上海重点中学高二数学上学期期末考试试题

1、上海市某重点高中2011-2012学年度第一学期高二数学期终答案(满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上)一、填空题：本大题共12题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写正确得3分，否则一律得0分。1、 过点A(2, 3),且垂直于 OA的直线方程为 。解：一个法向量 n =(2, 3),所以方程为 2(x_2)+3(y3)=0 ,即 2x+3y 13 = 0。|2、 直线l的一个法向量n =(cos 1)(日WR ),则直线l倾角a的取值范围是 。解：tana =cos0 -1, 1,所以倾角a的取值范围是0 71 |J n)。 44

2、3、 已知直线 1i : (k3)x+(4 k)y+1=0 与 L : 2(k 3)x 2y+3 =0 平行，则 k 的值是解:k -32(k -3)4 -k-2=2(k -3)(k -5) =0 ,所以 k =3 或 k =5。当k=3时，二直线分别为1i： y+1=0, I2 : 2y3=0,平行；当 k =5 时，二直线分别为 11 ： 2x -y +1 = 0 , l2 : 4x -2y +3 =0 ,平行。|4、 直线l的一个方向向量d =(1, 2),则l与x y =0的夹角大小为 。(用反三角函数表示)解:d1 =(1, 1),所以夹角cos?3.103 10,所以夹角为arcc

3、os I10105、 已知圆C与直线xy =0及xy 4=0者防目切,为。解：(x -1)2 +(y +1)2 =2 。 |圆心在直线x + y=0上，则圆C的方程用心爱心专心226、 等轴双曲线C与椭圆 上+上=1有公共的焦点，则双曲线 C的方程为。106解：椭圆的焦点坐标为 Fi(S!, 0) , F2(2, 0)。 22由a2 +a2 =22 =4,所以a2 =2 。所以，双曲线 C的方程为x _y =1。227、 有一抛物线形拱桥，中午 12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽 4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽 米。解：设抛物线方程为x2=2py,其过点(2, 2),所以p=

4、1, x2 =-2y ,当y = 7时，x=76 ,所以桥下的水面宽2、亩米。，8、 直线11 : y =3x -1绕原点逆时针旋转90：的直线12 ,则11与12的交点坐标为 。112 1斛：I2： y=(x1),与 y=3x-1 联立，解得父点为(，一)。35 59、 已知方程 ax2+(a22)y2+(a+2)x+(2a22)y+3a+4 =0 表示圆，则 a=。解：令 a =a2 -2,解得 2=1或2=2。22(1)当a=1时，万程化为x +y x1=0,方程表示圆；(2)当a =2时，方程化为 x2+y2+2x+3y+5=0 ,判别式22 +32 -4,5 0)焦点F的直线1和y轴

5、正半轴交于点 A,并且1与C在第一象限内的交点 M恰好为A、F的中点，则直线的斜率 k=。解：y2 =2px 的焦点为 F (, 0),设 A(0, a) ( a 0 ),所以 M (卫，-),24 2将 M (p , a)代入 y2 = 2 px ,得 a = J2p ,4 2用心爱心专心所以直线的斜率k = a-0 =_2a =豉。I0.p p11、 (2009上海市秋季高考文科第 12题)22已知Fi、F2是椭圆C：+5=1 ( a b 0 )的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 a bT *#PF1 PF2 =0。若 APF1F2 的面积为 9,则 b =。|PFJ |PF2| = 2a

6、解：有PF111PF2 |=18,可得 4c2(A) (x 2) (y-2) =1 +36 =4a2 ,即 a2 -c2 =9 ,故有 b=3o | PF1 |2 +| PF2 |2 =4c212、已知圆O的半径为1, PA PB为该圆的两条切线， A、B为切点，那么PA PB的最小值为。解：设 PA =PB =x ( x0), ZAPO =豆,贝U /APB =2豆,1所以 PO=41+x , sin a =2 ,1 x2Til12 /d n . 2 x x2(x2 -1)PA PB 用 PA| | PB | cos2： =x (1 -2sin : ) = -x 1令 x2 +1 =t ,所

7、以 t1 ,所以 pA PB =(t1)(t2) =t+- -3 -3 + 2V2 , tt当且仅当t =2 ,即t =圾,即x = JV21时等号成立。所以PA PB的最小值为 7+242 。 |、选择题：本大题共4题，满分16分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内每题填写正确得4分，否则得0分。22已知圆 C1 ： (x+1)+(y1)13、 （2009海南宁夏秋季高考文科第 5题） =1 ,圆C2与圆G关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程22(B) (x -2) (y 2) F_22(C) (x 2) (y 2) =122(D) (x-2) (y-2) =1用

8、心爱心专心解：设圆C2的圆心为（a, b）,则依题意，有a -1 b 12 一 2a 1-1=0,解得:f a = 2b - -2对称圆的半径不变，为 1,故选（B）。!14、 （2010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）若直线y =x +b与曲线y =3 _4x-x2有公共点，则 b的取值范围是（）（A）-1, 12 2（B）1-2 2, 12 , 2（C）1一22,3（D）1- 2, 3解：曲线方程可化简为 （x2）2 +（y3）2=4 （1WyW3）,即表示圆心为（2, 3）,半径为 2的半圆。依据数形结合，直线 y=x+b与此半圆相切，即圆心 （2, 3）到直线y=x + b距离等

9、于2, 解得b =1 +272 （舍）或b=1 2画。当直线过（0, 3）时，解得b=3,故1 -2 b0）与抛物线 C: y =8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|,则 k=()1222 2(A) 3(B) 3(C) 3(D) V解：设抛物线 C: y2 =8x的准线为x = -2,直线y=k(x+2) (k0)恒过定点P(-2, 0)。用心爱心专心如图过 A、B分另1J作 AMl于M, BN，l于N,由 | FA|=2| FB，则| AM|=2| BN|，点 B为 AP的中点。连ZOB,则幽=|条 |, . . | OB|=| BF| ,2点B的横坐标为1 ,故点B的

10、坐标为(1 , 20,，k 22-O 2X12，选(D)。|1 -(-2)3三、解答题： 本大题共5题，满分48分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。17、 (本题满分8分)已知直线l: x+J3y_2=0与x轴交于点 A;以O为圆心，过 A的圆记为圆 O。求圆O截l所得弦AB的长。解：在x+j3y 2=0中，令y=0,得A(2, 0),所以圆C的半径r=2,2分圆心O到直线l的距离d =|01021 =1。3分13所以弦长|AB |=2&2 12 =2底。3分18、 (本题满分8分)已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P(2, 1),直线PA1与PA2 (A, A2为双曲线C的两个顶点

11、)的斜率之积 kPA1 kP4=1,求双曲线C的标准方程。22解：(1)当双曲线的焦点位于x轴上时，设C:之七=1,a b111所以 A1( -a, 0) , A2 (a 0) , kA kPA2 -2 =1 2 a 2 -a 4 - a解得a2 =3。2分2分2分将a2 =3, P(2, 1)代入双曲线方程，得 4 -42=1 ,解得b2=3。3 b2 2所以双曲线C的标准方程为 L=1。3 322(2)当双曲线的焦点位于 y轴上时，设C: y2 x2=1,a b224所以 A(0，一a) , 4(0, a) , kPA kP2 = 1=2=1，1 a 1。a La解得a2 =-3 (舍去)

12、。2 2综上，所求双曲线 C的标准方程为 人幺=1。|3 3用心爱心专心19、(本题满分10分)过点P(4, 2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间。(I ) AP =3PB ,求直线l的方程；(n )求当AP PB取得最小值时直线l的方程。解：显然直线l的斜率k存在且k=0,2.设 l: y =k(x 4)+2,得 A(4 , 0) , B(0, 2-4k) o2 分k因为P位于AB两点之间，所以4 _2 4且24k 2,所以k 16 ,当k =-即 k =T 时，等号成立。 kk所以当AP PB取得最小值时直线l的方程为x+y 6=0。3分20、 (本题满分10分)已

13、知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1, 0)的距离减去它到y轴距离的差是1。(I)求曲线C的方程；(n)过点K(-1, 0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为 D。证明:点F在直线BD上；解：(I)根据题意知，C上每一点到点F(1, 0)的距离等于它到直线 x=-1的距离。所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，2分其中p =2 ,所以抛物线方程为 y2 =4x。又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线 C的方程为y2=4x (x0)。2分(n)设 A(x1，y1)，B(x2, y2), D(x1, -y1)，l 的方程为 x = my1 (mw。)。将 x = my -1

14、 代人 y2 =4x ,整理得 y2 -4my +4 =0 ,，从而 y1 +y2 =4m , y-y2 =4。2 分直线BD的方程为yy2 =力一(寸1) (xx2),x2 -x1用心爱心专心2即 y -y2 =-一 (x -y2m 2,m 11 ; 2、271 r812 7.2= (m +1)(_-2-) T(9一,)=2/(m +1)(8m ) =2 一(m 一万)2 分所以，当 m2=时，|AB|max=2。1 分 4) ,2 分y2 - yi4令y=0,得x=2=1,所以点F(1,40)在直线BD上。!已知m 1 ,直线1:22x-my-=0,椭圆 C：3+y2=1,2mF1, F2

15、分别为椭圆C的左、21、 (本题满分12分)右焦点。(I)当直线1过右焦点F2时，求直线1的方程;(n)设直线1与椭圆C交于A, B两点。(i)求线段 AB长度的最大值；(11) VAF1F2, VBF1F2的重心分别为 G, Ho若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。2解：(I)因为直线 1： x_my_m-=0经过 F2(Jm2 1, 0), 2所以 Jm2 -1 =m ,得 m2 =2 ,2又因为m 1,所以m=M,故直线1的方程为x 转y1=0。4分(n )设 A(。y1), B(x2, y2)。2|x = my 2由22 ,消去 x 得 2 y2 + my +m 1 = 0 ,x 242 y =1 m2则由 4=m2_8(m _1)=-m2+80,知 m2 8,4_2mm1且侣