高等数学公式大全与常见函数图像

1、导数公式:(tgx)sec2 x(ctgx) csc2 x (secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlnaZl 、1(log a x) xlna基本积分表:tgxdxIn cosctgxdxIn sinxsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscx高等数学公式dx2- cos xdx_._2 sin xctgx Cdx2 xdx2 a-arctg Ca-lln 2adx22a xdx22a x. x arcsin一 aIn2sin xdxo2_2_,x a dxdx三角函数的有理式积分:- 2usin x r,1 u2cosx2幺2， ucoso

2、xdx(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx C xaxdx a C In ashxdx chx Cchxdx shx CdxInln( x . x2 a2) C2 a ln( x22 a 一In x.x2 a2) C22 a . x 一arcsin - Cdx2du1 u2.下载可编辑一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切：thxlimx 0sin x2shx exlim (1 1)x x xe 2.71

3、8281828459045x xchx e earshx ln(x x2 1)archxln(xx2 1)1 . 1 xarthxIn2 1 x三角函数公式:诱导公式：和差角公式:sin()sin coscos sincos()cos cossin sintg()tg tg1 tg tg)ctg ctg 1ctg ctgsinsin2 sincos22sinsin2 cos-sin22coscos2 coscos22和差化积公式:cos cos 2 sinsin22F'j!数 角A、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90° - acosasinac

4、tgatg a900 +acosa-sina-ctga-tga180° -asina-cosa-tga-ctga180° +a-sina-cosatg actga270° -a-cosa-sinactgatg a270° +a-cosasina-ctga-tga360° -a-sinacosa-tga-ctga360° +asinacosatg actga.下载可编辑倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos2cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cossin2sin3cos3tg3一.33s

5、in 4sin4coJ3cos3tg tg31 3g2.下载可编辑半角公式:1 cossin 一 22x1 cos 1 cos sintg 一2 J cos sin 1 cos1coscos2V21cos 1 cossinctg -Il .2Jcossin1 cos正弦定理：a 上 c- 2Rsin A sin B sinC余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质：arcsin x - arccosx2arctgx arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式：n (n)小女(n k) (k)(uv) Cnu v k 0 (n) (n 1) n(n 1) (n

6、 2)n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu v - u v -u v2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上-f-(a) fq F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。uv(n)曲率:弧微分公式：ds Ji 丫,*,其中丫 tg平均曲率：K I一I :从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量;s： MM弧长。M 点的曲率：K lim II II y s 01 s dsl (1 y 2)3直线：K 0;半径为a的圆：K 1. a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)ab梯形法

7、：f(x)ab抛物线法：f (x)aaz(V0 Vi nb a1 /-2(V0Vn)Yn)yn 1 )Vi2(V2y n 1V4Vn 2) 4( Vi V3Vn 1 )定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：Fkm粤,k为引力系数 r-1 b函数的平均值：v 一 f(x)dx b a a均方根：j-1- f2(t)d ,b aa空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M 1M 2；(x2 x1)2 ( y2一斤一(z2 斤向量在轴上的投影：PrjuAB AB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju(a1 a2) Prja Prja2a b a b cosaxbx ayby

8、azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbz222ax ay az,bx2by2ic a b ax bxj k ay az,c by bzaxayaz(a b) cbxbybzcxcycza b sin .例:线速度:向量的混合积：abca b c cos , 为锐角时,代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(xXo)B(yy°)C(zz0)0,其中n A,B,C, M 0(x04。,z°)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y - 1abc平面外任意一点到该平面的距离：d lAx0 By0 CzD.A2 B2 C2空间

9、直线的方程:x x。my y。nz。Px Xot,其中s m,n, p;参数方程：y y0z z。mt nt Pt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x 2 a2 x2p2 y b22 y2qz,(p,q 同号)3、双曲面:2单叶双曲面：今a2双叶双曲面：与 a2 L b22 y b22 z 2 c2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分： dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：, u u udu dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) yzfu(t),vdzz fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u zx当 u u

10、(x,y), v v(x,y)时，, u . u .du dx dydvdxxdyy隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dy dxFyd2y dx2FxF?)十 一 ( yFx) dyFy，dx隐函数 F(x,y,z) 0,FyFz隐函数方程组：F(x，y，u，v)G(x, y,u,v)(F,G)(u,v)F,GF,G1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: x x0(t0)yo(t0)zz0(t0)在点M处的法平面方程:(t

11、6;)(x x°)(t°)(yy0)(to)(z zo)若空间曲线方程为："""0,则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x, y,z) 0上一点 M (x0,y0,zO),则：FzFxGz'GzGx Gx1、2、过此点的法向量：n Fx(x0, y0,z0), Fy(x0, y。,。), Fz(x°, y°,。) 过此点的切平面方程 ：Fx(x0, y0,zO)(x x°) Fy (x0, y0,zO)( y y°)3、过此点的法线方程:x X0yy0z z0方向导数与梯度:Fz(xo, y

12、o, zo)(z zo) 0Fx(x0, y0,。)Fy(x0,y0,z°)Fz(x0, y0,z°)函数z f (x,y)在一点p(x, y)沿*方向l的方向导数为： cos sin l xy其中为x轴到方向l的转角。函数 z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) f-i f- j x y它与方向导数的关系是：一f_ grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的单位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(xo,yo)fy(xo,yo) 0,令：fxx(xo,yo) A

13、, fxy(xo, yo) B, fyy(x°,yo) CAC B2则：AC B2AC B2A 0,(x0, y。)为极大值0A 0,(x0,y0)为极小值0时，无极值0日t,不确定重积分及其应用:f(x,y)dxdyDf (r cos , rsin )rdrdD2曲面z f(x,y)的面积A 1d ：xy2dxdy平面薄片的重心x (x, y)dx Mx _DM (x,y)dDMyy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix y2 (x,y)d , 对于y轴IyD平面薄片(位于 xo产面)对 殍由上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F2,、，x (x,

14、y)dDFx,Fy,Fz，其中:Fx f D / 2 (x(x, y)xd3, a2)"匚 (x, y) yd(x,y)xdFy f31Fzfa3D , 222 2d , 222 G(x y a )(x ya)柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,其中： F(r, ,z) f (r cos , rsin ,z)x rsin cosdv rd r sin,2 .1,d dr r sin drd d球面坐标： y r sin sin ,z r cosf (x, y, z)dxdydzF(r,)r2sin

15、 drd重心：xx dv,y dv2r(,)d d d F(r, , )r2sin dr000z z dv,其中 M xMdv转动惯量:Ix(y2z2)dv,(x2 z2) dv,Iz (x2 y2) dv曲线积分: 第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x (t)，则:y (t)f (x, y)dsL特殊情况:-22f (t), (t)-.(t) (t)dt (第二类曲线积分(对坐x设L的参数方程为y标的曲线积分)：二1则：P(x,y)dx Q(x, y)dyL两类曲线积分之间的关P (t),(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLQ

16、dy(Pcos QcosL)ds其中和分别为L上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：(一 一)dxdy Pdx d x yl当P y,Q x, IP: 2时， x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；Qdy格林公式：(-Q D x得到D的面积：A2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：在工xu(x, y)Px一时,Pdx y(x.y)P(x,y)dx(Xo,y0)曲面积分:对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:R(x,y,z)dxdyDxyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx)d

17、xdyydxdyD1O2l:Pdx QdyLxdy ydx,且-Q = -P。注意奇点，如(0,0),应 x yQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 0。f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)J z2(x, y) z2(x,y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：Rx, y,z(x,y)dxdyPx(y,z), y, zdydzDyzQx, y(z,x),zdzdxDzx取曲面的上侧时取正号;取曲面的前侧时取正号;取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdz

18、dx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:/ pQR、z( )dv xyz高斯公式的物理意义散度：div通量：A ndsAnds(Pcos QcosRcos)ds,因此，高斯公式又可写 成：divAdvAnds斯托克斯公式-(R Q y z曲线积分与曲面积分的关系:)dydzP R( )dzdxz xQ( xP、，)dxdy y:PdxQdy Rdz旋度：rotAdydz dzdx dxdycos cos cosxyzxyzPQRPQR关的条件：_R -_P_R_Q _yzz xx上式左端又可写成:P空间曲线积分与路径无k向量场A沿有向闭曲线的环流量:。Pdx Qdy

19、Rdz - A tdsPdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds一通量与散度：-R,即：单位体积内所产生 的流体质量，若div 0,则为消失z等比数列：1常数项级数1 q等差数列：11)n2调和级数：1级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设： l/mn.U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： 1防引，则 1时，级数发散 n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;1imsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理：un un

20、1如果交错级数满足 ;，那么级数U敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn un1 lim un 0 n绝对收敛与条件收敛：u1 u2 un ,其中un为任意实数；（2）3 u2 u3un如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：级数：p级数哥级数：1发散，而（必敛;nn4收敛；n1 y1p 1时发散np p 1时收敛|x 1时，收敛于对于级数(3)a。2&x a?x数轴上都收敛,则必存在R,求收敛半径的方法：设lim n函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:|x 1时，发散anXan 1an,如果它不是仅

21、在原点收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定其中an, an 1是(3)的系数,0寸，R时，R 0f(X)f(X0)(X X0) flT(X X0)2(n) /T(xX0)nn!f (n 1)()余项：Rn f(-)(x x0)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:(n 1)!lim Rn0nX00时即为麦克劳林公式:f(0)x号x2f (n) (0) n X n!些函数展开成骞级数:(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n ; :;Xn!(1x1)sinX x2n 1欧拉公式:ixe cosxisinxf(t)Ao其中，a

22、0An sin( nn 1aan1)n1X (2n 1)!cosx或sinxAn sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnx bn sin nx)n 1An COs n，tX。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 任意两个不同项的乘积在上的积分=0。傅立叶级数：a f(x) (an cosnx bn sin nx), 周期2 n 11an 一 f (x)cosnxdx (n 0,1,2 其中,1bn f (x)sinnxdx (n 1,2,311211113T 5281 22 32 42工工工 2 1 ±

23、1 A 22 42 622422 32 422正弦级数：an 0, bn f (x)sin nxdx02余弦级数：bn 0, an 一 f (x)cosnxdx2（相力口）62（相减）12n 1,2,3 f (x) bn sin n娓奇函数n 0,1,2 f (x)曳an cosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数:a0n x n xf(x) (an cos bn sin), 周期2l2 n 1llan其中bn(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )一 f (x)cosdxl ll1n x ,一 f (x)sindxl il微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x, y) 或 P

24、(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成dy f (x, y)(x,y),即写成)的函数，解法：dxx设u则电u xdu, u包 (u),曲分离变量，积分后将卫代替u,x dx dx dxx (u) ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x)dx当Q(x) 0时,为齐次方程,y CeP(x)dx当Q(x) 0时,为非齐次方程，y(Q(x)eP(x)dxP(x)dxdx

25、 C)e2、贝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程: 如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:u_ u 一du(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中：一 P(x, y),一 Q(x, y) xyu(x,y) C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：d2y dx2P(x)dx Q(x)yf (x),f(x)f(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y , y的系数;2、求出()式的两个根口心3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:n,2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rixr2xyc1e1C2e2两个相等实根(p2 4q 0)y (c1 c2x)erix一对共轲复根(p2 4q 0)1i , 2i2