上海浦东新区建平中学2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

1、上海市浦东新区建平中学2020学年高一数学下学期期末考试试题 （含解析）第I卷（共60分）一、填空题：本大题共 12个小题,每小题3分，共36分.1.1和4的等差中项为.5【答案】5 2【解析】【分析】设1和4的等差中项为x ,利用等差中项公式可得出x的值.1 4 55【详解】设1和4的等差中项为x,由等差中项公式可得 x 1,故答案为：-.222【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.一一r. r r2.已知a 1,2 , bx,4 ,若a/b ,则实数x的值为.【答案】2【解析】【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x的值.rr一

2、r r【详解】Qa 1,2 , b x,4，且a/b , 2x 1 4,因此，x 2,故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题 .3 .设函数f x arctanx，则f 1 值为.【答案】一4【解析】根据反正切函数的值域，结合条件得出f 1的值.【详解】 Q arctan x 且 tan tan 1 , 因此2244f 1 arctan 1 一4故答案为：一.4【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来 求解，考查计算能力，属于基础题4 .已知数列an为等比数列，a2 1,

3、a5 8,则数列加的公比为.【答案】2【解析】【分析】设等比数列 an的公比为q,由q3 生可求出q的值.a2a3 8【详解】设等比数列 an的公比为q,则2 q - , q 2,因此，数列 为的公比为 a212,故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题-35.已知sin g ，贝cs 的值为利用诱导公式将等式sin 一23一、，一化间，可求出cos 的值.5 33【详解】由诱导公式可得 sin - cos -,故答案为：-. 255【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式

4、处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.1 -6.已知无穷等比数列 an的首项为1,公比为 -,则其各项的和为 .2【答案】23【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列an的各项和.12S 一心2【详解】由题意可知，等比数列K 的各项和为.13 ,故答案为：一.123【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行 计算，考查计算能力，属于基础题.7. lim3n 13n 112n在分式3n 13n 1的分子和分母上同时除以3n ,然后利用极限的性质来进行计算【详解】lim n3n 1 13n

5、 1 2n110c,，lim T0 1,故答案为：1.n 2n 1 0【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题 .8.已知0.2,若方程 sin x3cos x 2sin x【解析】【分析】将 sin x褥cosx利用辅助角公式化简，可得出的值.Qsin x、.3cosx-sin x 2.3c .cosx2 sin xcos2cos x sin2sin x ,cos其中sin122- Q032,故答案为： 33【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题9.在锐

6、角 ABC中，角A、B、C所对的边为.41 一a、b、c ,若 ABC的面积为一，且b 1,2c 2,则 A的弧度为利用三角形的面积公式求出sin A的值，结合角A为锐角，可得出角A的弧度数.【详解】 由角形的公式可知，ABC 的面积为得 sin A1 . 一 bcsin A211-1 2 sin A2一，Q A为锐角，因此, 2A的弧度数为-,故答案为:6【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题10.数列,设Sn为数列an an 1的前n项和，则S1012【解析】【分析】先利用裂项求和法将数列an的通项化简，并求出an 1,由此可得出So的值.Q- nanan an

7、因此，S101n 21 L411 12125一,故答案为:1212【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求 和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题N ,则数列an的通项公式为8,n 111.设Sn为数列an的前n项和，右Sn= n n4n,n 28,n 1,2【答案】an=1，n N3 4 ,n 3【解析】【分析】令n 3时，求出an Sn Sn 1 ,再令n 1时，求出a1的值，再检验 a1的值是否符合an n 2 ,由此得出数列 an的通项公式.【详解】当 n 3时，an Sn Sn1 4n 4n 1 3 4n 1,当n 1时，a1 S1 8, a1

8、 8不合适上式，当n 2时，a2 S2 a1 16 8 8, a2 8不合适上式,因此,8,n 1,29n 一 3 4n1,n故答案为:8,n 1,2【点睛】本题考查利用前 n项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题12 .已知等比数列91、92、93、94满足&0,1 ,931,2 ,942,4 ,则96的取值范围为.【答案】234,64【解析】94计算出q的取值范围，再由91【分析】943设等比数列91、92、93、94的公比为q,由q 和q932 一，1 ,一9694q可得出96的取值范围.【详解】设等比数列91、92、93、94的公比为q,Q 910,1 , 931,2 , 9494

9、2,4 ,所以，一 q9313q32, q 3 2,4所以，96 94q223/4,64 ,故答案为：23/4,64【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题 .第n卷（共90分）二、选择题（每题 3分，满分36分，将答案填在答题纸上）rrr r13 .已知基本单位向量i 1,0 , f 0,1 ,则3i 4 f的值为（）A. 1B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】r urr r计算出向量3i 4f的坐标，再利用向量的求模公式计算出3i 4f的值.-I 口 r ur r r 不2【详解】由题意可得3i 4f 3

10、1,04 0,13, 4，因此，3i 4f 345,故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14 .在学习等差数列时，我们由 a1 a1 0d , a2 a1 d , a3 a1 2d ,得到等差数列an的通项公式是an ai n 1 d ,象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A.不完全归纳法B.数学归纳法C.综合法D.分析法【答案】A【解析】【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法

11、，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选： A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的 理解，属于基础题.15 .设Sn为数列an的前n项和，an Sn 4 n N ,则S4的值为（）A. 3B. 7C. 15D.不确定24【答案】C【解析】【分析】令n 1 ,由a1 求出a1值，再令n 2时，由an Sn 4得出an 1 Sn 1 4 ,两式相减可推出数列 an是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出S4的值.【详解】当n 1时，阚 Si 2a14,得阚 2；2时，由anSn4得出an1Sn14,两式相减得2anani0,可得a

12、nan 11所以，数列 & 是以2为首项，以一为公比的等比数列,22 1 2 1 24因此，S4 -41 12故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和,在递推公式中涉及an与Sn时，可利用公式anS1，n 1Sn Sm,n2求解出an,也可以转化为Sn来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有 A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七 个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编

13、号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上,则所需的最少次数为（）CA. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有n 1个圆环，将n 1个圆环从 A木桩全部套到 B木桩上，需要最少的次数为an 1,根据题意求出数列 an的递推公式，利用递推公式求出数列an的通项公式，从而得出a7的值，可得出结果.【详解】假设A桩上有n 1个圆环，将n 1个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的 次数为an 1,可这样操作，先将n个圆环从A木桩全部套到C木桩上，至少需要的次数为an , 然后将最大的圆环从 A木桩套在B木桩上，需要1次，在将C木桩上n个圆

14、环从C木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为 an ,所以，an i 2an 1 ,易知ai 1.设 an i x 2 an x ,得 an 1 2an x ,对比 an 1 2an 1 得 x 1,an 1 1an 1 1 2 an 1 , 2 且 a1 1 2,an 1所以，数列 an 1是以2为首项，以2为公比的等比数列， ay 1 2 26 128,因此，a7 127,故选：b.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题 的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文

15、字说明、证明过程或演算步骤17.已知点G是 ABC重心,uu口 ADuuu2DC .e uuu/uur +一 uuur (1)用AB和AC表布AG ；uuu uuruuirAB和AC表示DG .uuir【答案】（1） AG1 uur1 AB 3uuuACuuu 1 uuu uuu DG 1 AB AC 3【分析】uuur（1）设BC的中点为M ,可得出AM1 uuu uuu-AB AC ,利用重心性质得出 2uuu 2 uuir AG -AM , 3uur * - uuu uur 3士、-由此可得出 AG关于 AB、AC的表达式;uuu uuuuLu(2)由 AD 2DC，得出 AD2uuLr

16、uuu uuu uuuuuur uur uur-AC ,再由DG AG AD，可得出DG关于AB、AC 3的表达式.uuuruuuuuuuuir1 uuu uuu【详解】(1)设BC的中点为M ,则2AMABAC，AMAB AC 2uuu2 uuur2 1uuuuuu1 uuu uuuQG为 ABC的重心，因此， AG-AMABAC-AB AC ;33 23uuu(2)Q ADuuu2 DC，uuirAD2 uuu AC, 3uuu因此，DGuuu uuu 1 uuu uuuAG AD AB AC32 uuu 1 uuu uuu-AC - AB AC 33【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分

17、利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题2218.已知函数 f x sin x 2sin xcosx cos x, x R .(1)求函数f x的最小正周期；(2)求函数f x的最小值和取得最小值时 x的取值.【答案】(1)； (2)当 x - k k Z 时，f x min 0.4【解析】【分析】(1)利用二倍角公式将函数y f x的解析式化简得 f x 1 sin2x ,再利用周期公式可得出函数y f x的最小正周期;(2)由 2x-2k k Z可得出函数y f x的最小值和对应的 x的值.2【

18、详解】(1) Qf x.22sin x 2sin xcosx cos x1 sin2x,因此，函数yf x的最小正周期为(2)由(1)知，当2x - k k Z ,即当x 2函数y f x取到最小值f x .11 0.min.k k Z 时, 4【点睛】本题考查利用二倍角公式化简,同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子,附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形 ABCD的麦田里成为守望者，

19、如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设 ABD中边BD所对的角为 A, BCD中边BD所对的角为C ,经测量已知AB BC CD 2, AD 273.记ABD与BCD的面积分别为S12 .S2的最大值.(1)霍尔顿发现无论 BD多长，J3cosA cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值;(2)霍尔顿发现麦田生长于土地面积的平方呈正相关,2和S2,为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S1【答案】(1) 73 cos A cosC(1)在(2)求出s2 S2的最大值.【详解】(1)在 ABD中，由在BCD中，由余弦定理得 BABD和BCD中分S2 S2表达式，利理得BD4 4

20、 8co4 12 8-3cosA 1cosC 是 一个定值;使用余次函数的基本理,得出可I关系，即可得出函数值的取范围则 8 73 cos A cosC 8, QcosA cosC 1;1 -1（2） QS1 - 2 2石sin A 273 sin A , S2 - 2 2sin C 2sin C ,222_ 222 _22 _则6S212sin A 4sin C 16 12cos A 4cos C ,由（1）知：J3 cos A 1 cosC，代入上式得：_2_S12 S22 16 12cos2 A 4 73 cos A 1 24cos2 A 873 cos A 12 ,配方得：S12 S2

21、224 cos A 14,6-322当A arccos3时，S S取到最大值14. 6【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关 键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题uuuunr20.已知 An An 1 n,n n Nuuur uuuir uuuir(1)求 A1A2 A2 A3 A3A4 的坐标;uuuuiu设 bn AA 1n N,求数列 bn的通项公式;(3)uuuuuur设 Bn Bn 1uuuuuirCnCma2 1a2 1N ,其中a为常数,a 1的值.n 1uuuuuruuuuurAnAn1 BnBn1

22、uuuuuruuuuu 2An An 1 CnCn 1【答案】（1）uuuirAA2uuur uuuirAA M6,6 ; (2)bn(3)当 a1时,limnuuuuuruuuuur AA 1 BnBn 1 a 1 uuuuuruuuuui 2A.An1 CnCn1n2；1时,limnuuuuuruuuuurAn An 1 BnBn 1 a uuuuuruuuuui 2An An 1 CnCn 1 n 1【解析】【分析】(1)利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果;(2)利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列bn的通项公式;uuuuuruuuuurAAi Bn&

23、i a 1(3)先计算出 uuuuuruuuuu 2的表达式，然后分 a 1、a 1、a 1三种情况uuuuuruuuuur计算出nimAnAn 1BnBn 1uuuuuruuuuu 2AnAn 1 CnCn 1 n 1的值.ulut uuur uuur【详解】(1)由题意得 AAAA A3A4123,1236,6;(2)uuuuu uuuu uuuuuuuuubn AnAn 1 A1A2 A21AL AnAn 1= 123Ln,123 Ln2 2n n n n ,;3 2uuuuur uuuuurAnAn 1 BnBn 1 a 1 n a 1 a 1(3) Q uuuuur uuuuu 2=

24、22.AnAn1 CnCn 1 n 1，a 1 n n 1当a1时,limnuuuuuruuuuurAnAn 1 BnBn 1 a 1uuuuuruuuuu 2AnAn1 CnCn1n 1lim 2- 0 .n n 1，当auuuuur uuuuurAnAn 1 BnBn 1 a 11 时 m uuuuur uuuuir 2AnAn 1 CnCn 1 n2n 22lim limn n 1 n 1 11 0n2；当a 1时,limnuuuuuruuuuur人A1 BnBm a 1uuuuuruuuuiu 2AA1 CnCn1n 1n a 1 a 1 limn ；a2 1 n2n 12limnn

25、0.nn n【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算, 计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题21.无穷数列 a 满足：a1为正整数，且对任意正整数 n , 2口1为前门项21、a2、L、an中等于an的项的个数 . . am 1_(2)已知命题P:存在正整数m ,使得 2,判断命题P的真假并说明理由;(1)若为 2019,求a2和a的值;am(3)若对任意正整数 n ,都有an 2an恒成立，求a1039的值.【答案】(1) a2 1, a4 2 ； (2)真命题，证明见解析；(3) a1039 520.【解析】【分析】(1)根据题意直接写出 a?、a3、a的值，可得出结果；(2)分a1 1和a1 1两种情况讨论，找出使得等式 皿1 2成立的正整数 m ,可得知命题p am为真命题；(3)先证明出“ a1 1”是“存在 m N ,当n m时，恒有an 2 an成立”的充要条件，由此可得出a1 1 ,然后利用定义得出 a2n 1 n n N ,由此可得出 现039的值.【详解】(1)根据题意知，对任意正整数n , 2口1为前门项为、a2、L、an中等于an的项的个数，因