2020年高考数学一轮复习专题4导数的综合应用

1、专题3.4导数的综合应用讲考纲1 .利用导数研究函数的单调性、极 (最)值，并会解决与之有关的方程 (不等式)问题;2 .会利用导数解决某些简单的实际问题。讲考点考点一利用导数证明不等式【典例1】【2019年高考天津】设函数 f(x)=excosx, g(x)为f (x)的导函数.(I)求f (x )的单调区间;(n)当x w二事时，证明IL4 2f (x) g(x) - -x2之0;(m)设n2n 二 xn2xn为函数u(x) = f (x) -1在区间2nn+-,2nn+ - i内的零点，其中nW N ,证明42ekl时，f(x) + g(x)油. x考点二不等式恒成立【典例2】【2019

2、年高考浙江】已知实数 a#0,设函数f (x)=aln x +Jx + 1,x 0.3(1)当a = 时，求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意xw :,)均有f(x)M，x,求a的取值范围. e2a注：e=2.71828为自然对数的底数.【方法技巧】1 .破解此类题需 形一分类，形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。2 .利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a4(x)(或a4(x)的形式，通过求函数 y= f(x

3、)的最值求得参数范围。【变式2】(2019湖北黄冈中学模拟)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+ aln x(aCR).(1)若f(x)在区间1 , 2上是单调函数，求实数 a的取值范围；(2)函数g(x)= (1-a)x,若？xqC 1 , e使得f(x)福(x)成立，求实数a的取值范围.考点三判断零点的个数【典例3】(2019湖北合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x)wo的解 集为x| 1 致xC R.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x) = x)-4ln x的零点个数.x【方法技巧】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建

4、函数g(x)(要求gx)易求，gx)=0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该 函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、 极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数【变式3】(2019山西平遥中学模拟)设函数f(x)=ln x+m, mC R.讨论函数g(x)=fx)看零点的个数. x3考点四由函数零点个数求参数【典例4】(2018全国卷n )已知函数f(x) = ex-ax2.(1)若a

5、=1,证明：当x0时，f(x)刁(2)若f(x)在(0, +8)只有一个零点，求 a.【方法技巧】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是数形结合”，即通过函数图象与 x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是先形后数【变式4(2019河北衡水第一中学调研)已知函数f(x)=ex+ax a(aC R且aw0)(1)若f(0) = 2,求实数a的值，并求此时f(x)在2, 1上的最小值;(2)若函数f(x)不存在零点，求实数 a的取值范围.考点五函数零点的综合问题【典例4】【2019年高考江苏】设函数 f (x) = (x _a)(x _b)(x _c), a, b, cw R、f(x)为f (x)的导函(1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值；(2)若a巾，b=c,且f (x)和f(x)的零点均在集合 3,1,3中，求f (x)的极小值;4(3)若 a =0,0 b, 1,c =1，且 f (x)的极大值为 M,求证：MW.27【举一反三】(2018江苏卷)若函数f(x)= 2x3 ax2+ 1(a R)在区间(0, 十 m)内有且只有一个零点，求f(x)在1, 1上的最大值与最小值的和.【变式4】(2019湖南湘潭一中调研)已知函数f(x)