【真题试卷】2008年考研数学一真题及标准答案

1、考研精华资料2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择91»4理，每小S 4分，共史分，下列好小a给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 世函数，出=1"2+1）出则/3的零点个薮（）i4Qi闭 1yyi03解：、一解,/f(x) = ln(2+?)-2z K 2xh(2+?)r（A）=21Ii（2 + x2） + T>0,晅大于0所以产出在（-通网）上是单调雄增的 又因为一）=0,根据其单调性可知,，（总只有一个零点.（2>函数，（匕切=arctanE在点1）处的梯度等于（）所以目必以0,1） = 1幻+0黑J

2、 = 上（3）在下列微分方程中，+C3 cos sm 2x（GCG为任意常馥）为 通解的是（）白二十/*_4产_4y = 0., B，1y 加 ya +4/ + 4y = 0.一尸"-4"+4 尸=0.i D，y+4,4r = oL二尸一?丁Qi解一 D.解：由y =+G cos 2x + C3 sin 2x可知其特征根为4 = 1,= ±2i.故对应的特征方程为(4 -1)(4 + 2)(2 - 2i) = (4 - 1)(笛+4)=下 +4414 =#-#+42-4所以所求微分方程为- /+4尸-47= 0,选L(4)设函数(x)在(-oo,«q)内

3、单调有界，；/)为数列，下列命题正确的是(), 4若aJ收敛，则i/(A,)收敛(员若；&：单调，则/GJ收敛若;(“)收砌 则/收敛.(。话；/(%);单调，则；为；收敛,解：(5)设火为力阶非零矩阵，下为"阶单位矩阵.若矛=0,则()(力|£一兑不可逆，£+力不可逆.(8iS-4不可逆，£+力可逆.(C)&-工可逆，巨+为可逆.(Qi £-4解：选(C)分析：(£-1)(£ +/+ ) = £-/3=巨，3+君1+4) 故与一/,& +月均可逆.(6)设0为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方

4、程(冗乂2)/ y = 巴程的图形如图，则上的正特征值个数为()MtO.i：5il. (Ci 2.iD»3.解:选5i分析；此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为M-2征值个数为1.(7)设随机变量独立同分布且X分布函数为耳。，贝JZ = t 可逆，右+上不可逆.飞鼠沪江网=£+43 = £1在正交变换下的标准方匕E=l，故力的正特 CmaxlN/分布函数为 B) Fx)F(y). D) 1-/ x-产 Oi .Fi Z i = Fi Z <z I = P：max；X，y； <2； = Pi X <2PY <2 i=iziF(2l=

5、F2(2i(8)设随机变量/"。，中且相关系数，则C ) p<r=-2z-i; = i, ,尸;了=2尤7 = 1.c)p；y = -2x+i) = i py=2Y+i； = i. i解：选(D)用排除法设P=aT+8,由%=1，知道矛，丫正相关，得a>0,排除(A) (C)由 x"(o,i),yML4),得盟* = 0,且y = L左(？)=左(常+与=。5丫+占l = ax0+瓦 b = 1二、填空痂9-14净bS4分，共贺分，询卷案写在答崎艇位置匕(9)微分方程0'+y = 0满足条件1，= 1的解是=.解；丁X由空=2,空二四,-皿切=卜因所以:

6、二|讣又y(D = l，所以y = Ldx x -y xyx(10)曲线sinl亨+必，一R=无在点.|0)处的切线方程为.ffi: "X+1.»CO$3)+1解：设、F(x,y) = sm(xy) + InO-x)- x,斜率上=。一、Gxcos(xy) +2；在（0,1）处，2=1，所以切浅方程为7-1 = X，即7=x+l（11）已知幕级数£,5+ 2，”在乂 = 0处收敛,在x = T处发散,则霜级数£/，X 3J x-0x-0的收敛域为解,（1.5.由题意知t/a + 2）M的收敛域为（-4 0，则t冬小的收敛域为（一2 2.«-0r

7、-0所以t一 的收敛城为q,习.X5(12)设曲面£ 是2 =44 -义 - f 的上ftl，则 | xydydz + xdzdx + x2dxdy =8k.解：| ydxdyxdzdxx2dxdyt = 0 +0 + (x1 +y2)dxdy£2qi'4| | dxdy= 24zr=8升（13）设力为2阶矩阵.%为战性无关的2维到向篦，0a = 0,月% = 2% + 4,则月的非零特征值为（0 2解：分析：出%）=（n%,w%）=（o,2%+%）=（%,%）1记尸=（如生），尸可逆，故尸/>=（：；>8 人与B有相同的特征值根£-司=：；j

8、=aa-l）, 4j="l,故非零的特征值为1.（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则尸；炉；=.解：%2柏江因为 功=£犬-（既）2,所以左犬=2, 乂服从参数为1的泊松分布，所以 P；% = 2=1三、解答题；1523小通，共94分靖桁解答写在答矗纸指定的隹宣t解答应写出文字说 朗、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)sin x-sim sinxJsjnx 求极限lim 1=-z=!I。(sin x-sin sin x) sin 不sin a-sin sin x lim*tOcos x-cos(sin i)，cosxcosx(l-cos(sinx)37

9、sin(sin x)«cosxt. sin ahmJ。6x3x2I66x(16)(本题满分10分)计算曲线积分f sin2芯x + 2i/-ll网叫 其中Z是曲缓y=sinx上从点用,。，到点，匹01的一段.解士 | sin 2xdx + 2(xJ -X)ydy = (，sin 2x + 2(x2 -1) sin xcos xylx £ 0I sin 2xdx+ i sin 2x - x2dx-JoJoJox2 - d cos2xJo 22 TT=x cos2x ,20 Jo-1 cos 27r- 0 + ； I。2x cos 2xdx=-7008 2-0 + 1,2x00

10、522 °+x2(，jrt/sin 2x 2 % 2+ I xd sin 2x2 -o2xcos2xdx"一22/-2 "-2 m-2 _ = = = = =+ -x$in2x|；-T：cos2 4， 乙(17)(本题满分10分)已知曲线C:</ +/ - 2z2 = 0x+y+3z = 5>求曲线c距离xoy面最远的点和最近的点.解；解：?+2-22 = 0 x+y+3z= 53a? -4x(y-5 i+y +20j 50 = 0用冗),储=/+y2-处/-4彳，-5)+/ + 20y一50|=2x-«2x-4<>-5)=0dx

11、=2y- 1I-4X + 2.X+20i = 0=x2 -4不 丁-5i+n' + 20y-50= 0(16(本题满分W分)0沪江网函数力x，连续，Pim=/，Jd£,证明Pixi可导，且F'，= /IX).证：设X获得喈量AX,其绝对值足够小，使得x+ue(a,6),则PCO (如图，图中P X+&X X > 0 )在X+aX处的函数值为；F(x+x) =/S力- 0由此福函数的增量F = F(x+ax) F(x)=L /(-L/( U/ J。I二/(。必+)©应-1:外)出”*U=| fQ)dt* X再应用积分中值定理，即有等式尸=/这里，

12、4在工与X+AX之间，把上式两端各除以AX,导函数增量与自变量的比值上3二金沿江网 X由于假设/(冷连续，而ahO时.4 74因此hm/© = /(R 于是，令。一0 对上式两端取极限，左端的极P艮也应该等于/(X),故尸(©的导函数存在，并且(19)(本题满分1。分)/i A)= 1-X2,用余弦级数展开,并求EM-的和“1 n解；4/Q)为偶函班则%=0 (" = 1,2,)对力=1,2,2 j=1J/(x) cosnxdx丸。=I I cosnxdx- f x27rL Jo"2=-0- I x2 cosnxdx*LbcosnxdxG沪江麴一27Tx

13、 sinnx2 2xsinnx ,dx2 2/r (-1/4(f所以 1-=0+£%CO$"X/ ml得 i = 14+f«2(1- 7T,0/ -4(-1)*所以肃T(20)(本题满分11分)力=奴式 +游，6户是三维列向重，为a的转置，尸为户的转苴(1)证(2)若a,£线性相关，则r(d)<2.解：a,户为三维列向量，则/(4？1)WL r()<lrU) =+ M r(ad) +t(版)M 2a尸线性相关，不妨设户二r(A) = ra< + (ka)(ka)r = r (1+k2) =(/)£1(21)(本题满分11分)3

14、 1、设矩阵力=a 2a :,现矩阵/满足方程=其中Xn玉,冬,. ,. 1 a2 2aB =f 1,0,0 J >(1)求证同="z + La”(2) a为何值，方程蛆有唯一解，求W =012a(3) a为何值，方程组有无分多解，求通解 锌：(力 + 1)4 ,八 x-=(«+l)a* n12a3aT=%.2.世2 3方程组有啧一斛由4= 8,知/=0,又|川=(+1)片，故。=0.记/=4“，由克莱姆法则知,0沪江网1 10 2a 1a2 2a *.沪江网故川?| =/！ 4 ="一1 = 0X. =0r0x = O的同解方程组为广，则基础解系为七1,0

15、.0,0/,上为任意常数.9 10 10沪江网l,j，? ig s 八 u “”i方程组有无分多解由Wl=。，有 = 0,则田1故可取特解为=0所以= 3的通解为G00*1+ 0，无为任意常数.0（22）（本题满分11分）设随机变量X与丫相互独立，X的概率分布为P；x=i） = §i=-LO,L，y的概率fl 0<v<l密度为力=n苴W ,记Z = x+yu先匕0沪江网nqlish.c Oh(1)求产 2(2)求Z的概率密度.解：1.F(z)= ；l+J»+o = g(z+Dp(20；|x=o)=尸(x+ywjx=o)=尸(yw$ =。1力=； W94A

16、3;2.当zN2时，F(z) = 1当2V-间，F(z) = 0当TSz<2时,夕(z) = ?(ZMz) = F(X+Y<z)= F(X+?02/=-1)产(X = -l)+P(X+YWz|X = O) F(X = O)+P(X+ys当-lWz<0时，F(z)当0Mz<】时，尸（z） =；尸(Y4z+1)+9(YSz)+ 产<ZSz-l)4;"1力=*+1);力+o=；(z+D当1三z<2时，产储）=；1十1十吁扣十D沪江网所以0F(z) = g(z+1)1z <-1-1<2<2z>2则/=./ -U20,其它)(本题满分11分)没区名，/是总体为的简单随机样本记文士题,(1)证7是熊的无偏估计量.(2)当必=0,。=1 时，求。T. A 1A1A 解c(l/(r)= £(京 -*)=欧-eC) = eH -a2因为：x一雨冉靖,又“a,Q),而5密2 =。亍+(5力2=+；/