2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及

1、3. 2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课前自主学习，垄稳才能楼高预习课本 P5657,思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何?(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?新知初探1 复数的加、减法法则设 乙=a+bi ,Z2=c+di(a,b,c,d R),贝Uzi+Z2= (a+c) + (b+d)i ,zi-Z2= (ac) + (bd)i.2 复数加法运算律设Zi,Z2,ZsC,有 乙 +Z2=Z2+Zi,(Zi+Z2) +Z3=Zi+ (Z2+Z3).3 复数加、减法的几何意义- - - -设复数Zi,Z2对应的向量为OZ,OZ，则复

2、数Zi+Z2是以OZ,OZ为邻边的平 - - - 行四边形的对角线 龙 所对应的复数，ZiZ2是连接向量0Z与0Z的终点并指向一四 的向量所对应的复数.点睛对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.I小试身手i 判断(正确的打“V”，错误的打“x”)2(i)-复数与向量对应.( )3(2) 复数与复数相加减后结果只能是实数.()(3) 因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.答案：X(2)X(3)X2.已知复数乙=3+ 4i ,Z2= 3 4i，

3、贝9Z1+z等于()A. 8iB. 6C. 6 + 8iD. 6 8i答案：B3.已知复数z满足z+ i 3 = 3 i，贝U z等于()A. 0B. 2iC. 6D. 6 2i答案：D- - 1 + i 与 1 + 3i 分别对应向量OA和0B，其中0为坐标原点,-则|AB|等于()A. 2C. 10答案：B典例计算：(2 3i) + ( 4 + 2i)=_.(2)已知zi= (3x 4y) + (y 2x)i ,Z2= ( 2x+y) + (x 3y)i ,x,y为实数，若zi乙=5 3i，贝U|Zi+Z2| =_ .解析(1)(2 3i) + ( 4+ 2i)= (2 4) + ( 3+

4、 2)i = 2 i.(2)Z1Z2= (3x 4y) + (y 2x)i ( 2x+y)+ (x 3y)i = (3x 4y) ( 2x+y)+ (y 2x) (x 3y)i = (5x 5y) + ( 3x+ 4y)i = 5 3i ,5x 5y= 5,所以-3x+ 4y= 3,所以Z1= 3 2i ,Z2= 2 + i，贝VZ1+Z2= 1 i ,所以 | Z1+ Z2| = -2.答案2 i (2)；24.在复平面内，复数B. 2D. 4课堂井练设计”举能通类复数代数形式的加、减运算解得x= 1,y= 0,4复数代数形式的加、减法运算技巧5(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部

5、与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. 复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到 右依次进行计算.活学活用已知复数zi=a2 3-i ,Z2= 2a+a2i，若乙+z是纯虚数，则实数a=_ .解析：由条件知zi+Z2=a2- 2a 3 + (a2 1)i ,又zi+Z2是纯虚数，所以答案:典例如图所示，平行四边形 OABC 勺顶点 O, A, C 分别表示- (1)AO表示的复数；-对角线CA表示的

6、复数;-(3)对角线OB表示的复数.- - -解(1)因为AO= OA,所以AO表示的复数为一 3 2i.(2) 因为CA=OA OC,所以对角线CA表示的复数为(3+ 2i) ( 2 + 4i)=5 2i.- - - -(3) 因为对角线OB=OA+OC,所以对角线OB表示的复数为(3 + 2i) + ( 2 + 4i) = 1+ 6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1) 复数z=a+bi(a,b R)是与以原点为起点，Z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2) 一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.活学活用- a2 2a 3= 0,A17解得a= 3

7、.复数加减运算的几何意义0,3+2i , -2+4i.求:6复平面内三点A, B, C, A点对应的复数为 2 + i，向量BA对应的复数为 1 + 2i，向-量BC对应的复数为 3 i，求点C对应的复数.解:TBA对应的复数为 1 + 2i ,BC对应的复数为 3-i.7- - - AC=BCBA对应的复数为(3 i) (1 + 2i) = 2-3i.- - - 又OC=OA+AC,C 点对应的复数为(2 + i) + (2 3i) = 4 2i.解析(1)设复数-i , i , -1-i 在复平面内对应的点分别为Z1, Z2, Z3,因为 |z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2，所以

8、点 Z 的集合为线段 Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段 Z1Z2 上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以 |z+i+1|min=1.答案A解：如图所示，|OM| = .( ., 3)2+ ( 1)2= 2.所以 |Z|max= 2 + 1 = 3, |z|min= 2 1 = 1.一题多变1.变条件、变设问若本例题(2)条件改为已知|z| = 1 且z C,求|z 2 2i|(i 为虚数单位)的最小值.解：因为|z| = 1 且z C,作图如图：典例A.C.(1)如果复数Z满足|Z+ i| + |z i| = 2，那么|Z+ i + 1|的最小值是(1B.2D. 5若复数

9、z满足|z+ 3 + i| 1,求|z|的最大值和最小值.J复数模的最值问题解:TBA对应的复数为 1 + 2i ,BC对应的复数为 3-i.8所以|z 2 2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点R2,2)的距离，所以|z 2 2i|的最小值为|0P 1 = 2.2 1.92.变条件若题 中条件不变，求|z 3|2+ |z 2i|2的最大值和最小值.解：如图所示，在圆面上任取一点P,与复数ZA=3,ZB=2i 对应点 A,B相连，得向- - - - 量PA,PB,再以PA,PB为邻边作平行四边形.P为圆面上任一点，ZP=z,2 2 2 2 2则 2|PA| + 2|PB| = |AB|

10、 + (2|PO|) = 7+ 4|PO| ,(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，所以 |z 3|2+ |z 2i|2= 2 7 + 4z而|z 3 imax= | OM| + 1 = 1 +,2I2Z-工-imin= |O M| 11.2I2层级一学业水平达标1.已知z= 11 20i，贝 U 1 2i z等于()A.z 1B.z+ 1C. 10+ 18i解析：选 C 1 2i z= 1 2i (11 20i) = 10 + 18i.2 .若复数z满足z+ (3 4i) = 1，则z的虚部是()A. 2B. 4C. 3D. 4解析：选 Bz= 1 (3 4i) = 2+ 4i，故

11、选 B.3.已知Z1= 2 + i ,z2=1 + 2i，则复数z=Z2Z1对应的点位于()A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 Bz=Z2Z1= (1 + 2i) (2 + i) = 1 + i，实部小于零，虚部大于零，故位 于第二所以 |z 3|2+ |z 2i|2的最大值为 27+ 2 .43,最小值为27 243.谍匠层级训练.歩步提升陡D. 10 18iA. 3B. 210象限.4.若Z1= 2+ i ,Z2=3 +ai(a R),且 乙+Z2所对应的点在实轴上，贝Ua的值为()A. 3B. 211D. 1解析：选 Dzi+Z2= 2 + i + 3+ai = (

12、2 + 3) + (1 +a)i = 5+ (1 +a)i. /zi+Z2所对应的 点在实轴上，1+a= 0,.a= 1.5.- - 设向量OP,PQ,-OQ对应的复数分别为Z1,Z2,Z3,那么（)A. 乙 +Z2+Z3= 0B. Z1Z2Z3= 0C.Z1Z2+Z3= 0D. Z1+Z2Z3= 0- - - 解析：选 D /OP+PQ=OQ, Z1+Z2=Z3,即卩乙 +Z2Z3= 0.6._ 已知xR,y R, (xi +x) + (yi + 4) = (y i) (1 3xi)，贝Ux=_,yx+ 4=y 1,x+y= 3x 1, 答案：6117计算 |(3 i) + ( 1 + 2i

13、) ( 1 3i)| =_解析：|(3 i) + ( 1 + 2i) ( 1 3i)| = |(2 + i) ( 1 3i)| = |3 + 4i| =32+ 42=5.答案：5&已知Z1=_23a+ (a+ 1)i ,Z2= 3 3b+ (b+ 2)i(a,b R),若 乙一Z2= 4 3，贝Ua+b=4 3,I2a+3b=4y3,ab1=0,a= 2,解得fa+b= 3.b= 1.答案：39计算下列各式.(1)(3 2i) (10 5i) + (2 + 17i);C. 1解析:x+ 4+ (x+y)i=(y1) + (3x解析：TZ1Z2=a+ (a+ 1)i 3 3b+ (b+ 2)i由

14、复数相等的条件知A. 3B. 212(1 2i) (2 3i) + (3 4i) (4 5i) + (2 015 2 016i)13解：原式=(3 10 + 2) + ( 2+ 5 + 17)i =- 5+ 20i.(2)原式=(1 2 + 3 4+-+ 2 013 2 014 + 2 015) + ( 2+ 3 4 + 5 一 2 014 + 2 0152 016)i = 1 008 1 009i.10.设 乙=x+ 2i ,Z2= 3 yi(x,y R),且 乙 +Z2= 5 6i，求 乙一z解军：T乙=x+ 2i ,Z2= 3 yi , Z1+Z2=x+ 3+ (2 y)i = 5 6i

15、 ,x+ 3= 5,fx= 2,解得2 y= 6,y= 8,Z1= 2 + 2i ,Z2= 3 8i ,Z1Z2= (2 + 2i) (3 8i) = 1 + 10i.层级二应试能力达标1.设z C,且 |z+ 1| |Z i| = 0，则 |Z+ i| 的最小值为()A. 0C.解析：选 C 由|z+ 1| = |z i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y= x,而|z+ i|表示直线y= x上的点到点(0， 1)的距离，其最小值等于点(0， 1)到直线y= x的距离即为2.复平面内两点 Z 和Z2分别对应于复数 3+ 4i 和

16、5 2i ,那么向量Z1Z2对应的复数为( )A. 3 + 4iB. 5 2iC. 2+ 6iD. 2 6i- - -解析：选 D=OZOZ，即终点的复数减去起点的复数，(5 2i) (3 +4i) = 2 6i.3.AABC的三个顶点所对应的复数分别为Z1,Z2,Z3,复数z满足|zZ1I = |zZ2I =|zZ3|，则z对应的点是ABC勺()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：选 A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC勺顶点A,B,C距离相等，PABC勺外心.- -4.在平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复1A.

17、2 + 4iB. 2+ 4i14- 数分别是 3+ i , 1+ 3i，贝UCD对应的复数是()15C. 4+ 2i- - - - 解析：选 D 依题意有CD=BA=OAOB.而(3 + i) ( 1 + 3i) = 4 2i ,- 故CD对应的复数为 4 2i，故选 D.5.设复数z满足z+ |z| = 2 + i，贝U z =_解析：设z=x+yi(x,y R),则 |z| = x2+y2.x+yi + -x+y= 2+ i.答案：3+ i4- - - 6.在复平面内，O是原点，OA,OC,AB对应的复数分别为 2+ i,3 + 2i,1 +- 5i，那么BC对应的复数为.- - - -

18、- -解析：BC=OCOB=OC (OA+AB) = 3+ 2i ( 2 + i + 1 + 5i) = (3+ 2 1) + (2 1 5)i = 4 4i.答案：4 4i7.在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别为1,2 + i , 1 + 2i.- - -(1) 求向量AB,AC,BC对应的复数；(2) 判断ABC的形状.(3) 求厶ABC的面积.解：(1)AB对应的复数为 2+ i 1 = 1 + i ,BC对应的复数为一 1 + 2i (2 + i) = 3 + i ,AC对应的复数为一 1 + 2i 1= 2 + 2i.(2)TlAB|=2,|BC|=,10,|AC|=_ 8=2 2,| AB|2+ |AC12= |ABC为直角三角形.(3)SABC=2Xv2X22=2.& 设z=a+bi(a,b R),且 4(a+bi) + 2(abi) = 3 3 + i，又w= sin0 icos0,D.