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文档简介
1、第三节 全微分及其应用分布图示 偏增量与全增量 全微分的定义 可微的必要条件 可微的充分条件 例1 例2 例3 例4 二元函数的线性化近似问题 例5 多元函数连续、可导、可微的关系 全微分在近似计算中的应用 例6 绝对误差与相对误差 例7 例8 内容小结 课堂练习 习题93 返回内容要点 一、全增量与偏增量 二、全微分的定义 三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数在点处可微分, 则该函数在点的偏导数必存在, 且在点处的全微分. (3.4)定理2 (充分条件) 如果函数的偏导数在点处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算定义 如果函数在点处可微，那么函数
2、就称为函数在点处的线性化.近似式称为函数在点处的标准线性近似.例题选讲例1(E01) 求函数的全微分.解 因为例2 (E02) 计算函数在点(2, 1)处的全微分.解 所求全微分例3 求函数 的全微分.解 由故所求全微分例4 (E03) 求函数的偏导数和全微分.解 例5 (E04) 求函数在点的线性化.解 首先求，和在点的值： 于是在点的线性化为.例 6(E05) 计算的近似值.解 设函数 由二元函数全微分近似计算公式得例7 (E06) 测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解 以、为边长的矩形盒的体积为所以由于已知 为了求体积的最大误差,取再结合得即每边仅0.2cm的误差可以导致体积的计算误差过到例8 利用摆摆动测定重力加速度的公式是 现测得单摆摆长与振动周期分别为、. 问由于测定与的误差而引起的绝对误差和相对误差各为多少?解 如果把测量与时所产生的误差当作与则题设公式计算所产生的误差就是二元函数的全增的绝对值由于都很小，因此可用近似的代替这样就得到的误差为其中与为与的绝对误差.把代入上式，得的绝对
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