必修一数学培优辅导教材第9讲：函数的周期性

1、函数周期性考点：求周期问题 例1：已知/(幻是定义在R上的函数，/(10 +幻=/。0 幻且/(2。一幻=一/(20 +幻，则/0,)是()A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数练1:求函数y = tanc-cotc的最小正周期练2:定义在R上的函数/“)满足/(x + 3) + f(x) = O,且函数/x-为奇函数.绐出以下3个命题:函数/(X)的周期是6；函数f(x)的图象关于点0)对称；函数/(幻的图象关于y轴对称，其中，真命题的个数是().A. 3B. 2C. 1D. 0练3:若y=f(2x)的图像关于直线工=£和 =乙&g

2、t;4)对称，则f(x)的一个周期为()22A.B. 2(一”)C.D. 4(b-a)22练4：已知函数f(x)对于任意凡£R ,都有/( +) +/(“一。)= 2/(")"()，且/(0)=0.求证：/(¥)为偶函数；若存在正数m使得f(/n) = 0,求满足f(x+T) = f(x)的1个T值(TWO).练5：设/(%)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x = l对称.且对任意与电以。，都有 /U +X,) = /(%1)/(%,) , /(1) = 6/>0 .(1)求 /(I)及 /(I)； 乙(2)证明力是周期函数;考点：求值问题成中

3、心对称图形，且满足/a)=-/L+r-匕0例1：已知定义在R上的函数/(X)的图象关于点,4/(-1) = H /(0) = -2 .那么，/(1) + /(2)+ /(2006)的值是()A. 1B. 2C. -1D. -2 练1:设f(x)是定义在R上的奇函数，且y = .f(x)的图象关于直线X =；对称，则f+f+f+f + f (5)=_0.练2:函数“X)对于任意实数x满足条件x + 2) =_,若"1) = 5,则f(5) =o/(X)练3:已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为()(A)-l(B) 0(01(D)2练 4:设是(

4、to,+oo)上的奇函数，/(x + 2) = -/(x)t 当 OWxWl 时，f (x) = x，则 f (7. 5)等于() 练5：已知函数f(x)的定义域为N,且对任意正整数x,都有f(x)=f(xD+f(x+l)若f(0)=2004,求 f(2004) 练6：函数f(x)在R上有意义，且满足：(Df(x)是偶函数;(2)/(0) = 999 ;g(x) = /(x-l)是奇函数，求 /(2008).A. 0. 5B. -0. 5C. L5D. 1 1. 5练7： f(x)是定义在R上的函数，对任意的xWR,都有f(x + 3)W/a)+ 3和/(x + 2)2/(x) + 2,设g(

5、x) = /(x) -x，求证g(x)是周期函数；如果 f (998) =1002,求 f (2000)的值.练 8:数列a4中，d=a, a2=b,且a+2=4打一aKnCN,)求aioo； 求考点：其他综合问题例1、已知/(X)是周期为2的奇函数，当0<xvl时，/*)=怆*设“ =/(2)力=/(上),° = /(2),则 522(A) a <b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D) c<a<b练1: /(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且/(2) = 0,则方程/*)=0在区间(0, 6)内解的个数的最

6、小值是()A. 5B. 4C. 3D. 2练2:已知函数)，= /(x)是定义在R上的周期函数，周期7 = 5,函数y = /(x)(lKxKl)是奇函数又知y = /(x)在0.1上是一次函数，在1.4上是二次函数，且在x = 2时函数取得最小值-5。证明：/(1) + /(4) = 0；求y = /(x),xel,4的解析式；求y = f(x)在4,9上的解析式。练 3：设函数/*)在(一8,+0。)上满足了(2-x) = /(2 + x), y(7-x) = /(7+x),且在闭区间0, 7上,只有 f(l) = f(3) = O.(I)试判断函数y = /(x)的奇偶性；(II)试求方程/(%)二0在闭区间-2005, 2005上的根的个数,并证明你的结论.练4:对每一个实数对x.y,函数f(t)满足£«+ 丫)=£)+丫)+*丫+1,若£(2)=2,试求满足£6)= 的所有整数a.练5：已知为定义在区间(一8,