三角函数的定义域、值域和最值

1、三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域(1) sin a =yryxxr定义域为 R. (2) cos a =?定义域为 R.(3) tan a =定义域为？a | aMnx?定义域为 +kn,RE Z? . (4) cot a =2y? a | aM |k nk2 三角函数的值域 y=as in x+b,(aM型)当 a0 时，y -a+b,a+b;当 a0 时 y a+b,-a+b y=asin2x+bs in x+c 型此类型的三角函数可以转化成关于 sinx 的二次函数形式。通过配方，结合 sinx 的 取值范围，得到函数的值域。sinx 换为 cosx 也可以

2、。y=asinx+bcosx 型利用公 式asinx+bcosx=B 情形。 y=a(s in x+cosx)+bs in xcosx 型 利用换元法， 设 t=sinx+cosx, t -2,2， 则 sinxcosx=t-122a+bsin(x+ ),tan 二22ba，可以转化为一个三角函数22J转化为关于 t 的二次函数 y=at+b22b2t+at-2b2 y=as in x+bcosx+cs in xcosx 型这是关于 sinx,cosx 的二次齐次式，通过正余弦的降幕公式以及正弦的倍角公式,sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sin xcosx=sin

3、2x25可转化为 y=msin2x+ncos2x+p 的形式。y=y=asin x+bcsin x+ds in x+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a， sin(x- )=by-a+yJby-a+y 1 通过解此不等式可得到 y的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x 有具体的角度范围，则再进行限制。二典例解析：例 1.求下列函数的定义域(1) y=3-3sinx-2cos2x;(2) y例 2.求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 (2) y=2

4、cos2x+5sinx-4;(3) y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x; (4)y=sinx+cosx+sinxcosx (5) yn63sin x+13si nx+2=logsinx(cosx+12).(3) y=25-x+lgcosx;(6) y=sin x+2cosx+21-ta n( )cosx.n4-x)(7) y=sin(x-(8) y1+ta n(n4-x)(9) 求函数 ysin 2x1-s in x-cosx+sin2x 的值域.三课堂练习：1. 若 cos a csc a sec2l=-1,则 a 所在的象限是A .第二象限限2. 不解等式：(1)sinx1212,32)则 f(cosx)的定义域为_ . (2) y=sinx+125-x2.5. 求下列函数的值域(1) y=2cosx-1(3) y=1+sinx+cosx+(5) y=12+s in x12si n2xx- n , n (4) y=-cos3 (2) y=2si nxcos1+si nx2x. xsi nx. (6) y=tan2x+4cot+1 26