因式分解的常用方法(方法全)

1、因式分解的常用方法(方法最全最详细)因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法,公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解：(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法：。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：maTnb+m

2、c=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：2222(1) (a+b)(a-b)=a-ba-b=(a+b)(a-b)；222222(2) (ab)=a2ab+ba2ab+b=(ab)；22333322(3) (a+b)(a-ab+b)=a+ba+b=(a+b)(a-ab+b)；22333322(4) (a-b)(a+ab+b)=a-ba-b=(a-b)(a+ab+b).下面再补充两个常用的公式：2222(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；333222a+b+c-3abe=(a+b+c)(a+

3、b+c-ab-bc-ca)：例.已知a,b,c是?ABC的三边，旦a?b?c?ab?bc?ca,则?ABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c1三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am?an?bm?bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两

4、组之间的联系。解：原式二(am?an)?(bm?bn)=a(m?n)?b(m?n)每组之间还有公因式！=(m?n)(a?b)例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx解法一：第一、二项为一组：解法二：第一、四项为一组：第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式二(2ax?10ay)?(5by?bx)原式二(2ax?bx)?(?10ay?5by)=2a(x?5y)?b(x?5y)=x(2a?b)?5y(2a?b)=(x?5y)(2a?b)=(2a?b)(x?5y)2练习：分解因式1、a?ab?ac?bc2、xy?x?y?l(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:x?y?ax?ay分析：若

5、将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式二(x?y)?(ax?ay)=(x?y)(x?y)?a(x?y)=(x?y)(x?y?a)222例4、分解因式：a?2ab?b?c解：原式二(a?2ab?b)?c=(a?b)?c=(a?b?c)(a?b?c)22222练习：分解因式3、x?x?9y?3y4、x?y?z?2yz223223综合练习：(1)x?xy?xy?y(2)ax?bx?bx?ax?a?b222(3)x?6xy?9y?16a?8a?l(4)a?6ab?12b?9b?4a2222(5)a?2a?a?9(6) 4ax?4ay

6、?bx?by432222222222222(7) x2?2xy?xz?yz?y2(8)a?2a?b?2b?2ab?l(9)y(y?2)?(m?l)(m?l)(10) (a?c)(a?c)?b(b?2a)22a?b?c?3abc(11)(12)a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式一一x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1:(2)常数项是两个数的乘积：(3)一次项系数是常数项的两因数的和。333思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0VaW5,且a为整数，若2x?3x?a能用

7、十字相乘法分解因式，求符合条件的a.2解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求?b2?4ac0而且是一个完全平方数。于是?9?8a为完全平方数，a?l2例5、分解因式：x?5x?6分析：将6分成两个数相乘，旦这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合,即2+3=5o122解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3132=(x?2)(x?3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，旦这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2例6、分解因式：x?7x?6解：原式二x?(?l)?(

8、?6)x?(?l)(?6)1-1=(x?l)(x?6)1-6(-1)+(-6)=-7222练习5、分解因式(l)x?14x?24(2)a?15a?36(3)x?4x?5222练习6、分解因式(l)x?x?2(2)y?2y?15(3)x?10x?2432(二)二次项系数不为1的二次三项式ax?bx?c条件：(1)a?ala2alcl(2) c?clc2a2c2(3)b?alc2?a2clb?alc2?a2cl分解结果：ax?bx?c=(alx?cl)(a2x?c2)2例7、分解因式：3x?llx?10分析：1-23-5(-6)+(-5)=-11解：3x?llx?10=(x?2)(3x?5)练习7

9、、分解因式：(1)5x?7x?6(2)3x?7x?2(4)?6y2?lly?10(3) 10x?17x?3(三)二次项系数为1的齐次多项式22222b例8、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1T6b8b+(-16b)=-8b282=a2?8b?(?16b)a?8b?(?16b)解：a?8ab?12b=(a?8b)(a?16b)练习8、分解因式x2?3xy?2y2(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x?7xy?6y例10、xy?3xy?21-2y把xy看作一个整体1-12

10、-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x?2y)(2x?3y)解：原式=(xy?l)(xy?2)22练习9、分解因式：(1)15x?7xy?4y(2)ax?6ax?82222222222224综合练习10、(1)8x?7x?l(2)12x2?llxy?15y2(3)(x?y)2?3(x?y)?10(4)(a?b)2?4a?4b?363m?4mn?4n?3m?6n?2(5)x2y2?5x2y?6x2(6)(7)x2?4xy?4y2?2x?4y?3(8)5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2(9)4x2?4xy?6x?3y?y2?10(10)1

11、2(x?y)2?11(X2?y2)?2(x?y)2思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc五、换元法。22(1)、换单项式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元，设x3=m,则x6=m2,原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、换多项式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6;m则x2+4x+6=m+4x,x2+6x+6=m+6x,原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(x2+6+5x)2=(x+2)(x+3)2=(x+2