2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率教学案新人教B版

1、3. 1.1 函数的平均变化率学习目标1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义 2 会求函数f(x)在X。到xo+Ax之间的平均变化率.3.掌握求函数f(x)在xo到Xo+Ax之间的平均变化率的方法与步骤.产预习导学全 挑战自我.点点落实_知识链接很多人都吹过气球， 回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢?答：气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是(1)当V从 0 增加到 1L 时，气球半径增加了r(l) r(0)(2)当V从 1L 增加到 2L 时，气球半径增加了r(2) r(1)0.16

2、 (dm),气球的平均膨胀率为r二- 0.16(dm/L).可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 预习导引1. 函数的变化率的定义已知函数y=f(x)在点x=X。及其附近有定义，令Ax=xX0；Ay=yy0=f(x)f(X0)=f(x+ Ax)f(X0).f X0+ Axf X0Ay则当Ax丰0,比值=1AxAx叫做函数y=f(x)在X0到X0+Ax之间的平均变化率.2. 平均变化率的计算过程自变量的改变量Ax=X2X1函数值的改变量Ay=y2y1=f X2f X1=f X1+Axf X1y y2yifX2f xif xi+ Axf xiAx X2xiX2xiAx 0.6

3、2 (dm),气球的平均膨胀率为r1rI1 0.62(dm/L).2戸课堂讲文全 車点难点.亍个击破_要点一平均变化率_ _ 2例 I 已知函数h(x) = 4.9x+ 6.5x+ I0.(1)计算从x= I 到x= I +Ax的平均变化率，其中Ax的值为2;i;0.i :0.0I.根据(i)中的计算，当Ax越来越小时，函数h(x)在区间i,i +Ax上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (i)V Ay=h(i+ Ax)h(i)= 4.9(Ax)23.3Ax,.Ay-=4.9Ax3.3.Ax1当Ax= 2 时，Ay= 4.9Ax 3.3 = i3.i ;AxAy2当Ax=i 时，严=4.9Ax3

4、.3=8.2;AxAy3当Ax= 0.i 时，= 4.9Ax 3.3 = 3.79 ;Ax4当Ax= O.Oi 时，Ay= 4.9Ax 3.3 = 3.349.Ax(2)当Ax越来越小时，函数f(x)在区间i,i +Ax上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(i)先计算自变量的改变量Ax=X2xi;再计算函数值的改变量Ay=f(X2) f(xi);,口十亠、八亠Ay fX2f xi(3)得平均变化率Ax= xi .跟踪演练 i 求函数y=f(x) = 3x2+ 2 在区间xo,xo+Ax上的平均变化率，并求当xo= 2,Ax= 0.i 时平均变化率的值.解 函

5、数y=f(x) = 3x+ 2 在区间xo,xo+Ax上的平均变化率为fXo+ AxfXo_：! Xo+ Ax+2JXo+丄xo+ Axxo=Ax6xo Ax+ ； Ax2=6xo+3Ax.Ax2当Xo= 2,Ax= O.i 时，函数y= 3x+ 2 在区间2,2.i 上的平均变化率为6X2+ 3Xo.i =i2.3.3要点二求物体运动的平均速度12例 2 以初速度V0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s（t）=vot 2gt.（1）求物体从时刻to到时刻to+At这段时间的平均速度V；求物体在 t = 10s 到 10.4s 这段时间的平均速度.解由to到to+At，则改变量为At.

6、As=s(to+ At)s(to)1212=Vo(to+ At)g(to+ At)voto+2gto1Atvogto At2gAt(2)当to= 1os 时，At= o.4s , 则物体在t= 1os 到 1o.4s 这段时间的平均速度1v=vo1og2Xgxo.4=vo1o.2g.规律方法已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在to,to+At内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在to,to+At内的平均变化率.跟踪演练 2 动点P沿x轴运动，运动方程为x= 1ot+ 5t2,式中t表示时间（单位：s） ,x表示距离（单位：m）,求在 2otw2o+

7、At时间段内动点的平均速度，其中(1)At=1,(2)At=o.1,(3)At=o.o1.解 动点在 2owtw2o+At时间段内的平均速度为IU取+At+520+ At2-1ox2o-5X2o2At(1)当At= 1 时，v= 5X1+ 21o= 215(m/s) (2)当At= o.1 时，v= 5Xo.1 + 21o = 21o.5(m/s)当At= o.o1 时，v= 5Xo.o1 + 21o= 21o.o5(m/s)要点三平均变化率的实际应用12o例 3 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为Rt）= 卫 + 15,其中T（t）为体温（单位：C）,t为太阳落山后的时间（单位：min）.

8、=AtvogtoAt1g(At)2.21=vogto2gAt.21oAt+；：AtAt2-=5At+21o,4求：(1)从t= Omin 到t= 10min，蜥蜴的体温的平均变化率.体温T(t)对时间t的变化率.=-1.6C/min.从t= 0 到t= 10min,蜥蜴的体温的平均变化率为1.6C/min.(2)设时间的增量为t，则体温T(t)的改变量为120120TT(t+t)T(t)t+ t+ 5+15t+ 515120 tT 120t+ t+一t+5t t+ t +Gt+5规律方法平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过

9、程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称.如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比.函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念.跟踪演练 3 一正方形铁板在 0C时，边长为 10cm,加热后会膨胀，当温度为tC时，边长变为 10(1 +at)cm,a为常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.解设温度的增量为 t，则铁板面积S的增量2222222SS= 10 1 +a(t+ t) 10 (1 +at) = 200(a+at) t+ 100a( t) , 云=200(a+29at) +

10、 100at.故铁板面积对温度的膨胀率为200(a+a2t) + 100a2t.戸当堂检测聾当堂训练.体验成功_1.一质点运动的方程为s=5 3t2,则在一段时间1,1 + t内相应的平均速度为()A. 3 t+ 6B. 3 t+ 6C 3 t 6D. 3 t 6(i)辽TL=t10120话 +1512051015故体温T(t)对时间t的变化率为120t + t + ;： t + ;：5答案 D222解析 /s=53(1+ t)(53X1)= 3(t)6At, v3 t26t=3At6.62.已知函数f(x)= 2x2- 1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 +x,1 + y)，则 孕等于x( )2A. 4B. 4xC. 4+ 2 xD. 4 + 2( x)答案 C2解析 y=f(1 + x) f(1) = 2(1 + x) 1 12y=2(x)2+4Ax,=2Ax+4.x3.在曲线y=x2+ 2 的图象取一点(2,3)及邻近一点(2 + x,3+ y)，则 岂为()1 1A. x+ 4B. x 4xx1C. x+ 4D. 4+ xx答案C解析y f+ xf+ x 4=x+ 4.XXX28n4.将半径为R的球加热，若半径从R= 1 到R=m时球的体积膨胀率为 ，则m的值为答案 2解析V= -毎牛1), m= 2 或 m= 3(舍).课堂禺结-1理解平均变化率要注意以下