弹塑性力学总复习教程

1、弹塑性力学课程 期末复习总结第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1基本概念I.应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力户”处武由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正 应力晨和微分面上的.效应力。注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。2. 一点的应力状态（1） 一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。（2）应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何 描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题

2、。在 直角坐标系里，一点的应力张量可表示为(1-Pa)(i-rb)(1-1'c)若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面”上的威力突量力就可以由以下公式求出：“Px = b J + rxym + Txzn p. = Tyxl +(yvm + Txji由式（l-l）,还可进一步求出该微分面上的总应力P、正应力与和剪应力Q：(l-2a)(l-2b)P = ylPx+Py+Pzcrv = <j I2 +<yjn2 +crj?2 +2riv/777 + 2rvjn?+ 2r. zt/1K)zxyyzQ 一次（l-2c）（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内

3、任一点都可能存在这样的微分面： 在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面 的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题： = %（1-3）式中，%为该点应力张量分量构成的矩阵，。“为主应力，为主方向矢量。由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存 在实数的特征值，即主应力必然存在。求解主应力。”的特征方程如下：-八4-/2n=。（l-4a）式中，人、/2和人分别称为成力次曷的第一、第二和第三不变量。并且，/ = crx + by + % =。 + %（ 1 -4b）(l-4c)二

4、ala2a3(l-4d)v.v rT XV应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。（5）最大剪应力在与主方向成45°角的微分面内，剪应力取极值。若规定6 ><72>cr3 ,则最大剪应力出现在过外 主应力轴而平分和轴的微分面上，并且/一/(1-5)，max -2（6）应力球量与应力偏量一一应力张量的分解= b+“(1-6)r 与 0 0、/ 4 b"iQyT.tz式中，b =0 % 0和为=Tyx% - amTyz分别称为应力球10 0 b”“、Tzx% - bm /量和应力偏量，并且 b川=/3 =(%.+0+%)/3。对应力偏量，可以类似于应力

5、张量那样，得到其主值及其三个不变量:(l-7a)5 -/应-= °J f+Sy +% =51+52+53 =% +b), +% -3b川=0 (i-7b)r997人=-SQ'v SVL - 5凡 +Sxv+Svz+Szx *«rJ= 一(SS2 +$2§3 +$3S1)=(S1 +S2S2 +5353)/2= X。 2)2 +(°2 /尸 +(/ -CT,)2(l-7c)1977999=壮(/+6(% +F + %)(l-7d)（7）八面体上正应力和剪应力(l-8a)% =（q+by+b_）/3q =孑 J。b) + (j -+-+ 6(q +

6、q + r j) = ym(l-8b)1.2静力平衡方程d(Jxdr+ - + + X=Odxdy &(l-9a)drc(ydr/ + + + 丫 =。dxdydz.(l-9b)色L +茎+冬+ Z = O dx dy dz1.3静力边界条件三类边界：位移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条乡的表 示形式：(jlTm + Tn = Xi xyaz(MOa)rl +(J in + Tn - Y(MOb)r I + t m +(7 n-ZZX Z)z(MOc)第二章应变状态理论2. 1基本概念1 .位移、变形与应变位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内

7、微 元体形状改变的物理量，称为应变。应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变°正应变用于描述微分平行六面 体棱边的相对伸长量,剪应变用于描述棱边间夹角的变化。2 . 一点的应变状态（1）应变张量与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量 的概念。在直角坐标系里，应变张量可表示为£ ij 二（2）应变主方向、主应变与应变张量的不变量对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线 段在物体变形后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样 方向的微分线段的正应变，称为主应变，与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求

8、解在数学上也归结为 求解一个特征问题：气勺 = £%.（2-1）求解主应变3的特征方程如下：l8 h =0（2-2a）式中，/|、。和。分别称为脑变张曷效第一、第二和第三不变量。并且，1 =分 +%，+4 =句 + 4 +邑（2-2b）(2-2d)(2-3)(2-4)（4）应变球量与应变偏量一一应变张量的分解Sij = & + eij（5）体积应变e8 = £ +2 +£- = /2 . 2几何方程（Cauchy方程）du dv dv £ £瓦，)一万，zdu dv二+Oy Ox 'dv dvv dudvv(2-5)+ y _

9、=1& Oy 9° dzdx应注意Z程效应啜与应变张量分量与之间的区别：%=2%-2.3应变协调方程（Saint Venant方程）保证物体连续性的必要条件(2-6a)(2-6b)(2-6c) 4 "斗 _）一外 dy? dx- dxdy1=&2dz2一 1 4分 _ e2yh&2& 2 dzdx(2-6d)(2-6e)(2-6f)g(/以+也)二22 dx dx dy & dydz、一也+也+以)=2三 dy dy & dx dzdx©(_* +也+也)=2出 && dx dxdy第三章本构方程3.

10、 1基本概念1 .线弹性体的广义Hooke定律aij Cijkl£ij（3-1）2 .弹性应变能的概念由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹 性应变能称为成变能密蹙 用“0表示。对弹性体，脑变能密度函数可表示为以下的一般形式：0（%）=用 b/%（3-2a）对线弹性体，成变箔密度函数的形式如下：。(%)=5 5 闾=J+ b： j) + Av + Mz + J%(3-2b)3 .几种常见的弹性体的基本概念（1）各向异性弹性体（2）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体（3）正交各向异性弹性体（4）横贯各向同性弹性体（5）各向同性弹性体以上各种弹性体的概念，应注

11、意结合实际工程背景去理解。4 .各向同性弹性体的本构方程（1）用应力表示应变的形式砥=:。、一M明+4）EJ/®“.+/）】（3-3a）tLZX =G 9剪切模量2(1+ v) °（2）用应变表示应力的形式%=2"工 +£,+£,+邑）6 = 2“), + 2(. + j j)(3-3b)J = 22 二 + 4( j + 邑 + 邑)«o EvE式中，儿称为拉梅常数，而且"=（1+ ）（_2切， =G"而行5,体变能与畸变能的概念一一弹性应变能的分解体变能f应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变

12、能1E，%，可表示为%八，='/1，K=为体积模量。1 oA3U £V)脆变成一应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能11 73 2Uod可表示为Uod = 2叼%二元,2 =而86 .屈服、屈服条件、屈服函数、屈服而与加载条件、加载函数和加载面的概 心屈服：首次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界限。屈服概念可以从低碳 钢试件的拉伸试验去理解。施淡条距一般是指物体内任一点首次III弹性变形状态进入塑性变形状态，该 点的应力状态所满足的条件。它是判断材料受力到什么程度才开始出现塑性变形 的准则。若把屈服条件用数学函数形式表示，则相应的函数即称为应友函数，屈服

13、函 数在应力空间中对应的曲面，:魅为屈服曲面Q加载条件、加载函数和加载面都是对应于物体发生屈服之后的“屈服”概念 -后继屈服概念。7,几种常见的弹塑性体模型(1)理想弹塑性模型(2)理想刚塑性模型(3)弹塑性线性强化模型(4)刚塑性线性强化模型(5)基次强化模型8 .塑性理论的基本假设9 . Dwek公设与加卸载准则(1)强化模型/(b)<0,弹性状态(3-4a)(3-4b)(3-4c)(3-4d)/(为)=0 , S > 0 加载/(b)=0,deJij < 0 卸载o(Jij/(b)=0,义一db)=o中性变载 caij（2）理想弹塑性模型/（6/）0, 弹性状态（3-5

14、a） = 0,=0 加载（3-5b）Cbij/（%）= o,三1dbjj 0 卸载（3_5c）Oj ?1J10 .主应力空间中的屈服面形状11 .常用的几个屈服条件_ 1 _（1）Tresca屈服条件：一般形式为丁-二5%。在主应力大小已知情况下，Tresca屈服条件应用起来最为简便。即若假设6 60-10-2巴，则有Gx =-一，此时Tresca屈服条件可改写为6 -4=5（2） Mises屈服条件：一般形式为，2= 6或J?= 。（3） Coulomb一Mohr屈服条件12 . Mises的塑性位势理论13 .简单加载定理3. 2弹塑性本构方程1 .增量形式(3-6)(3-7a)(3-7b

15、)de； =1- ds!； +dAs；!2.全量形式IJ 2G lJ lJe： =-Ls. “2舟气 第四章弹塑性力学问题的提法和基本解法4.1弹塑性力学问题所满足的三个基本关系1 .平衡关系一一参见式（1.9）2 .几何关系参见式（2.5）和式（2.6）3 .本构（物理）关系参见式（3.3）、式（3-6）和式（3.7）任何一个弹塑性力学问题都要同时满足以上三个基本关系，这三个基本关系 和边界条件构成了弹塑性力学问题的严格完整的提法。从弹塑性力学问题对应的 数学问题看，这是一组偏微分方程组+边值条件的数学问题。因此，一个弹塑性 力学问题的求解.，就归结为求解一组偏微分方程组的边值问题。4 .

16、2弹塑性力学问题的基本解法通常求解一个弹性力学问题，是要确定15个基本的未知量，它们分别为：6 个应力分量和6个应变分量，以及3个位移分量。求解塑性力学问题，通常也要确 定这15个基本的未知量，但由于材料进入塑性状态后的非线性性，加上所服从的 加载和卸载规律不一样，所以求解过程远较弹性力学问题复杂，往往需要采用数 值解法。以下仅介绍一般的求解策略。1 .位移解法（1） 基本思想以3个位移分量作为基本未知量，并首先求出；在求出3个位移分量后，由儿 何方程确定6个应变分量，再利用本构方程确定6个应力分量。（2） 定解方程及边界条件位移解法的定解方程为以位移分量表示的平衡方程（L-N方程），边界条件

17、应 表述为位移分量表示的形式。2 .应力解法（1）基本思想以6个应力分量作为基本未知量，并首先求出；在求出6个应力分量后，由本 构方程确定6个应变分量，再利用几何方程确定3个位移分量。3 3） 定解方程及边界条件应力解法的定解方程为静力平衡方程+以应力分量表示的协调方程（B-M方 程），边界条件应表述为应力分量表示的形式。3,混合解法以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，并首先求出；然后利用儿 何方程和本构方程确定其它未知量的方法。4 .逆解法和半逆解法第二篇应用部分第五章简单弹塑性平面问题1 .平面应力问题和平面应变问题的概念2 .平面问题的基本方程3 .2平面问题的应力函数解法无体力

18、或常体力情况下，平面问题采用应力解法时，其定解方程为dcr or（i）平衡方程：L+r+x=°dryxdxda+- + r = o出+(2) B-M方程：°(bx+bv) = O若设Airy应力函数8满足：巴d2(pa2X -x (J =-y - y T 'y dx2 ''d2(p dxdy '则平衡方程自动恒满足，协调方程（B-M方程）化为可见，平面 问题采用应力函数解法时，仅有一个基本未知量。，相应的定解方程为V2V> = 0 o5. 3梁的弹塑性平面弯曲问题的解5.4厚壁圆桶问题的解轴对称问题的位移解法5. 5半无限平面问题及圆孔应力集中问题的解在极坐标系里求解第六章柱体扭转问题6.1 柱体扭转问题的基本假设6.2 柱体扭转问题的应力函数解法6.3 解决柱体扭转问题的比拟方法1 .薄膜比拟法仅适用于柱体