第1章1.21.2.1第1课时排列与排列数公式

1、1.2排列与组合1.2.1 排歹U第1课时排列与排列数公式学习目标核心素养1 .理解排列的概念，能正确写出一些 简单问题的所肩排列.(重点)2 .理解排列数公式，能利用排列数公 式进行计算和证明.(难点)1 .通过学习排列的概念及排列数 公式，体现了数学抽象的素养.2 .借助排列数公式进行计算培养 数学运算的素养.自主预习柠播新加一.一 eFXJW f n - -:新知初探口1 .排列的概念从n个不同元素中取出m(m&n)个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2 .相同排列的两个条件(1)<相同.顺序相同.思考1:两个排列相同的条件是什么？

2、提示两个排列相同的条件：元素相同，元素的排列顺序也相同.3 .排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不1司兀素中取出m(m< n)个兀素的所有/、|可排列的个数叫 做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示全排列的概念n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的 概念把n (n 1)2 1记作n!,读作：n的阶乘排列数Am = n(n 7)(n m+ 1)公式阶乘式Am=. t (n, m N , m<n) n m !、'特殊情况An=n_!_,1!= L0! =1思考2:排列与排列数有何区别？提示“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m（m&n）个元素，按

3、照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m（m< n） 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号Am只表示排列数，而不表示具体的排列.匚j初试身七口1 .下列问题中：10本不同的书分给10名同学，每人一本；10位同学互通一次电话；10位同学互通一封信；10个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个B 由排列的定义可知是排列，不是排列.2.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（）A. 3种B. 4种1. 6种D. 12 种C 由排列定义得，共有A3=6种排列方法.3. 90x 91X92X - X 100 可

4、以表示为（）A. A100B. A100C. A120D. A100B 由排列数公式得原式为A100,故选B.4. a4 =, A 3 =.12 6 A4=4X3=12; A3=3X2X 1=6.合作探究司是泰养 排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题.(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.思路点拨判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关.若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题.

5、解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺 序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序 问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题.1 .解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”，2 .判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列

6、问题， 无变化就不是排列问题.1 .判断下歹I问题是否是排歹I问题.(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信?(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话?解(1)是一个排列问题，相当于从 4个人中任取两个人，并且按顺序排好.有多少个排列就有多少封信，共有 A4=12封信.(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲 通了电话.孱*2排列的简单应用【例2】写出下列问题的所有排列.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位 数？(2)写出A, B, C, D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站 法

7、.解 所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43共有12个不同 的两位数.(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法是 BACD, BADC, BCAD, BDAC, CABD, CADB, CBAD, CDAB, DABC, DACB, DBAC, DCAB,共 12 种.持右怙利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1 .适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较 有效的表示方式.2 .策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分 类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一 个排

8、列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.I颔曜踪训2. (1)A, B, C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种 数为()A. 3种B. 4种C. 6种D. 12 种种机票.(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有C (2)12 (1)所有的排法有：A BC, ACB, BAC, BCA, CA B, CBA,共 6 种.(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示.广州北京南麻南京广州一天津、北京,天津 南京北京、广州/北京天津广州14故符合题意的机票种类有:北京广州，北京南京,北京天津，广州南京、广州一天津、广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，

9、天津广州，天津南京，共12种.排列数的计算与证明探究问题1 .排列数Am中，n, m满足什么条件?提示n, mCN*, m<n.2 .等式Am=nAmj成立吗？皿 r mn!m 1 n-1 !提小成立.An= nm!，An1=7m；AmJni ； =nAm118X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X58X7X6X5X 8+7,一一- - =1.8X7X6X5X 24-9. n m !2A8+7A4,【例3】(1)计算:aJa5 ; (2)求证：Am+ 1-Am = mAm 1思路点拨合理选用排列数的两个公式进行展开.(2)提取公因式后合并化简.48 7A +58A 288A59A

10、2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5n!n m !n!n+ 1二-n m ! n+ 1 m-1、 m m n +1 !证明：.An+1-Z;nn!= mAm1.nm! n+1 m m n+1 m!n!.Am+1Am=mAm1排列数的计算方法1 .排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.2 .应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式， 然后计算，这样往往会减少运算量.I明踪训练.3 .求 3A8 = 4A91 中的 x.解原方程

11、3A8 = 4A9-1可化为3X8!8-x !4X 9!10-x !'口口 3X 8!4X9X8!即二1二二二-8x !10x 9x 8 x !化简，得 x219x+78=0,解得 x1=6, x2=13.x< 8,由题意知解得x0 8.x- 1<9,所以原方程的解为x= 6.匚j课堂小结口1 .在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个, 若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.2 .排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式 Am= n(n1)(n 2>-(n m+1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.e n! 一 .

12、、一一(2)排列数的第二个公式Am= n m 1用于与排列数有关的证明、解万程、 n m !解不等式等.提醒：公式中的n, m应该满足n, mCN*, m<n,当m>n时不成立.当堂达标ns1. 判断(正确的打”一，错误的打"X”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 属于排列问题.()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于 排列问题.()(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个事属于排列问 题.()(5)从1,2,3,4中任取两个数

13、作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问 题.()答案(1)X (2)V (3)X (4)V (5)V2. 4X5X6X- X (n1)Xn 等于()A. A4B. An 4C. (n4)!D. An 3D 4X5X6X- x (n-1)Xn中共有n 4+1 = n 3个因式，最大数为 n,最小数为4,故 4X5X6X x (n1)Xn = An 33. 5本不同的课外读物分给 5位同学，每人一本，则不同的分配方法有种.120 利用排列的概念可知不同的分配方法有A5=120种.4.计算:a9+a9A60A5o解法A9+A4 _ 5A4 + A4 _ 5+1 _ 3A?0A50= 50A4 10

14、A4= 5010 = 20.9!9!a9 + a94F +5r5X9! +9!6X9!3法一：A60A50=10iOF = 5X10! 10! =4X10! =204!5!课时分层作业（三）排列与排列数公式（建议用时：60分钟）基础达标练一、选择题1 .下列问题属于排列问题的是（）从10个人中选2人分别去种树和扫地；从10个人中选2人去扫地；从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数.A .B.C .D.A 根据排列的概念知是排列问题.2 .从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有（）A. 6 个B. 10个C.

15、12 个D. 16 个C 符合题意的商有 A2=4X3= 12.3.已知A2=132,贝U n等于（）A. 11B. 12C. 13D. 14B vAn=n(n-1), .由 n(n1)= 132 可知 n= 12.4 .计算 AA4A5=() /"5A.12B. 24C.30A7=7X6A4, A6=6A4, .给出下列4个等式:D. 36A7 A5 36A5所以 FF=7I = 36.n!n+ 1 !n+ 1B. 2D. 4n小 八 m . m 1 g n m11 , An=nAn 1; An= ；，n m !其中正确的个数为（）A. 1C. 3C 由排列数公式逐一验证，成立，不

16、成立.故选 C.二、填空题6 .集合P = xX = Am, mCN*,则集合P中共有个元素.7 因为mC N*,且m<4,所以P中的元素为 a4 = 4, a4= 12, A4 = A4= 24,即集合P中有3个元素.8 .如果 Am= 15X14X13X12X11X10,那么 n =, m=.15 6 15X14X13X12X11X10= A65,故 n=15, m= 6.9 .现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有 种不同的种法.（用数字作答）1 680 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任 选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元

17、素中任选4个元素的 排列问题.所以不同的种法共有 A4=8X7X 6X5= 1 680仔中）.三、解答题10 从a, b, c, d, e五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b为首的不同排列，试列出所有不同的排法.解画出树形图如下：可知共 12 个，它们分别是 bac, bad, bae, bca, bcd, bce, bda, bdc, bde,bea, bec, bed11 .解方程：A4x+1 = 140A3.2x+1>4,解根据排列数的定义，x应满足 .x>3, xC N ,解彳3x> 3, xC N*.根据排列数公式，原方程化为 (2x+1) 2x (2x1)

18、 (2x2) = 140x (x 1) (x2） .因为 x> 3,于是得（2x+ 1）（2x 1） = 35（x 2）,即 4x235x+ 69=0, 一 .23解彳x x= 3或x= z（舍去）.所以原方程的解为x= 3.能力提升练1,若 s= a1 + a2+a3+-+ A2019,则 s的个位数字是（）1 . 0B. 32 . 5D. 8B A5= 120,. n5 时 An的个位数都为零，. 1! +2! +3! +4! =1 + 2+6+24= 33.故S的个位数字为3. . An一 .3 .满足不等式屋5>12的n的最小值为（）A nA. 12B. 10C. 9D. 8 n! n 5 !_ .B 由排列数公式得兀一>12,则(n 5)(n 6)>12,解得n>9或n<2(舍n 7 n!去).又