不规则图形面积、滚动问题

1、不规那么图形面积的求法、平面图形的滚动问题?类型之一求不规那么图形的面积方法一割补法1 .如图 7 ZT-1 ,在 ABC 中,AB=AC, /ABC=45° ,以 AB 为直径的.O 交 BC 于点D,假设BC = 4#,那么图中阴影局部的面积为A.兀+1 B.兀+2 C. 2兀 + 2 D. 4兀+12 .如图7ZT 2,在矩形 ABCD中,AB=>/2, BC=2,以点A为圆心,AD为半径画 弧交线段BC于点E,连结DE,那么阴影局部的面积为A.一成B.2- 2C. 71-72D.兀一乎3 .如图7ZT3,在RtABC中,/C = 90° , AC = BC =

2、 1.将其放入平面直角坐标系,使A点与原点重合,AB在x轴上, ABC沿x轴顺时针无滑动地滚动,点A再次落在x轴上时停止滚动,那么点A经过的路线与x轴围成图形的面积为 4 .如图7 ZT4,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转 90°到矩形A BCD'的位置, AB =2, AD = 4,那么阴影局部的面积为 .方法二覆盖法图 7 ZT 65 .如图7ZT 5,在扇形AOB中,/AOB=90° , C为OA的中点,CELOA交弧AB于 点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧 CD交OB于点D.假设OA = 2,那么阴影局部的面积为6 .如图7ZT 6,在扇形 OAB

3、中,C是OA的中点,CDXOA, CD与AB相交于点 D,以点O为圆心,OC的长为半径作CE交OB于点E,假设OA=4, Z AOB =120° ,那么图中阴影 局部的面积为.结果保存兀方法三用旋转法求图形的面积7 .如图 7 ZT7,在 RtABC 中,/ACB=90° , AC=4, BC=3,将RtAABC 绕点A逆时针旋转30.后得到 ADE,那么图中阴影局部的面积为 13A.127tB.3兀425D.-兀128 .如图7ZT 8, AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45° ,点 A旋转到点A的位置,那么图中阴影局部的面积为AC 图 7 Z

4、T 771c.2D. 4兀图 7ZT 99.如图 7 ZT 9,在 RtABC 中,/BCA=90° , /BAC=30° , BC=2,将 RtAABC绕点A顺时针旋转90°得到RtA ADE,那么BC扫过的区域阴影局部的面积为71A.万DB. (2-m)兀 C.2 T 兀10.如图7 ZT 10,在正方形 ABCD中,AD = 2, E是AB的中点,将 BEC绕点B 逆时针旋转90°后,点E落在CB延长线上的点F处,点C落在点A处.再将线段 AF绕 点F顺时针旋转90°得线段FG,连结EF, CG.(1)求证:EF/CG;2求点C,点A在旋

5、转过程中形成的Ao, AG与线段CG所围成的阴影局部的面积.图 7 ZT 10?类型之二平面图形的滚动问题11 .如图7 ZT11,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图 位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90.至图位置,以此类推,这样连续旋转2021次.假设AB = 4, AD =3,那么顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为 A. 2021 兀B. 2034 兀C. 3024兀D. 3026 兀12 .如图7 ZT 12,水平地面上有一面积为 30% cm2的扇形AOB,半径OA=6 cm, 且OA与地面垂直,在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至 OB

6、与地面垂直为止,那么点O移动的距离为 图 7 ZT 12图 7 ZT 1313 .如图7 ZT 13,在扇形 AOB中,OA=10 cm, /AOB = 36° .假设将此扇形绕点 B 顺时针旋转,得一新扇形AOB,其中点A在OB上,那么点O的运动路径长为 cm.结 果保存兀14 .如图7ZT 14,在矩形 ABCD中,AB=5, AD=12,将矩形 ABCD按图中所示 的方式在直线l上进行两次旋转,那么点B在两次旋转过程中经过的路径的长是 .Si|C L图 7 ZT 1415 .如图7ZT 15,正六边形硬纸片 ABCDEF在桌面上由图的起始位置沿直线 l 不滑行地翻滚一周后到图的

7、位置.假设正六边形的边长为 2cm,那么正六边形的中央 O运动 的路程为 cm.图 7 ZT 1516 .如图7ZT 16,在边长为1的小正方形网格中,将 ABC绕某点旋转到 A'B'C'的位置,那么点B运动的最短路径长为产 - 1 -i b b D i I J1 i iiL - -U-? L k"一对fI B r I I i h i i J i I yr1-ii I iI S 811 ILI图 7 ZT 1617 .如图7 ZT 17,在边长为1的正方形网格中, ABC的顶点均在格点上.(1)画出 ABC关于原点成中央对称的 A'B'C

8、9;,并直接写出 ABC各顶点的坐标;(2)求点B旋转到点B的路彳5长(结果保存兀).图 7 ZT 17详解详析1. B 解析考查圆中阴影局部不规那么图形面积的求解.连结 OD,采用分割法,把阴1.一影局部分成两局部 ,即S阴影= Sbod +4s圆.由AB=AC, Z ABC = 45 , BC = 4 也 得 ABC是等腰直角三角形,由勾股定理求得.O的直径为4,那么OA=OB=OD = 2, S阴影=Sabod +1114s圆=5 "'丐兀X 22=兀 + 2.2. A 解析如图,连结AE,.在矩形 ABCD 中,AB=W,BC=2,AE= AD = BC= 2.在 R

9、tAABE 中, BE=#AE2AB2 =7* (0 2 =yf2,.ABE是等腰直角三角形.Z BAE = 45° , ./DAE = 45° ,45 兀 X 22360S 阴影=S 扇形 DAE - Sa DAE1X2X 22= y-V2.应选A.一 13.兀+2 解析如图,$=$扇形人8人,+$4BC A +$扇形人.人"=135360兀O 11X ( 2)2 2- +- 71 =48兀-2 J3 解析.四边形ABCD是矩形, 31,AD=BC = 4, CD=AB=2, / BCD = / ADC = 90° ,.-.CE=BC=4, .CE=2

10、CD, ./ DEC =30 ° , ./ DCE = 60° ,由勾股定理,得DE =2 ® 607tx 42 1l 8 l阴影局部的面积= S扇形CEB SaCDE = 360 - 2 X 2 X 2 V3=3兀-2 串.5.12+乎解析如图,连结OE, AE.由CEOA, C为OA的中点可得 AOE是等边三角形,/AOE = 60° , CE = J3, S 阴影=S 扇形 AOB - S 扇形 COD 一 (S 扇形 AOE - SaCOE)90 兀 X 22 90 兀 X 12 60 兀 X 22 1 , r-=x 1 x / 33603603

11、6023 2 , .3=二兀一二兀4 32=三十出122 46.-Tt + 2 yp 解析如图,连结OD, AD,3 . CDXOA, 在 RtADOC 中,OC = 1oA = 1OD ./ CDO = 30° , / DOC= 60° , .ADO为等边三角形,c60 兀 X 42 8 S 扇形 AOD = T 兀,3603 S 阴影=S 扇形 AOB S 扇形 COE 一 S 扇形 AOD SaCOD1/2X2 出120 兀 X 42 120 兀 X228 3603603164=兀兀一337 .D 解析由勾股定理,得AB =,AC2+ BC2= 5.由旋转的性质可知

12、ABCAADE ,且/DAB = 30° .S阴影 = SABC + S扇形 ADB Sa ADE =S扇形ADB =30 兀 X 5236025兀12.应选D.8. B45>< 兀 * 4 c 一解析S阴影=S扇形ABA'+S半圆一 S半圆=S扇形ABA'= ccc 2 71 3609 . D 解析.在 RtABC 中,/BCA = 90° ,BC2+AC2= AB2,即 AB2 AC2=BC2.整个图形的面积=S4ABC + S扇形BAD= S阴影+ S扇形CAE+ Sa AED ,又 S ABC=Sa AED , S阴影=S扇形BAD -

13、S扇形CAE =36090 兀 (AB2AC2)90 兀- BC210 .解：(1)证实：四边形 ABCD是正方形,AB= BC = AD= 2, /ABC = 90° .BEC绕点B逆时针旋转 90°得 BFA, . BFAA BEC, ./ FAB = /ECB, Z ABF = Z CBE=90° , AF = EC , ./ AFB + Z FAB =90° . 线段AF绕点F顺时针旋转90.得线段FG, ./AFB + /CFG =/AFG=90° ,AF=FG, ./ CFG = Z FAB=Z ECB,EC/ FG. AF= EC

14、, AF=FG, ,EC=FG,四边形EFGC是平行四边形,EF / CG.(2) /A BFAABEC,1 BF= BE = AB= 1 ,AF = AB2+ BF2 =季.在 FEC和 CGF中,-. EC=FG, /ECF = /GFC, FC = CF , . FECA CGF , SaFEC = Sa CGF. S 阴影=S 扇形 BAC + SAABF + Sa FGC - S 扇形 FAG =90 兀 X 22 136 + 2x2x1 + 2x(1 + 2)x1-90tt X (季)2 5 兀1=3602 4 .一一 一八,I 90 71 X 411. D 解析转动第一次点 A经

15、过的路线长是180 = 2兀,转动第二次点A经过的路线长是90% X 5 51802 '转动第三次点A经过的路线长是90% X 3 37T7=二兀,1802 '转动第四次点A经过的路线长是0,转动第五次点A经过的路线长是以此类推,每四次转动为一个循环故顶点A转动四次经过的路线长为5, 3°2兀+2兀+2兀 =6兀.2021+4=5041 ,这样连续旋转 2021次,顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长是6% X 504+2兀=3026兀.应选D.12. 10兀cm 解析观察图形可知点 O移动的距离即为扇形滚动的距离,而扇形滚1动的距离为优弧 AB的弧长,由于S扇形=

16、lR,所以1=10兀cm.13. 4兀解析根据题意,知OA=OB.又/AOB=36° ,/OBA=72° ,点O的运动路径长=72：；j 10 = 4兀(cm).18014. 25 解析如图,连结 BD, B' D,作弧 BB', ePB.* fl'/:. 工8 gICJ-XA D那 AB=5, AD=12,BD=、52+ 122 = 13,BB =90X 兀 X 1318013兀2手 90X 兀 X 12又. BB =-180=6兀点B在两次旋转过程中经过的路径的长是等+ 6兀=等,其中央就以正六边形的半径为半径15. 4兀解析根据题意得：每次滚动正六边形 旋转60° ,正六边形的边长为 2 cm,中央O运动的路程为60 71 X 2180从图运动到图共重复进行了六次上述的移动,正六边形的中央 O运动的路程为6 X = 4 % (cm).316, 2 71 解析先确定旋转中央作线段CC的垂直平分线；连ZAA；作线段AA' 的垂直平分线与线段