队列等待制.很难对其4、食堂共有6个窗口,经我们观察可发现,每个窗口效劳员的工作效率是随机的,进行精确的分析.所以我们由一般统计规律,认为其满足指数分布, 平均每个学生的效劳时间是15秒,且效劳员之间无差异.5、以10秒为一个时间单位.模型建立基于以上的假设,我们的模型符合排队论中的多通道等待模型M/M/n.该模型的特点是：效劳系统中有n个效劳员,顾客按泊松流来到效劳系统,到达强度为入；效劳员的水平都是科,效劳时间服从指数分布.当顾客到达时,如果所有效劳员都忙着,顾客便参加排队,

6、等 待效劳,一直等到有效劳员为他效劳为止.这个系统的效率指标有：顾客到达强度入每个顾客的平均效劳时间tP效劳员水平系统效劳强度,即平均每单位时间中系统可以为顾客效劳的时间比例:n 1n!(n . ：)n ：iP0) -空闲概率 T i!系统中排队顾客的平均数:“P.2n n!(1 - ) nW =顾客平均排队时间：顾客平均逗留时间：W0 =w t系统中顾客的平均数：L0 = L .模型求解由我们调查的数据可知入=3.39, t =1.5 , n=6,代入以上各式可得:效劳员水平P =-系统效劳强度=5.09 ,P 5.09=0.85 ：二 1由于n 6存在.nDi：n1 iP0 =0一空闲概率

7、:i!n!n=0.031L=P0、i 2n n !(1 -) 系统中排队顾客的平均数：n=27L W = 顾客平均排队时间：,=7.96顾客平均逗留时间：W.=W t =9.46系统中顾客的平均数：L.= L :=32.09由此可见,当我们中午在12: 05至12: 25这个时间段去莘子园吃饭时,一进门就会发现里面已经人满为患,几乎不可能找到空闲的窗口.而且,已经有32个同学正在排队买饭.27个人正在排队等待,平均一个窗口5人.当我们开始排队时,要过80秒钟才轮到我们,要过95秒钟我们才能吃上可口的饭菜,来填饱我们的肚子.为了检验我们的数据与事实相符,我们特地亲身体验了一番,下表是我们的统计数

8、据：表二时间6月13日12:6月14日12:6月15日12:6月16日1214101210排队等待人数4546排队等待时间80857075模型分析对于学生来说,中午的时间是很有限的(12点下课,1点上课),能尽快吃上饭对我们来说是很重要的.同时,学生在食堂排队的平均逗留时间皿艮大程度上可以决定学生对食堂的选择,所以食堂工作人员也希望能尽可能的满足学生的需求.研究学生平均逗留时间W,将是解决本模型的关键所在.平均逗留时间W是由平均排队时间 归口平均效劳时间t组成.我们认为15秒的平均效劳时间对于效劳员来说已经是极限了,如果再加快速度反而可能手忙脚乱,增大出错的可能性,到时反而会降低效率,故我们认

9、为平均效劳时间t不可改变,是个常数.至于平均排队时间 W我们由公式可知它是由顾客到达强度入,每个顾客的平均服务时间1和窗口数n来决定的,由于学生对于食堂的选择都有一定的偏好,即一般都会去同一个食堂吃饭,所以我们可以认为学生流是稳定的,即入为常数,由上面的分析又可知 t也是常数,因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口数n了,下面我们将就n的取值对W勺影响进行分析：由matlab我们可以得到它们两者之间的散点图：散点图：80-7Q -60 -3010注：在上图中我们把W勺单位改成了秒.从图中可看出我们各点之间的变化规律较为平稳,所以我们有可能用屡次多项式将其拟合, 所以我们又用matlab对其进

10、行了三次多项式的拟合,从而得到了它们的拟合图：拟合图：它们之间的二次多项式关系式是:y = -4.3 112.8x-981.6x2 2836.6x3从图中可以看出,随着窗口数的增加,平均排队等待时间急剧减少,当窗口数到达 后时,变化趋于平缓.从拟合图中,我们只能看出窗口数与平均排队等待时间的大致关系, 为了得到更精确的分析,我们将用灵敏度的观点进行讨论.由于窗口数n只能是整数,我们得到如下表的对应关系：表三单位：秒10窗口数n平均排队时间W275.231.640.580.21卜面我们分析平均排队时间对窗口数的灵敏度:S(n,W)=灵敏度=. ：W / . nW/n由此我们可得不同的窗口数n下的

11、灵敏度:窗口数n10表四7灵敏度29.1317.5116.4517.62由此可见,平均排队时间 W对窗口数十分敏感,均到达了 16以上,其中以窗口数从 6 变成7时尤为明显,其平均排队时间由27秒变为5.23秒.而其他几种情况虽也很敏感, 但 是平均排队时间变化的绝对值很小,大小不超过4秒钟.窗口数的优化设计从以上的灵敏度分析可知,当窗口数超过7时,即使增加再多的窗口,其平均排队时间变化的绝对值大小也只在 5秒左右,而这么小的时间间隔我们认为对学生是不会造成什 么影响的.但是增加窗口会给食堂带来巨大的本钱压力,他们自然也不可能增加. 至于小于6个 窗口时,从图中可看出,平均排队时间会大大增加,

12、这会引起学生的极大不满,造成学生的大量流失,当然也是不合理的.至此,我们可看出,最正确的窗口设置是6个或7个.对于学生方面来说, 当然是排队等待时间越短越好,即7个窗口比 的好.对于食堂方面来说,窗口数的增加一方面会导致本钱的增加,另一方面会缩短排队时间,即意味着它能为更多学生效劳,所以它是否会增加窗口数就取决于本钱和收益的大小关系.一般来说,每增加一个窗口,需要多配备三名效劳人员以及一些配套的设施.所以增加窗口数所带来的本钱等于新增效劳人员的工资加上配套设施的维修与清洗费.新增窗口得到的收益是很难估量的.在此我们引入等待损失的概念,即由于排队等待食堂所减少的收益. 如食堂每分钟可得收益 a元

13、,但是由于队列过长,顾客不得不排队等待效劳,这意味着食堂 无法及时为这些顾客效劳,每等待1分钟,食堂就损失a元.所以我们得到等待损失等于食堂单位时间收益乘以平均等待时间乘以顾客数.我们调查得知北京市餐饮行业效劳人员的每月平均工资为700元,即每周平均175元.至于配套设施的维修与清洗,我们可大致认为其每周不超过 300元.由此可知每增加一个窗口, 食堂的本钱就得增加825元.至于食堂从每个学生身上可获得多少利润,由于学生要的菜不同,而且菜的利润也不同,所以是很难确定的,故我们由一般规律假定其每十秒钟可得0.5元利润.所以,学生因等待而使食堂发生的损失,Q=0.3 X 3059W当窗口数从 6变

14、为7时,食堂可少损失 A Q=0.1 X 3059 X A W=0.5X 3059 X (2.7-0.523)=3329.72 元.由此可知最正确的窗 口数为7.然而事实是学一食堂的窗口数是6,在这么长的实践时间里,难道是食堂人员没有觉察当窗口数增加到7时,其利润会更多吗？还是有其它原因呢？其实从理论上来讲,单从一个食堂来讲,7个窗口是最适宜的.但是事实上由于整个学校的学生人数是一定的,故我们的 假设中的第一条,学生源是无限的是不太合理的.当莘子园增加窗口时,必然会夺走其它食堂的学生,因此其它食堂也一定会同样增加窗口,使学生在各食堂间进行从新分配,最后达到新的平衡.可能到头来,虽说莘子园减少了

15、平均排队等待时间,但学生并没有增加多少, 利润也没多大变化,这是得不偿失的.所以学校食堂之间的竞争有些类似于经济学中寡头的 竞争,他们为了攫取最大的利润,彼此之间达成了某种默契,把实际价格定得比理论价格要 高.反映在我们食堂的窗口数设置上,就是莘子园选择了6个窗口,而不是7个窗口.我们认为学校食堂应以为学生效劳为宗旨,不应只看重经济利益,所以强烈建议莘子园增设一个窗口,以满足学生的需求.附录在计算系统中各效率指标和进行拟合时,我们用到了matlab ,其程序如下：计算空闲概率P0和系统中排队顾客的平均数L:主程序： a=3.39; b=1.5; n=6 7 8 9 10; p=a*b; P0=

16、f(n,p); L=f1(n,p,P0);欣件f.mfunction P0=f(n,p)for k=1:5sum=1;a=1;for i=1:n(k)for j=1:ia=a*j;endsum=sum+pAi/a;endP0(k)=(sum+pA(n(k)+1)/(a*(n(k)-p)A(-1)end欣件f1.mfunction L=f1(n,p,P0)for k=1:5a=1;for i=1:n(k) a=a*i;endL(k)=pA(n(k)+1)*P0(k)/(n(k)*a*(1-p/n(k)A2) end进行二次多项式拟合： W=L/a; plot(n,10.*W,*r) k3=polyfit(n,10*W,3); y3=polyval(k3,n); x=4:0.1:10; y3=polyval(k3,x); plot(n,10*W,*r,x,y3,b)课程感受1 .数学实验是利用计算机软件系统作为实验平台,以数学理论作为实验依据, 以数学问题和实际问题的数学模型作为实验对象,以计算机程序为实验手段,以 数值计算、符号演算和图形演示等为实验内容,以实例分析、模拟仿真、归纳总 结等为主要实验方法,以辅助学数学、辅助用数学和辅助做数学为实验目的.在数学实验中,由于计算机的引入和数学实验包的应用,为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容,使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算