年龄问题-详解与例题

1、第四节：年龄问题年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数） ，而倍数却是每年都在变化的这个关键。年龄问题的类型：转化为和差问题的年龄问题；转化为和倍问题的年龄问题；转化为差倍问题的年龄问题在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或减少，如果有几个人，时间往后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这几个人年龄间的差却是不变的。在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的。例：父亲今年54 岁，儿子今

2、年18 岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的 7 倍？ 父子年龄的差是多少？54 - 18 = 36 （岁） 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7 - 1 = 6 几年前儿子多少岁？36+6 = 6 （岁） 几年前父亲年龄是儿子年龄的 7 倍？18 - 6 = 12 （年）答： 12年前父亲的年龄是儿子年龄的 7倍。年龄问题： 已知两人的年龄， 求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。例 1：小华今年 12岁， 他妈妈今年48岁， 多少年以前妈妈的年龄是小华的 5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的 3 倍？解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是相

3、同的，妈妈的年龄比小华大48 12=36（岁）。当妈妈的年龄是小华的 5 倍时， 把那时小华的年龄作为 1 份， 妈妈的年龄是这样的5份，比小华多51=4 （份），所以那时小华是：36=9 （岁），是在今 年前12 9=3（年）。当妈妈的年龄是小华的 3 倍时， 把那时小华的年龄作为 1 份， 妈妈的年龄是这样的3份，比小华31=2 （份），所以那时小华是：36笠=18 （岁），是在今年 后 18 12=6（年）。答： 3 年以前，妈妈的年龄是小华的 5 倍， 6 年以后，妈妈的年龄是小华的3 倍。例 2： 小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4 岁，今年全家年龄的和是 72 岁，

4、10 年前这一家全家年龄的和是44 岁。今年三人各是多少岁？解：一家人年龄的和今年与10 年前比较增加了72 44=28（岁），而如果按照三人计算10年后应增加3X10=30（岁），只能是小芬少了 2岁,即小芬8年前 出生，今年是8岁，今年父亲是（72 8 + 4）攵=34（岁），今年母亲是34 4=30 （岁） 。答：今年父亲34 岁，母亲 30 岁，小芬 8 岁。例 3： 父亲今年 38 岁，母亲今年36 岁，儿子今年11 岁，多少年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的 4 倍？解：今年父母年龄之和为38 36=74（岁），儿子年龄的 4倍是 44 岁，今年父母年龄之和比儿子年龄的 4 倍多

5、74 44=30（岁）， 而每过一年父母年龄增加 2岁， 过一年儿子年龄增加数的 4 倍为 4 岁， 就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的 4 倍少 4 2=2（岁） ，当父母年龄之和为儿子年龄的 4 倍时，要过30攵=15 （年）。答： 15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的 4 倍。例 4： 今年张老师的年龄是小华年龄的 5 倍，过 8 年，张老师的年龄是小华年龄的 3 倍，小华今年多少岁？解：今年张老师的年龄是小华年龄的 5 倍，是把今年小华年龄的作为 1 份，今年张老师的年龄是这样的 5 份，张老师今年的年龄比小华多 5 1=4（份），过8 年，张老师的年龄是小华年龄的 3

6、 倍，是把那时小华的年龄作为 1 份，张老师那时的年龄是这样的 3 份，张老师那时的年龄比小华多3 1=2（份）。今年和过8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的，因此过 8年的1份是今年的4攵二2（份），那么，今年的1份的岁数是8+（21） =8 （岁），就是今年小华8岁。答：今年小华 8 岁。例 5： 今年大华 20 岁，大明 18 岁，小芬 12 岁，小玲 8 岁，多少年后大华、大明的年龄的和的 2 倍等于小芬、小玲年龄的和的 3 倍？解：今年大华、大明年龄的和的 2倍是（20+ 18） >2=76 （岁），小芬、小 玲年龄的和的3倍是（12+8） >3=60 （岁），大华、大

7、明年龄的和的2倍比小芬、 小玲年龄的和的 3 倍多 76 60=16（岁），而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2M 2X2=2 （岁），使大华、大明 年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是16攵=8 （年）。答： 8 年后大华、大明的年龄的和的 2 倍等于小芬、小玲年龄的和的 3 倍。例 6： 小云问刘老师今年多少岁。刘老师说： “当我像你这么大的时候，你只有3岁，当你像我这么大的时候，我已经 39 岁了。 ”刘老师今年多少岁？解：把小云和刘老师年龄的变化情况画成下面的线段图：刘老师比小云大的岁数用1个”f所指的线段表示，当刘老师的年龄往回

8、推移到小云今年的年龄时， 推移了这样的一段， 小云的年龄也同样往回推移这样的一段， 这样小云只有3 岁； 当小云的年龄往后推移这样一段到刘老师今年的年龄时，刘老师的年龄也往后推移这样的一段，这样，刘老师就有39 岁。从图中看到39岁比3岁多了 3个这样的一段，每段（就是两人的年龄差）是（39 3）3二12 （岁） ，刘老师今年的年龄是39 12=27（岁）。答：刘老师今年27岁第五节：盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一 种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它 们的关系求对象分组的组数或对象的总量.盈亏问题的特点是问题中每一同类

9、 量都要出现两种不同的情况.分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”； 还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少 分，则物品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研 究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题” .基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的 变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量.基本题型： 总数量=每次分配的数量X份数+盈 总数量=每次分的数量X 份数-亏一次有余数，另一次不足（一盈一亏）；基本公式：总份数=（余数+不足数）+两次每份数的差当两次都有余数（双盈）；基本公式：总份

10、数=（较大余数一较小余数）+两次每份数的差当两次都不足（双亏）；基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）+两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。板块一、直接计算型盈亏问题例1:三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬 4块砖，还剩7块； 如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 解析：比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬 4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5 4 1 （块）.第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7 2 9（块），每人相差1块，结果总数就相

11、差9块，所以有少先队员9 1 9 （人）.共有砖：4 9 7 43 （块）. 例2: （ 2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后，猴 王开始分配.若大猴分 5个，小猴分3个，猴王可留10个.若大、小猴都分 4个，猴王能留 下20个.在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只.解析：当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个.若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.也就是说在大猴分 5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20 10 10个，所以大猴比小猴多10只.例3:某校安排学生宿舍，如果每间住 5人则有14人没有床位；如果每间住

12、7 人，则多出4个床位，问宿舍几间？住宿生几人？【解析】 由已知条件每间5人 少14个床位每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住（7 5） 2 人，一共要多出（14 4） 18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差， 可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数.解：解：（4 14） （7 5）=9（间）5 9 14 59（人），或 7 9 4 59（人）板块二、条件关系转换型盈亏问题例4:猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？解析猫妈妈的第一种方案盈

13、8条鱼，第二种方案不盈不亏， 所以盈亏总和是 8条，两次分配之差是11 10 1 （条），由盈亏问题公式得， 有小猫：8 1 8 （只），猫妈妈有8 10 8 88 （条）鱼.例5:甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸， 甲每封信用2张信 纸，乙每封信用3张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20张信纸， 乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸.这是盈亏问题， 盈亏总额为（20+30）张信纸， 两次分配的差为（32）张信纸，所以有信封（20 + 30）+（32） = 50（个），有信纸 2X50+20

14、= 120（张）.例6:幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个， 则余下 10 个。如全部分给小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹果共有多少个？解析 :先把大班人数和小班人数转化为一样。 大班减少 3人， 则苹果又收回 3 5 15个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为： （15 10 2） （8 5） 9人，苹果总数是8 9 2 70个。例 7： 有一些糖， 每人分 5块则多 10块， 如果现有人数增加到原有人数的 1.5倍， 那么每人 4块就少两块，这些糖共有多少块？解析:第一次每人分5块，第二次每人分4块，可

15、以认为原有的人每人拿出 5 4 1 块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到 2 块糖果，这些人每人还差4 2 2块，一共差了 10 2 12块，所以新增加了12 2 6人，原有 6 2 12人糖果数为： 12 5 10 70（块 ） 例 8： 四 （2）班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们， 班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮 刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆， 以便分给几位优秀学生 如果每堆有1 块橡皮 2 支铅笔， 铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有3 块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支铅笔那么，刘老师一共买了多少块

16、橡皮?多少支铅笔?【解析】 如果增加 10 支铅笔，则按1 块橡皮、 2 支铅笔正好分完；而按3 块橡皮、 5支铅笔分，则剩下10+5=15（支）铅笔，但如果按3块橡皮、 6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15+（65）=15（堆），所以，橡皮数为：15X 3=45（块）， 铅笔数为：15X 6-10=80（支）.第六节：周期循环数周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有366 天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年

17、份能被100整除，但不能被400整除.例1： a是大于0的整数，ax ax a的个位数字与a的各位数字一样，例如1X1 X 1=1, 4X4X4 = 64,这样的整数a有很多，如果把它们从小到大排列，第 41 个这样的整数是多少？分析与解 ：符合条件a 的整数是根多，要找出第 41 个这样的整数，从发现的规律中去找，规律的发现又要从较小数中依次去找，我们不妨从110这10个数中去找：1 X1X 1 = 12X 2X2=8 3X3X3= 274X 4X4 = 645X5X5=1258X 8X8 = 512 9X 9X 9= 72910X 10X10= 1000不难发现，上面这些算式中，1、4、5

18、、6、9、10这六个数具有axax a的各位 数字一样，也就是在110中，又6个符合条件的数，三个相同的多位数相乘， 积个位只与这个相同的多位数的各位有关，这样就能很快找到从小到大排列第41 个这样的 整数是多少了。110中符合条件的数又6个，即1、4、5、6、9、10,周期是6。1120, 2130, 3140, 4150,各分数段中都有6个。41+6 = 6, 5,说明 的41个数在第7次周期循环中的第5个数，即6070中符合条件的第5个数， 是 69。例 2： 有一串数， 任何相邻的四个数之和都等于25.已知第一个数是3， 第 6 个数是 6，第11 个数是7，问：这串数中第24 个数是

19、几？分析与解：因为第 1、 2、 3、 4 个数的和等于第2、 3、 4、 5 个数的和所以第 1个和第 5 个数相同，进一步可知，第 1、 5 、 9、 13, 个数都相同。同理：第 2、 6、 10、 14,个数相同，第3、 7、 11、 15, 个数相同，也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的， 所以， 第 2 个数等于第 6 个数是 6，第 3 个数等于第 11 个数是 7， 前三个数依次是3、 6、 7， 则第4 个数是 25（ 3+6+7）=9,这用数是按照3、6、7、9循环出现，第24个数和第4个相同，是9。例3: 3+7商的小数点后面第2002个数字是几？3 + 7

20、=0.42857142,商是一个循环小数，循环节是“ 428571”，循环周期是6, 即 4， 2， 8， 5， 7， 1 这个数字在依次循环出现，现求小数点后第 2002 个数字是几，就看按6个数字循环一次，共循环几次，余下几个数，从而确定。3+7=0.4285712002 6 = 333, 4所以3 + 7商的小数点后面第2002个数字是5,例 4： 紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8X 9=72,在9后面写2, 9X 2=18,在2后面写8,得到一 用数字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 考点

21、： 数字串问题。分析：依照题述规则多写几个数字：1989286884286884 可见1989后面的数总 是不断循环重复出现286884,每6个一组，即循环周期为6.因为（1989- 4） + 6=3305,正好除尽，286884所以所求数字是8.解答：解：依照题述规 则多写几个数字得到：1989286884286884286884可见1989后面的数总是不断 循环重复出现 286884,每6个一组， 即循环周期为 6.因为（ 1989- 4） + 6=3305,所以286884的第四个数字为8,所求数字是8.例 5： 1991 个 1990相乘所得的积与 1990个 1991 相乘所得的积，

22、再相加的和末两位数是多少？考点： 简单周期现象中的规律。分析： 本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可可知 1991 个 1990 相乘所得的积末尾两位是00； 1个 1991 末两位数是91， 2个 1991 相乘的积末两位数是81， 3 个 1991 相乘的积末两位数是71， 4 个至 10个 1991 相乘的积的末两位数分别是61， 51， 41， 31，21， 11， 01， 11个 1991 相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990+ 10=199,所以1990个1991 相乘积的末两位数是01即可得答案解答： 解：因为 1991 个 1990 相乘所得的积末两位是0 1 个 1991 末两位数是91， 2个 1991 相乘的积末两位数是81， 3个 1991 相乘的积末两位数是71， 4个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是61， 51， 41， 31， 21， 11， 01， 11 个1991 相乘积的末两位数字是91， 可知每 10个 1991 相乘的末两位数字重复出现，周期为10.因