高斯-赛德尔矩阵方程试验

1、实验二高斯-赛德尔迭代法、实验目的1) 了解迭代法的基本思想及原理2)判断Jaconbi迭代、Guass-Seidei迭代对任意向量的收敛性及其应用价值3)实现Guass-Seidei迭代算法的程序设计。二、实验设备和实验环境操作系统：Windows XP Professional软彳牛：MATLAB7.0 或 Visual C+ 6.0三、实验内容及要求:对于线性方程组Ax班1出2anb1Xi为1为2202nb2乂2,B,X为1为2OCnnbnXnB,记方程组的系数矩阵为:用Guass-Seidei迭代法求解。并且用Jaconbi迭代法和列主元消去法进行算法比较，同时得出Guass-Seid

2、ei迭代法的优劣性,从而得出一些结论。四、算法描述:1.选取迭彳t初值x (0)(x(0),x20),xn°)。2.将方程组 Ax b (设aii0,i1,2, ,n)化为等价方程组:将老值Xi(k 1)3.XibiaiiajXj(i 1,2, ,n)xi(k)加工成新值-1haii若迭代偏差ek(kxii 1(kaijXjj 1(k 1)max x1)1),得到:naijx(k) (ij 1 11,2, ,n)。xi(k)小于指定精度,则输出结果，终止计算;否者执行下一步。4.若迭代次数k小于事先设定的最大迭代次数N,则转入第2步继续迭代；否则输出迭代失败的标志，并终止计算。五、实

3、验步骤与结果分析(一 ) 实验源程序function x,k,xx=GuassSeider(A,b,x0,emg,N)% A 是线性方程组的系数矩阵% b 右端向量% x0 迭代的初始值向量% emg 控制精度% N 迭代的上限，如果迭代的次数大于N时候，则迭代失败% x 表示用迭代法求的的线性方程的近似解% k 表示迭代的次数% xx 表示迭代过程中的变量变换If nargin<5N=400;endif nargin<4emg=1e-4;endn=length(b);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;xx=x0;r=max(abs(b-A*x1)

4、;k=0;while (r>emg)&(k<N)for i=1:nsum=0;for j=1:nif j>isum=sum+A(i,j)*x1(j);end if j<i迭代法仅将x2(j) 改为 x1(j)sum=sum+A(i,j)*x2(j); % Jacobimendendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end xx=xx'x2''r=max(abs(x2-x1);x1=x2;k=k+1;if k>Nwarning(' 迭代次数达到上限');return ;endendx=x1;xx=xx&#

5、39;(二)实验数据0.101x1 2.304x2 3.555x3 1.1831.347x1 3.712x2 4.623x32.1372.835x1 1.072x2 5.643x3 3.03511x1 3x2 2x33x1 5x2 3x362x1 12x2 19x37x1 +2x2-2x3 =1x1 x2 + x3 =12x1 + 2x2 +x3 = 1MATLAB 程序如下：» 1,5尸3lM T2, 19：b=3J6,-7J ;工上05 0, 0J ； 白睡=10"-g;*L，kLwKl】=Gu3335eid叱rfR? b,xQj. emg;)x2j 12 HK？lMj

6、auobuiCAnh ejngJ程序(2)» A=巩 IQLZ 3。射 3, 555;-L 347,3, 712, 4.623；-2. 835, 1, 072,5, 643: b=【lSM 2. 137,3.。而厂: a(MQ,QM a in 产 ICT - 4： x 1 ?k 11 =GuassSeid?r1 A,b,kQ, ew.8 1 以2, k?l=J&±cLini4A, b, x03 ejng1程序(3)»24 lj 124i；b=l, U 1：xo= 0j o, or:x, k l=Guass;Seid«r i% b, xO) x2,

7、 kJl=Jacobun.f.A, b, xO)(三)实验结果分析结果：程序(1)运行结果：kl =2Sil -9. 9599959257019130011, 9S999999O0OlllU+OOa9.9S999S932817744e-001k2 -54xZ 二9999883199945001L959999381504100*+0009.9599&9819095685e-O01程序(2)运行结果:友1 =NatlNaNNaNkl =225程序(3)耳£二5. 03661L2114287E8ed-2827.808664403001C49?+282-6t557857429056S

8、34e+282k2 -400运行结果:Jcl 士400xL =-1.540312052379841 e+123h5416031772178S4e+123-2.582249S790S6909e+120x2 =-3分析：从程序（1）可以得出Guss-Seidel迭代法的收敛速度明显比Jacobim迭代法快得多，因为 Guss-Seidel 迭代法迭代法利用了迭代过程中的新信息，从而加快收敛速度。从程序（2）可以看到Guss-Seidel迭代法不起作用了，没有列主元消元法好。在迭代过程中， Guss-Seidel 迭代法必须保证迭代过程是收敛的， 一个发散的迭代过程， 即使迭代千万次，其计算结果也毫无价值。从