求不定方程整数解的常用方法

1、求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程 或方程组.因此,要求一个不定方程的全部的解,是相当困难的,有时甚至是不可能或 不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判 别式、因式分解等有关理论,求得一类不定方程的正整数解 .通过一些具体的例子,给 出了常用的不定方程的解法,分别为别离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐 减小系数法、别离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定 理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程；整数解；整除性1引言不定方程是数论的

2、一个分支,有悠久的历史与丰富的内容,与其他数学领域有密 切联系,是数论中的重要的、活泼的研究课题之一,我国对不定方程的研究以延续了 数千年,“百钱百鸡问题等一直流传至今,“物不知其数的解法被称为中国剩余定 理,学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维水平,提升数学的 解题技能.中学阶段是学生的思维水平迅猛开展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思 维水平,开发学生智力,因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可 少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题,就要有一定的方法与技 巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的表达,无论在中高考还是在每年世

3、界各 地的数学竞赛中,不定方程都占有一席之地,而且它还是培养学生思维水平、观察能 力、运算水平、解决问题水平的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些(如要求是 有理数,整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程,是数论 的重要分支学科,也是数学上最活泼的数学领域之一,不定方程的内容十分丰富,与 代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系 .下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结 ：3 一般常用的求不定方程整数解的方法(1)别离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果中整数局部分 离出来,那么

4、剩下局部仍为整数,那么令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能直接 观察出特解的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解 .例1求不定方程x+5-y=0的整数解x 2)解方程可化为x 5 x 2 3 x 23/3y 二二二二 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2由于y是整数,所以 旦也是整数.x 2由此x + 2 =1,-1,3,-3,即 x = -1,-3,1,-5相应的 y =4,0,2,0.所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下：第一步,化简方程,尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶

5、分析的形式)；第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,便 于下一步讨论；第三步,用辗转相除法解不定方程.例2求不定方程37x+107y=25的整数解.解 由于(37,107) =125,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解：107 =37 2 33,37 =33 1 4,33=4 8 1从最后一个式子向上逆推得到37 (-26) 1079 =1所以37 (-26 25) 107 (9 25) =25那么特解为% = -26 父 25 =-650、y0=9M25 = 225通解为x = -650-107t = -8-107(t+6) tZ、y =225 + 37t

6、=3+37(t+6) '-或改写为x = 8 -107t,t-Z.y =3+37t(3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式,再解这些不等式得到 未知数的取值范围.一.、一1111、_.例3求万程1 +1 +1 = 1适合x之y之z的正整数解. x y z解由于x - y - z所以!<!<1x y z所以1111+ < + + zzzz111 z x y所以1 z <3所以z =2或z =3.当z=2时有所以所以所以2 y <4所以y =3或丫 =4,相应地x = 6或4;当z=3时有所以111+ < + 所以2 .:二3

7、所以y <3,y =3;相应地x =3.所以(x,y,z) =(6,3,2),(4,4,2), (3,3,3).(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换,使不定方程未知数的系数逐渐减小,直到出现一个未 知量的系数为±1的不定方程为止,直接解出这样的不定方程或可以直接能用观察法 得到特解的不定方程为止,再依次反推上去得到原方程的通解.例4求不定方程37x+107y=25的整数解.解 由于37,107 =125,所以原方程有整数解.有37107 ,用y来表示x,得x二经年口二1一3,上山3737那么令12 4y =m w Z,即4y 一 37m =1237由4<37,用m来

8、表示y ,得y= 12 37m =3 9m m44令m曰WZ,得m =4t.将上述结果一一带回,得原方程的通解为4'x= -8-107t、y+3=37t注 解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.假设有解,可先求ax + by = c的一个特解,从而写出通解.当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变 量,逐渐减小系数,直到容易求得其特解为止.对于二元一次不定方程ax - by = c来说有整数解的充要条件是a,bc.x = x0 + btx = Xo bt 0,Z)或y = y.+at5别离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程,如常数项可以

9、拆成 两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程,可采用分解常数项的方法去求解方程例5求不定方程3x+5y = 143的整数解.解原方程等价于3x 5y =143：= 3x 5y =140 3：= 3(x -1) - 5( y -28) =0由于3,5 =1所以x -1 = 5ty -28 = 3t,t Z x =1 _5t所以原方程的通解为,twZ.j=28 + 3t(6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手,一方面可缩小未知数的取值范围,另一方面又可用2n或2n+1(n w Z)代入方程,使方程变形为便于讨论的等价形式.例6求方程x2 +y2 =328的正整数解.解显然x ¥ y ,

10、不妨设x y 0由于328是偶数,所以x、y的奇偶性相同,从而x 士 y是偶数. 令x y = 2ui, x y = 2vi那么 Ui、Vi WZ,且 Ui：Vi：0.所以x = Ui Vi, y = Ui - Vi代入原方程得U2 v2 = i64同理,令U +v1 =2u2,U -V =2v2u2、v2 Z,且u2：V2 ：0于是,有u2 v2 = 82再令u2 v2 = 2u3,u2 -v2 = 2v3怎付22u3 V3 =4i此时,u3、V3必有一奇一偶,且0V3 u3 - ' 4i = 6取V3 =1,2,3,4,5,得相应的2u2 =40,37,32,25,16所以,只能是

11、u3 =5,v3 =4.从而x =18, y =2结合方程的对称性知方程有两组解(18,2 )(2,18 )换元法利用不定方程未知数之间的关系(如常见的倍数关系),通过代换消去未知数或倍 数,使方程简化,从而到达求解的目的.一 ,、一111 ,例7求万程1 + 1 = 1的正整数解.x y7解 显见,x )7, y ；7.为此,可设x=7+m, y = 7 + n,其中m、n为正整数.一、一111 1八.所以原方程1 1 =1可化为 x y 7111+ 7 m 7 n 7整理得7(7 +m )+7(7 +n ) = (7 + m 7 + n )即 mn = 49.所以m1 = 49, n1 =

12、 1, m2 = 7, n2 = 7； m3 = 1, n3 = 49相应地x1 二56,M=8;x? =14, y2 =14;x3 8, y3 =56所以方程正整数解为56,8 , 14,14 , 8,56 .(8)构造法构造法是一种有效的解题方法,并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要 的意义,成功的构造是学生心智活动的一种探求过程,是综合思维水平的一种表达, 也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造表达的是一种转化策略,在处理不定方程问题时可根据题设的特点,构造出符合要求的特解或者构造一个求解 的递推式等.例8三整数a、b、c之和为13且_b=c,求a的最大值和最小值,

13、并求出此 a b时相应的b与c的值.a +b +c =13c解 由题息得J 2,消去b得(13 a cf =acb =acJ整理得到关于c的一元二次方程c2 a-26 c a132 =0.由于2252 =(a -26 2 -4(a -13 2 之0,解得 0 Ma <.Ha = 0,假设a = 1,那么有c2 - 25c +144 = 0,解得c = 16或c = 9,符合题意,此时| a = 1| a = 1,b = -4或Jb = 3；c = 16 c = 9假设a =17时,那么有c2 -9c+16=0,无实数解,故a #17;假设a=16时,那么有c2 -10c+9=0,解得c

14、= 1或c = 9,符合题意,此时a =16' a = 16*b = -4或? b = -12；c = 1、c = 9综上所述,a的最大值和最小值分别为16和1,相应的b与c的值分别为b=,c = 1b = 12 加和Jc = 9b = T-或c = 16b =3配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式,这种方法叫做配方法.配方法是 式子包等变形的重要手段之一,是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段,我 们已经学过用配方法解一元二次方程,用配方法推到一元二次方程的求根公式,用配 方法把二次函数化为标准形式等等,是数学中很常用的方法 .例 9 假设 x2 + y2 +5 =

15、 2x + y,求xy + yx的值.4解由题意x2 -2x y2 - y 5 = 04即(x-12 +二0所以x =1.=二2所以 xy yx =1 1 = 32 2(10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,广泛应用于初等代数、 三角函数及解析几何中,应用此法解题时,先根据条件或结论,再通过恒等变形 或换元等方法,构造出形如a+b、a ,b形式的式子,最后用韦达定理.例10p、q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p 10qk +5Pq = 0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p, q)解设方程的两根分别为x1、x2(x1 < x2 ,由根与系数关系得k

16、 + x2 = 8p - 10q=x1 x2 =5pq由于p、q都是质数,且方程的一根为正整数,可知方程的另一根也是正整数.所以x1 =1,5, p, q,5p,5q=e =5pq, pq,5q,5p,q, p所以 x1 x2 = 5pq 1, pq 5,5q p,5p q.当x1 +x2 =5pq +1时,即5pq +1 = 8p -10q,由于p、q均是质数,所以5pq+1 ：10p：8P-10q,故此时无解.当 x1 +x2 =5pq+5 时,即 pq+5 = 8p10q,所以(p+10)q-8)=-85,由于 p、q都是质数,且p+10)q-8,所以'p+10 =17,85、q

17、 - 8 = _5,_ 1解得符合条件的质数对为 p,q =7,3.当x1 +x2 =5q+p时,即5q+p =8p-10q,所以7P = 15q,满足条件白质数对.当 x1 +x2 =5p +q 时,即 5p +q = 8p -10q,所以 3P =11q,于是 (p,q )=(7,3或(p,q )=(11,3.综上所述,满足条件的质数对为(p,q)=(7,3或(p,q )=(11,3)(11)整除性分析法用整除性解决问题,要求学生对数的整除性有比拟到位的把握.例11在直角坐标系中,坐标都是整数的点称为整点,设 k为整数,当直线y = x-3或丫 = kx+k的交点为整数时,k的值可以取()

18、A.2个 B.4 个 C.6 个 D.8 个解 当k=1时,直线y = x3与y=x+1平行,所以两直线没有交点；当k=0时,直线y=xg 丫=0.取轴 改点为整数；, ,- y = x3 一,一 ,一一-3-kk-1-4ky =当k#1、k#0时,直线y =x 3与丫 =kx+k的父点为方程组3 ' 的解,解得 y = kx + kk-1由于x、y均为整数, 所以k -1只能取±1,±2,±4解得k =2,0,3,-1,5,3.综上,答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时,假设因数分解法、约数分析均不能奏效,我们不妨将其中一个未 知数看成参数,然后

19、利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12k为整数,假设关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+1 = 0有有理根,求k值.解由于k#0,所以kx2+(2k+3x+1=0的根为-(2k +3)-J4k2 +8k +9-(2k+3) 土式 2k +2 f +5x =2k2k由原方程的根是有理根,所以(2k+2 2+5必是完全平方式.可设(2k +2 2 +5 = m2,那么 m2 -(2k+2 f =5,即m 2k 2 m -2k -2 )=1 5,由于m、k均是整数,所以10'm+2k+2=1m 2k 2 = 5m-2k -2 =5m - 2k - 2 = 1m 2k 2=5m 2k 2

20、 = 1m-2k-2 - -5解得k = 2或0,由于k = 0,所以k的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的根底知识,也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式 = b2 4ac的值来判定方程是否有实数 根,再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法,不仅可以稳固根底知识,还 可以提升解题水平和根底知识的综合运用水平.,.、一一1 113例13求方程, + 1+二=3的整数解.x y xy4解方程可化为24 - 3x y 4xy -4 = 0由于x、y均为整数,所以 =16x2 -48x+64之0,且为完全平方数.于是,令16x2 -48x+

21、64 = (4n2,其中n为正整数所以x2 -3x 4 -n2 = 0由于x、n均为整数所以A=9-4(4-n2)>0,且为完全平方数,即有,4n2-7为完全平方数.于是,再令4n2 -7 =m2,其中m为正整数所以2n m 2n -m =7由于2n+m与2n-m奇偶性相同,且 2n+m)2n-m11所以2n m = 7,2n _ m = 1由上n = 2.相应的x2 -3x = 0,解得x = 3或* = 0(舍去)所以x = 32把x = 3代入万程中得y=2或y=2(舍去)所以y=2所以 x, y = 3,2(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的根底知识之一.它应用广泛,在多

22、项式简化、计算、 方程求根等问题中都有涉及.因式分解比拟复杂,再解题时,根据所给题目的特点,灵 活运用,将方程分解成假设干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数,这样就有可能消去某些未知数,或确定未知数的质因数,进而求出其解.利用因式分解法求不定方程ax +by = cxy(abc丰0照数解的根本思路：将ax + by = cxy(abc手0 )转化为(x - a (cy -b )=ab后,假设ab可分解为ab= a1bl=ab w乙那么解的一般形式为ai +ax 二2再取舍得其整数解.b +by =l c2 3 1.一 例14万程 -3= ,a、b都是正整数,求该方程的正整数解.a

23、b 4解方程可化为8b -12a -ab所以ab 12a - 8b 96 = -96即a - 8 b 12 )=-96由于a、b都是正整数 所以b 0, b 12 12这样b +12 =16 或 24 或 32 或 48 或 96所以b = 4或12或20或36或84相应地a =2或4或5或6或7所以方程的正整数解为：2,4 , 4,12 , 5,20 , 6,36 , 7,84 .124小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索,归纳提炼出一些解这类题的 常规方法和技巧,对解不定方程具有一定的指导意义；并且,还根据自己的积累,总结, 开掘出一些新的方法,技巧,具有创新和学习的意义 .不

24、定方程组在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值 .正确解决这类 问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件,特别注意挖掘隐 含的条件,使理论化与实际化相结合,灵活运用所学的数学知识,从而讨论出符合题 意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结, 在解决实际问题时,应具体问题具体分 析,灵活选用方法技巧,这对于学生的思维水平、分析问题、解决问题的水平的提升 有很大的帮助.13参考文献1王云峰.判别式法J.数学教学通讯,2021(07):14 -16.2濮安山.中学数学解题方法M.黑龙江：哈尔滨师范大学出版社,2003年10月.3王秀明.浅析不定方程的解法J.数理化学习,2021(8 ) :22 -25.4黄一生.因式分解在解题中的应用J.初中生之友,2021(Z):32 -35.5张东海,尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用J.中学数学教学参考,1994(5):22-23.6范浙杨.初中数学竞赛中整数解问题的求解方法J.中学数学研究,2006(12):17-19.7黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法J.数理化学习(初中版),2005 (3) :27 -31.8 Grine