一元二次方程重难点

1、一.一元二次方程的定义二.有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）三.一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）四.含绝对值的一元二次方程五.根的判别式及韦达定理根与系数的关系一一对方程根的个数的判别利用判别式解参数取值范围一一含参变量的一元二次方程通过判别式，证明方程根的个数问题利用韦达定理求代数式的值（X1 x2,x1x2,x1 x2,- -,X12 X22等）Xi X2利用韦达定理求参数的值五.一元二次方程整数根问题六.一元二次方程的应用基础学习元二次方程的定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.关于一元二次

2、方程的定义考查点有三个：二次项系数不为0;最高次数为2;整式方程2一般形式：ax bx c 0 （a 0） , a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.二.有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值【例】已知x是一元二次方程x2 +3x-1=0的实数根，求代数式：一X （ x 2 5）的3x2 6xx 2【巩固】先化简，再求值：a2 4(a2 4a 412)-,其中a是方程x +3x+1=0 的根.2 a a2 22

3、.公共解问题【思考】已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1,求证：二次方程2 a c b dx x 0也有一个根为1.22【例1】一元二次方程x2- 2x- 5 = 0的某个根，也是一元二次方程x2- ( k+2) x+ 9 = 0的根，44求k的值.【巩固】当k为何值时，方程x2- (k+2) x+12=0和方程2x2- ( 3k+1 ) x+30=0有一公共根？ 求出此公共根.【变式1 若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的 值及这两个方程的公共实数根.【变式2已知a> 2, b> 2,试判断关于x

4、的方程x2- ( a+b) x+ab=0与x2-abx+ ( a+b ) =0 有没有公共根.请说明理由.【拓展1 已知：关于x的方程ax2+bx+c=0 , bx2+cx+a=0 , cx 2+ax+b=0有一个相同的实数根， 且 a?b?cw0,求 a+b+c 的值【拓展2】设a, b, c为 ABC的三边，且二次 三项式x2+2ax+b 2与x2+2cx-b 2有一个公因式，证明： ABC一定是直角三角形.元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程:4 ,一 3x(2) ( 3x+1 ) ( 2x-5 ) =-2 ( 2x-5 )(3)4x2 1

5、4x(4) 4 1x2 9(7)x+2 7-8= 0(2) x+ Jx4 -6=0【巩固】（1）已知关于x的方程（2a+1 ） x+a 2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5,求a的取值范围.(2)已知 x, y 满 足方程 x4+y4+2x 2y2-x 2-y 2-12=0 ,求 x2+y2 的值.在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。【例1】若 m n为有理数，万是无理数，

6、m+亦是有理系数方程ax 2+bx+c=0 ( aw 0)的一 个根，证明：m-亦也是这个方程的一个根.【例2】设xi、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以xi、x2为两边长的等腰三角形只可以画 出一个，试求a的取值范围.x 1 3x 3【例3】当x满足条件 11 时，求出方程x2-2x-4=0的根.-(x 4) 3(x 4)【巩固】(1)解方程：x2-x-5=0 .2x 3 1(2)若不等式组 1 整数解是关于x的方程2x-4=ax 的根，求a的值.x (x 3)2四.含绝对值的一元二次方程【例1 阅读例题，模拟例题解方程.例：解方程 x2 + |x-1|-1=0.解：（1）当 x-1

7、> 0 即 x > 1 时，原方程可化为：x2+ （ x-1 ） -1=0 即 x2+x-2=0 ,解得 xi=1 ,X2=-2 （ x2不合题意，舍去）；（1）当 x-1 V 0 即 xv 1 时，原方程可化为：x2- （ x-1 ） -1=0 即 x2-x=0 ,解得 x3=0, x4=1r4不合题意，舍去）.综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1 , x2=0.请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0.【巩固】解方程：x21 #1>2-11（2）x2 4x 5 6 2x【例 2】解 方程：（1） x2-|x-2|-6=0.（2） x2-4|x|-5=0【巩固】

8、设方程x2 |2x 1 4 0 ,求满足该方程的所有根之和.难点突破五.根的判别式及韦达定理1根与系数的关系一一对方程根的个数的判别判别式与根的关系2在实数范围内，一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是 . 2 ,.、否有实数根)由b4ac确定.2设一元二次方程为ax bx c 0(a 0),其根的判别式为：b 4ac则bb4ac_ 2 l_ _.xi2 0 方程ax bx c 0(a 0)有两个不相等的实数根,2a .b 0方程a/bxc0(a0)有两个相等的实数根x1x2函.2 0方程axbxc0(a0)没有实数根.【例1】(1)解方程：x2+

9、4x-5=0 ;(2)求证：无论k取任意值，关于x的一元二次方程x2-kx+ ( k-2 ) =0 一定有两个不相等 是实数根.【巩固1】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.0有两个相等的实数根.4n 0必有两个相等的实数根.【巩固2已知关于x的方程(n 1)x2 mx 1求证：关于 y的一元二次方程 m2y2 4my m2【变式】已知关于x的一元二次方程x2+2 ( k-1 ) x+k2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围；(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，

10、请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.【巩固】已知关于x的方程x2+( 2k+1 )x+k 2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y= ( 2k-3 ) x-4k+12 能否通过点A ( -2 , 4),并说明理由.利用判别式解参数取值范围一一含参变量的一元二次方程【例1】关于x的一元二次方程(1 2k)x22jk 1x 1 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【变式】已知关于x的方程x2 2(m 1)x m2 5 0有两个不相等的实数根，化简:|1 m |m2 4m 4【例2】关于x的方程a 6 x2 8x 6 0有实数根，则整数a的最大值是2【巩固】若关于x的一元二次方程(k 1)

11、x 2x 1 0有实数根，则k的最小整数值为 【例3】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0没有实数根，且m 5,求证：m 5 x2 2 m 2 x m 0有两个实数根.【巩固】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2 (7 m)x 3 n 0有两个不相等的实数解, x2 (4 m)x n 6 0有两个相等的实数根，x (m 4)x n 1 0没有实数根，求m、n的值.通过判别式，证明方程根的个数问题【例1】对任意实数 m ,求证：关于x的方程(m2 1)x2 2mx m2 4 0无实数根.2x mx 12m 1 一 te有两个不相等的头【变式】已知方程 x2 2x m 1 0没有实数根

12、，求证：方程 数本H .【巩固】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0没有实数根，且m 5，求证：m 5 x2 2 m 2 x m 0 有两个实数根.【拔高1】已知关于x的二次方程x2p1xq10与x2p2xq20 ,求证：当p1P22(q1q2)时，这两个方程中至少有一个方程有实数.0,求证：一兀二次方程 ax2 2bx c 0【拔高2】已知实数a、b、c、r、p满足pr 2 , pc 2b ra必有实根.利用韦达定理求代数式的值(x1 x2,x1x2,x1 x2,- - ,x12 x22等) X x2【例1】已知关于x的一元二次方程x2-2 右x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求

13、实数m的最大整数值；(2)在(1)的条下，方程的实数根是x1, x2,求代数式x/+x22-x 1x2的值.【巩固】已知x1, x2是一元二次方程(m-3 ) x2+2mx+m=0的两个实数根.(1)是否存在实数m,使-x 1+xx2=4+x 2成立？若存在，求 出m的值，若不存在，请你说明 理由；(2)若|x 1-x 2|= 73,求m的值和此时方程的两根.利用韦达定理求参数的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 .(1)若方程有两实数根，求m的范围.(2)设方程两实根为x1, x2,且|x1-x 2|=1 ,求m.【巩固1】已知关于x的一元二次方程x2+2 ( m+1) x+m

14、2-1=0 .(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1, x2,且满足(x-x2)2=16-x 1x2,求实数m的值.【巩固2】已知：关于x的一元二次方程kx2- ( 4k+1 ) x+3k+3=0 ( k是整数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为xi, X2 (其中xi v X2),设y=x 2-x 1-2 ,写出y关于变量k 的函数表达式.【练习】已知关于x的方程mx2+ ( 3-2m ) x+ ( m-3 ) =0 ,其中m> 0 .(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为xi, x2

15、,其中x1 > x2,若y = x-1,求y与m的函数关系 3x1大；(3)在(2)的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式yw-m成立的m的取值范围.【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x 1 +x 2-x 1x2V -1且k为整数，求k的值.【巩固】已知关于x的一元二次方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+2k=0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得x1?x2-x 12-x 22>0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请 说明理由.【变式2】已知关于x的一元二次

16、方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若 ABC的两边AB, AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当 ABC 是等腰三角形时，求k的值.【巩固】已知xi, X2是关于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1)若(xi-1 ) ( x2-1 ) =28 ,求 m的值；(2)已知等腰 ABC的一边长为7,若x1, x2恰好是 ABC另外两边的边长，求这个三角 形的周长.【变式3设 m是不小于-1的实数，使 得关于x的方程x2+2( m-2) x+m2-3m+3=0有两个不 相等的实数根x1,

17、x2.111(1)若1 1 ,求一1一的值；x1x23 2m(2)求4 g m2的最大值.1 x11 x2五.一元二次方程整数根问题1 .有理数根问题方程ax2 bx c 0 (a 0, a、b、c均为有理数)的根为有理数的条件是：1 为有理数2 .整数根问题次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简,分子部分不能有字母，再讨论整数根,并考虑根为正（负、非正、非负）数。次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如x=a-39-4a9-k要利用换元法，设 炳a k ,得出a=9- ,将4论整数根问题，方法同上；若 =4a2-9且a为整数,x中

18、的a全部替换，得出两个不含根号的解，再讨贝U设 4a2-9=k 2 4a2- k2=9,可得(2a-k ) (2a+k)=9,则讨论整数X整数=9,讨论出所有满足情况的整数即可，注意k>0注意：若方程至少有一实数根，那么通过Xi,X2推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有两个实数根（已经确定方程为二次方程）X1, X2推出的相关字母的值，应该取公共解。1.有理数根问题【例1】已知关于X的二次方程1x24mx (k 1)mk2 0k41，一,，.-0有有理根，求k的值。4【例2】设m是不为零的整数，关于 x的二次方程mx(m 1)x1 0有有理根，求m的值.设m为整数，且4 m 40

19、 ,方程X2 2 2mx 4m214m 8 0有两个整数根，求 m的值及方程的根.b（b 1） 0有相同的整数根？并且求出它们的整【变式】b为何值时，方程 x2 bx 2 0和x2 2x 数根？【巩固】当m是什么整数时，关于 x的一元二次方程 mx2 4x 4 0与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数.六.一元二次方程的应用一元二次方程的应用类问题大致可以分为五种情况：1.增长率问题；2.商品利润问题；3.图形面积问题；4.传播问题；5.动点问题1 .增长率问题【例】某校去年对实验器材的投资为 2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？

20、【变式】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%,则第一年的利润是多少元？【巩固】某商场2002年的营业额比2001年上升10%, 2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005 年连续两年比上一年降低 10%,那么2005年的营业额比2001年的营业额（）A.降低了 2%B.没有变化C.上升了 2%D.降低了 1.99%2 .商品利润问题【例】某商场销售一批名牌衬衫， 平均每天可以销售出 20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润， 尽量减少库存，商场决定

21、采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降低多少元？【巩固】商场将每件进价为 80元的某种商品原来按每件 100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.(1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为 160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少 6辆。若不考虑其他因素， 公司将每辆汽车的日租金提高几个10元能使公司的日租金总收入达到19380元？使公司的日租金总收入最高？最高是多少？3 .图形面积问题【例】如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是 5 cm ,容积是500 cm3的无盖长方体容器，