高中数学考前归纳总结圆锥曲线中的探索性问题

1、圆锥曲线中的探索性问题、常见基本题型:(1)探索图形的面积问题2例1、斜率为22的直线BD交椭圆C :22y1于日D两点，且A、B D三点不重合。 4ABD面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在，请说明理由?解：设直线方程为 y J2x b ,联立方程y . 2x bx2y2,消去 y得 4x2 2J2bx b2 4 01248b2 64 02.2 b 22.2.b2 4x1 x2b, x1x2 24BD| ;1 ( 2)2 x x?|3g-j- j 8 b2设d为点A到直线y J2x b的距离， d 旦，3Sabd 2|BDgd qJ(8 b2)b2 gg8 b2 b 五，当且

2、仅当b 2 ( 2J2, 2J2)时， ABD的面积最大，最大值为 J2。(2)探索图形的形状问题2 0交抛物线C于A B2_例2.已知抛物线C : y mx (m 0),焦点为F ,直线2x y两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q ,是否存在实数 m ,使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m的值；若不存在，说明理 由。 2解：联立方程 y mx ,消去y得mx2 2x 2 0,2x y 2 0XiX2设 A(x1,mx1), B(x2,mx2),则()，2xi x2m22x1 x2 mx1 mx2、口门ii iQ P 是线段 AB 的中点，P(J,三一

3、-),即 P(-,yp), Q(-,-),22mm muuri 2i uuui 2i得 Qa(xi, mxi), Qb(x2, mx2一),m mm m若存在实数 m,使 abq是以q为直角顶点的直角三角形，则uuu uuuQA QB 0 ,日口 ii2 i 2 i即（xi）（x2）（mxi一）（mx2）0,mmmm，一，一 r 46结合（）化简得 -2-4 0,m mi即 2m 3m 20, m2 或 m （舍去），2存在实数m 2,使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形。（3）探索点、直线的存在性例3:如图，已知椭圆 C的中心在原点 O,长轴左、右端点 M, N在x轴上，椭圆 G的短轴为M

4、N且Ci, G的离心率都为e,直线l，MN l与Ci交于两点,与G交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A, B, C, D.当e变化时，是否存在直线l ,使得BO/ AN并说明理由解：t 0时的l不符合题意.t 0时，BO / AN当且仅当BO的斜率kBo与AN的斜率kAN相等,b 2.2 a 2,2一寸 a t v a t即 _a btt a解得tab2a2 b2i e22 a , ei e2因为t a ,又0 e i,所以一2 i,解得 e22所以当024时，不存在直线2l，使得 BO / AN ；l ,使得 BO / AN .-2/当 e 1时，存在直线2则 x1x20, R),在例4

5、、已知B、C是曲线C: y24(xuuuuuir1)上不同两点，满足OB OC(x轴上是否存在点A(m,0),m的取值范围;uuir uuu使得AB AC ,若存在，求出实数若不存在，说明理由。解：设 BC : x ky设 B (xi,y i) ,C(X2,y 2)2._y 4ky 4 0V1V2 4 uiuir uurAB AC 0x ky2y2 4(x 1)必 V2 4k,uuu uuurQ AB AC即(x1 m)(x2 m) y1y2 0 即(k21)yi V2mk(yiy2)m2 04(k21) mk4km2 0(4 m4)k2若存在则2 m 1 或m 2.4(m 1)二：针对性练习

6、x21、设椭圆C:41的左、右焦点分别为Fi,F2 ,过右焦点 F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M N两点,在x轴上是否存在点 P(m,0),使得以PM PN为邻边的行四边形是菱形，如果存在,求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。解：由已知设l的方程为：y k(x 1),将直线方程与椭圆方程联立y k(xx2 y2432 2224k2) x2 8k2x 4k2 12 01),消去y得：(31设交点为M (x1, y1)，N(x2,y2),Q3 4k2 0与，y2 k区 x2 2), 3 4k若存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直，所以 (PMuu

7、r uuur又 PM PN (x1 m,y2) (x1PN).MN 0m,y2) (Xi y2 2m, yi y?)uuuuQ MN的方向向量是(1,k),故k(yiy2) Xi X2 2m 0,2 ,则 k (x1 x2 2) x1 x2 2m 0,日/ 8k2即 k (23 4k2)8k23 4k22m 0 ，由已知条件知k 0且k R,k23 4k2k21故存在满足题意的点 P且m的取值范围是(0 1)。4(2 xi, yi) ,明;y 2LT2.直线l与椭圆 一 x 1交于A(xi, yi) , B( x2, y2)两点，已知m 4TLT Tn (2 x2, y2),若m n ,试问：

8、 AOB的面积是否为定值？如果是， 请给予证 如果不是，请说明理由.解：当直线 AB斜率不存在时，即 x1 x2,y1y2 ,IT T2222由已知 m n 0,得 4x1 y10 y1 4x1又A(xi,yi)在椭圆上，所以 x12 1 1 | x1 | ,| y11 242- 11S -|x1 |y1 y2| 一 |x1121y1| 1,故 AOB 的面积为定值22当直线AB斜率存在时：设 AB的方程为ykx ty kx t2(k2 4)x2 2ktx t2 4 0y- x2 14必须 0 即 4k2t2 4(k2 4)(t2 4) 0ITm得到x1Tn ) 4x x2x222 kt，& x22 k2 4yy2 04x1x2t2 4k2 4(kx1 t)(kx2 t)代入整理得：2t2 k2 4S 1121AB | 1|t|, (xi X2)2 4x1X1 2 J k22|t| ,4k2 4t2 16,4F21k2 42|t|所以 AOB的面积为定值.3.已知直线l : y x m , mR .若直线l关于x轴对称的直线为l ,问直线l与抛物线C : x2 4y是否相切？说明理由解：因为直线l的方程为y x m ,所以直线l的方程