高二数学：数列(讲义)

1、高考数学基础知识复习：数列概念知识清单1.数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第 2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an； 数列的一般形式： ai, a2, a3,，an,，简记作an 。(2)通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这 个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是 an = n ( n 7, n N ),1数列的通项公式是 an= 1 (n N )。n说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an=

2、f n表示数列的通项公式；一 1.n 2k 1同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=,(k Z)；1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,(3)数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3),，f(n),.通常用an来代替 f n ,其图象是一群孤立点。(4)数列分类：按数

3、列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。(5)递推公式定义：如果已知数列 an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。S (n 1)(6) 数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an 仁 仁/ 、c、Sn Sn 1(n> 2)课前预习a(3n 1),一 ，- 一,1 .(04江苏)设数列an的前n项和为Sn, Sn =2-(对于所有n 1),且a4 54,则a1的数值是2 . (05广东，14)设平面内有n条

4、直线(n 3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这n条直线交点的个数，则 f(4)=当n 4时，f(n) (用n表示)。用心爱心专心-13 -3.（01上海）若数列 an前8项的值各异，且an 8 an,对任意的n N都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为（6.A.a2k 1B a3k 1数列an的前n项和为Sn,若an1 n(na4k 11)则S5等于（D a6k 15B.一6C.1D.304.（07广东理）已知数列 an的前n项和Sn9n，第k项满足5 ak8 ,贝U k ()C.4 .（02上海）若数列 an中，a1二3,且 a2 n 1

5、= an（n是正整数），则数列的通项 an =5 . （04上海）根据下列 个点。5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有6.（全国2文）已知数列的通项 an5n 2,则其前n项和Sn7. （07江西理）已知数列an对于任意*1p, q N ,有 apaqap q ,右 a1 一，则9a36一 2.9.若数列 an的前n项和Sn n 10n(n1,2,3, L ）,则此数列的通项公式为28.若数列 an的刖n项和Sn n 10n（n1,2,3, L ）,则此数列的通项公式为;数列nan中数值最小的项是第项.高考数学基础知识复习：等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列

6、从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an an 1 d(n 2)或an 1 an d(n 1)。2、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；0为递增数列，d说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果 a , A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中a, A, b成等差数列A bo24、等差数列的前n和的求和公式： Snngan)25、等差数列的性质:(1)在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;

7、(2)在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP,如:a1 ， a3a5，a7 , ；a3 ,a8 ，(3)在等差数列ananam(n m)d ,anam /(mn)；(4)在等差数列anam an apaq；说明：设数列an是等差数列，且公差为6、I )若项数为偶数，设共有 2n项，则S奇 S偶n)若项数为奇数，设共有 2n 1项，则S偶 S奇数列最值(1) a1 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时,(2) Sn最值的求法：若已知Sn,可用二次函数最值的求法Sn有最小值;an .an 1SnoS禺n 1);若已知an ,则Snan0an 10an0最值时n的值(n N)

8、可如下确定或an 10课前预习1. (01天津理，2)设Sn是数列an的前n项和，且$=n2,则an是(A.等比数列，但不是等差数列C.等差数列，而且也是等比数列B.等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2. (06全国I)设an是公差为正数的等差数列，若a a2a3a11 ai2 a13(A. 1204. (01全国理)设数列)B. 105C. 90D. 75an是递增等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是（）A.1B.2C.4D.63. （02京）若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为 390,则这个数列有（A.13 项B.

9、12 项C.11 项D.10 项5.（06全国II）设&是等差数列 an的前S31 in项和，右=一，则SS12A.7.6.310(94全国)A.130(02上海)1B3等差数列an的前m项和为30卜列结论错误设 an （n C 的是（）B.170N*）是等差数列,1C.一8前2m项和为100C.2101D9则它的前3m项和为（）D.260&是其前n项的和，且S5=S7>S8,则A.dv 0B.a7= 0C.S9>S5D.S5与S7均为S1的最大值2. （07重庆理）an的前三项和S39且a11,则a2等于（）A. 3B.4C. 5D. 64. （07天津理）设等差

10、数列an的公差d不为0, a1 9d .若ak是a1与a2k的等比中项,则k (A. 26.等差数列(A)9C. 6D. 8an中，ai=1,a3+a5=14,其前 n 项和 $=100，则 n=(B)10(C)11(D)128.已知an是等差数列,ai010 ,其前10项和S10 70 ,则其公差d3. （07湖北理）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn且分Bn7n 45n 3则使得电为整数的正整数bnn的个数是（A. 2B. 3C. 4D. 55.设等差数列an的公差d是2,前n项的和为10.已知an是等差数列,a4 a6 6 ,其前5项和S5 10 ,则其公差d1. （0

11、7江西文）已知等差数列an的前n项和为Sn,若S1221 ,则a2a§a8ana an a2 an 1 a3 an 2若数列an是等比数列， 比数列。如下图所示：a1a2a3akak 1a2ka2k 1a3kSkS2kSkS3k S2k高考数学基础知识复习：等比数列知识清单1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：1an 1： an q（q 0）数列对于数列（1） （2） （3）都是等比数列，它们的公比依次是2, 5,。2（注意：“从第二项起&qu

12、ot;、“常数” q、等比数列的公比和项都不为零）n 1 .2 .等比数列通项公式为：an a q q 0）。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 d 1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若 劣为等比数列，则am qmnan3 .等比中项如果在a与b中间插入一个数 G ,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4 .等比数列前n项和公式一般地，设等比数列a1,a2,a3,L ,an,L的前n项和是Sn a1 a2 a3 L an ,当q 1时,Sn a1（1 q ） 或 Sn a1 anq ；当 q

13、 = 1 时，Sn na1 （错位相减法）。1 q1 q说明：（1） a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn , 通项公式中是qn 1不要混淆；（3）应用求和公式时q 1 ,必要时应讨论q 1的情况。5 .等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第 m项，且m n ,公比为q ,则有an amqn m;对于IL比数列an ，若n m u v ,则an am au av ,也就是：a1 an，如图所示： a1，a2，a3， ，an 2，an 1，an oa2 an 1Sn是其前n项的和，k N，那么Sk

14、, S2k Sk，S3k 82k成等课前预习1. （02上海）若数列an中,a1且an 12an （n为整正数），则数列的通项 an=-2. （04上海）在等差数列 an中当aras （ r S）时，an必定是常数数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r,s （ rs）,当ar as时，非常数数列an的一个例子是3. （°4上海）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设an是个公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组S (07重庆文)在等比数列an中，a2=8, ai = 64,则公比q为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 8

15、与S2a2与S3a1与anq与an其中n为大于1的整数，Sn为an的前n项和。4. （2005江苏3）在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+ a5=（）（A） 33（B） 72（C） 84（D） 1895. （2000上海，12）在等差数列 an中，若 a10=0,则有等式 a1+a2+-+an=a+a2+ a19n（nv19, nC N）成立.类比上述性质，相应地：在等比数列 bn中，若b9= 1,则有等式 成立。26.在等比数列 an中，a1和a10是万程2x 5x 1 0的两个根，则a4a?52_11(A)2(B)T(C) 2(叱7. （2006年辽

16、宁卷）在等比数列an中，a1则Sn等于（）A. 2n 1 2B. 3n4 一78. （2006年北京卷）设f （n） 2 222,前n项和为Sn，若数列an 1也是等比数列,C. 2nD. 3n 1210 L23n 10 （n N）,则 f（n）等于（）4 n(82 一 7DD3 n(82 - 7 c )11 n(82 一 7Bn(82 一 7*A3.设an为公比 q>1的等比数列，若2 .a2004和a2005 方程4x 8x 30的两根，则a2006 a2007 7. （07全国1理）等比数列an的前n项和为Sn,已知Si,2s2,3s3成等差数列，则an的公比为9.已知a,b,c,

17、d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是（b,c）,则ad等于（）A. 3 B . 2 C . 1D. 211, a-,则该数列的前810项和2. （07湖南文）在等比数列an （ n N* ）中，若a1为（）7.等比数列 an中，a4 4,则a2ga6等于（）C. 16 D. 32高考数学基础知识复习：数列通项与求和知识清单1 .数列求通项与和(1)数列前n项和&与通项an的关系式：an=snsn 1(2)求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an = (anan-1)+(an-1+an-2)+(32a1)+a1；归纳、猜想法。(3)数列前n项和

18、重要公式：1+2+-+n= 1 n(n+1);212+22+- - +n2= n(n+1)(2n+1);613+23+-+n3=(1+2+-+n)2=1 n2(n+1)2;4等差数列中，Sm+n=S+Si+mnd ;等比数列中，Sn+n=Si+qnSn=Sn+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即3n=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：an1(An B)(An C)1AnC)、11n(n 1) n n 1n - n! =(n+1)!一n!、Cn 1 r 1 =GirCn1r、=等。(n

19、 1)! n! (n 1)!错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an bn Cn,其中 bn 是等差数列Cn 是等比数列，记Snb1c1b2c2bn 1Cn 1 bnCn，则 qSn bbn 1 CnbnCn 1 ,并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求s。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：an bn Cn2 .递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1,及a1=1

20、,确定的数列2n 1即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。(2)迭代法。(3)代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 课前预习i 1 SiSi 12 .求13 .设a为常数，求数列a, 2a2,I ,*、,(n N)。1 2 3 n3a3,，nan,的前n项和。1.已知数列 an为等差数列，且公差不为 0,首项也不为0,求和:an lgan(n N),4.已知a 0,a 1,数列an是首项为a,公比也为a的等比数列，令bn求数列bn的前n项和Sn。6 .设数列an是公差为d ,且

21、首项为ao d的等差数列，求和：Sn1aoCn0 a£：anCnn7 .求数歹U 1, 3+5, 7+9+11, 13+15+17+19,前 n 项和。典型例题一、有关通项问题1、利用anS1(n 1)求通项.Sn S 1 (n 2)2EG：数列an的前n项和Sn n 1.(1)试写出数列的前 5项；(2)数列an是等差数列吗？ ( 3)你能写出数列an的通项公式吗？变式题1、(2005湖北卷)设数列an的前n项和为Sn=2n2,求数列an的通项公式；1 一变式题2、(2005北东卷)数列an的前n项和为Sn,且a1=1 , an 1- Sn, n=1, 2, 3,3求a2, a3,

22、 a4的值及数列an的通项公式.变式题3、( 2005山东卷)已知数列 an的首项a1 5,前n项和为Sn ,且Sn1 Sn n 5(n N )，证明数列 an 1是等比数列.2、解方程求通项：EG ：在等差数列an中，(1 )已知S8 48,S12 168，求a1和d ； ( 2 )已知 a6 10, S5 5,求a8和 Sg ； (3)已知 a3 a15 40,求 Sp.变式题1、an是首项ai 1,公差d 3的等差数列，如果 an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 6703、待定系数求通项：1EG：与出下列数列 an的刖5项：(1) a, ,an 4

23、an 1 1(n 1).变式题1、(2006年福建卷)已知数列 an满足a1 1,an1 2an 1(n N ).求数列 an的通项公式；4、由前几项猜想通项：EG:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. % (1) (4)()()变式题1、(2007年深圳理科一模).如下图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an ,用心爱心专心-17 -变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是(),其通项公式为A. 40

24、个B. 45 个C. 50 个 D. 55 个2条直线相 交，最多有 1 个交点4条直线相交，最多有 63条直线相交，最多有 3个交点用心爱心专心二、有关等差、等比数列性质问题EG： 一个等比数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为（）A. 83B. 108C. 75 D. 63变式1、一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为。 变式2、（江苏版第76页习题1）等比数列an的各项为正数，且a5a6 a4a7 18,贝Ulog3a log3a2 Llog3a10（）A. 12B. 10C. 8 D. 2+log35EG:设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是（）A. 1B.2C.4D.8变式题1、在各项都为正数的等比数列 an中，首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5A 33 B 72 C 84 D 189