10-11年高中数学上学期直线圆和圆锥曲线方程同步测试

1、10-11学年高二上学期同步测试数学：直线、圆和圆锥曲线方程（旧人教版）命题范围：直线、圆和圆锥曲线方程全卷?茜分150分，用时150分钟。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 .与圆xc. (x2)2 一卜(y=0) 用心 爱心 专心 +（y-2）2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条2 .在AABC中，三内角A, B,C所对的边是a,b, c且lg sin A,lg sin B,lg sinC成等差数列，那么直线xsin2 A十y sin A = a与直线xsin2 B十ysin C = c的位置关系是（）A.平行B.重合

2、C.垂直D.相交但不垂直3 .已知函数 f（x）=x2+2x3,集合 M=«x, yjf（x）+f（y）E0）,集合N =&x,y ,(x) f (y) >0),则集合 Mn 的面积是.冗_.A.一B.-：C.2 二D.4 二224 .已知P在双曲线L=1上变动，O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，则 APFO的重9 27心G的轨迹方程是2A. (x -2)2 %=1(y =0)2B. (x 2)2 -y- =1(y =0)22x yd1(y = 0)18 545 .已知0是三角形的一个内角，且sin8+cos6 =1，则方程x2sinH-y2 cos8 =1表示（）2A

3、.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线6 .过抛物线y2 =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在7 . 一个椭圆中心在原点，焦点F F2在x轴上，P （ 2 , 向）是椭圆上一点，且|PFi |、|FiF2卜|PF2 |成等差数列，则椭圆方程为（）22222222x yx y , 入 xyx y ,A.一 L =1B. =1C. =1D. =18616 68416422x y8.设F1、F2分别为双曲线 一2三=1(a> 0,b&g

4、t; 0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a b点P ,满足PF2 = FF2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线 的渐近线方程为()A. 3x_4y=0B. 3x_5y=0C. 4x _3y =0D. 5x _ 4 y = 09.若直线y=kx+2与双曲线22x -y=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A'U一 15)3B.C. (-1530)D./15(，-1)310.设离心率为的双曲线2 y b2= 1(a>0,bA0)的右焦点为F,直线l过点F且斜率为K,则直线l与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是A. k2 -e21C. e2 -k2

5、 122B. k - e < 122D. e - k ： 111.已知双曲线24=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，且PF1|=5PF2, b2则此双曲线的离心率e的最大值为A.12.若AB过椭圆258. °22、二116C.中心的弦，F 1为椭圆的焦点A. 6B. 12 C . 24、填空题(每小题 4分，共16分)( )D. 2则FAB面积的最大值为( )D. 4822_13 .已知双曲线，= 1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y二J3x,它的一个焦点在抛a b物线y2 =24x的准线上，则双曲线的方程为 用心 爱心 专心14 . 1998

6、年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“钺星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km,远地点为n km ,地球的半径为 R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于15 .已知与曲线 C: x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|二a ,|OB|=b, a>2, b>2,线段AB中点的轨迹方程是 。16 .已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D ,且BF =2FD ,则C的离心率为三、解答题17 . (12 分)已知 m R R ,直线 l : mx

7、(m2 +1)y =4m 和圆 C ： x2 +y2 8x +4y+ 16 = 0 .(1)求直线l斜率的取值范围；1(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为 1的两段圆弧？为什么？218. (12分)已知A、B分别是椭圆22x2 + y2 =1的左右两个焦点, a b2O为坐标原点，点P(-1)，2在椭圆上，线段 PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 sinA sin B 一(D求椭圆的标准方程 求的值sinC- 1 一一19. (12分)已知椭圆的中心在原点，离心率为一，一个焦点是F(-m,0) ( m为大于0的常2数).(1)求椭圆的方程；(2)设Q是椭圆上一点，且过点F,Q的直线l与y

8、轴交于点M ,若|MQ|二2|QF|,求直线l的斜率.用心 爱心 专心20. (12分)已知抛物线 y2=4x的焦点为F,过F作两条相互垂直的弦 AR CD设弦ARCD的中点分别为M N.(1)求证：直线MN、过定点；(2)分别以弦A*口 CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.22x y21.(12 分)椭圆 f+2?=1 (a>b>0)的二个焦点 Fi (-c, 0), F2 (c, 0), M 是椭圆上a b一点，且 F1M F2M =0。(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e最小时，点N (0, 3)到椭圆上一点白最远距离为 5J2 ,求此椭圆的方程。22

9、. (14分)已知双曲线C的中心在原点，抛物线 y2 =275x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1,.3 ).(1)求双曲线的方程；»，、，、一“一、，»r，(2)设直线l : y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，k为何值时OA_LOB(3)是否存在实数k ,使(2)中的A、B两点关于直线y=mx对称(m为常数)，若 存在， 求出k的值；若不存在，请说明理由.用心 爱心 专心参考答案1. C在两坐标轴上截距相等的直线有两类：直线过原点时，有两条与已知圆相切；直x v .线不过原点时，设其万程为 +工=1 ,也有两条与已知圆相切.易知、中四条切 a a线互不相同，

10、故选 C.2. B 提示：Igsin A,lg sinB,lgsinC 成等差数列 =sin2 B = sinAsinC= b2 = ac ,又22xsin A y sin A = a：= ax 2Ry = 4R,222xsin B+ysinC=cu xb +yc = cu ax + 2Ry=4R ,故两直线重合。选 B。22 一3. D集合M即为：(x + 1) +(y+1) M8,集合 N即为：(x +y +2)(x-y) >0 ,其面积等于半圆面积。4. C.双曲线焦点坐标是F (6, 0).设双曲线上任一点P (xo,y。)， iPFO的重心6 x0 x =G(x, y),则由重

11、心公式，得43,V- 3x0 =3x -6 解得J yo = 3y，代入生兽=1,得(x-2)2 9 272=1(y #0)为所求. 31.35. B 由 sine +cos日=-=2sin 0cos0 =" ,又 6 是二角形的一个内角，故 sin e a 0,cos日 < 0 ,由 sin 1 - cos -1 -2sin cos =一、，1故方程x2 sin 9y2cos8 =1表示焦点在y轴上的椭圆。选 B。6. B该抛物线的通径长为 4,而这样的弦AB的长为xA+xB+p = 7,故这样的直线有且仅有两条。选Bo 227. A提示：设椭圆方程为7+2=1(a>b

12、>0),由|PF1 |、| F1 F2卜| PF2成等差数列知a b用心 爱心 专心22a=2c,从而b=J3c,故椭圆方程为 +与=1 ,将P点的坐标代入得c2=2,4c 3c22故所求的椭圆方程为 '+L =1。选A。86a与b之间的等量关系,8. C利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出22_可知答案选C x -y =6得1 -k2 x2 -4kx-10 二0|川二若直线y =kx +2与双曲线x2 -y2 =6的右支交于不同的两点，则 k应满足22:=Yk -4 1 -k2 (-10)xx24kxil_x2 -1 -k2-10-53k :二 0 二201 -

13、k21 -k2 = 0k2k2"15 < k < -1 ° 选 D。 3由已知设渐近线的斜率为上,a| k 卜：b,. k2ab2<=2a22c - a2一 二 e -1 ,即a-k2 >1,故选 C；11. B提示：PF1 =r , PF2 = r2由L r1 = 5r22r2 = a = r1 - r2 = 2a3 一3a22cu eW故选B项。212. B设AB的方程为x = my,代入椭圆方程得_2 2_216m2y2 25y220二 400 二 y1 2 -二尸16m25S&BF1 =1 c y1 一 y2 =- 2 t 20- W

14、3 4 = 12。选 B。2216m25Ja13. 依题意知c=6= a2 =9,b? =27 ,所以双曲线的方程为22七2c =a b22x _y_.一 一匚二1927用心 爱心 专心14.2 ；'(m + R)(n + R)提示：m+n + 2R_ c=m+Rm n 2R 上 +c=n+R215.16n - m. c /c=T，b=F(m n 2R、2 ,n m、22)2 -(2)2 =2v-(m + R)(n + R).1,(x1)(y1)= (x>1,yA1)提不：a、b满足(a-2 ) (b-2 ) =2。设 AB的中点坐标为 2(x,y ),贝U a=2x,b=2y,

15、代入得(2x-2 ) (2y-2 ) =2,即(x-1 ) (y-1 ) = 2 (x>1,y>1 )。如图，|BF | = Jb2 +c2 =a ,艮口二出.卷以|DD1|D D | |BD| 33cxD = -2由椭圆的第a 3c、| FD | = e(- - -) = ac 22a3 c2，又由 |BF |二2|FD |,/日 c 3c2.3倚 a = 2a -，二 e 二 a317.解析：(1)直线l的方程可化为4m,直线l的斜率k=T- m2 1m < ；(m2 +1),所以 k =mm2 1m =1时等号成立.所以，斜率k的取值范围是I-,1 L 6分一 2 21

16、(2)不能.由(1)知l的万程为y = k(x4)，其中k < - 22圆C的圆心为0(4,-2)，半径r =2 .圆心C到直线l的距离d.,1k2由|k w 1,得d > 1>1,即d .从而，若l与圆C相交， 2,522 二则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.3所以l不能将圆C分割成弧长的比值为 1的两段弧. 12分2用心 爱心 专心C=1,. 11一I ccc18.解：(1)由题意知：+=1,解得a2=2,b2 =1,c2=1.a22b2222a = b c .2椭圆的标准方程为 + y2=1. 6分2(2)二点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，AC+ BC= 2

17、a =2&, AB= 2c=2 .在 ABC中，由正弦定理,BC AC ABsin A sin B sin Csin A sin Bsin CBC AC 2.2AB 一 212分2219.解：(1)设所求椭圆方程为：x2+、=1(a Ab >0). a b由已知得：c = m,C ,所以 a = 2m,b = J3m .a 222故所求椭圆的方程为：工=1. 6分4m3 m(2)设 Q(%, yQ)，直线 l : y =k(x+m),则点 M (0,km).当 MQ = 2QF 时，由于 F (-m,0), M (0, km).由定比分点坐标公式，得0-2m2km 0 1,Xq

18、= +2 = 一,m , yQ = +2 = km ,又点 Q在椭圆上,2224m k m所以 92 + 92 =1,解得 k =2/6 ,4m 3m当 MQ = -2QF 时，Xq =0-( 2) ( m) = -2m, yQ =-km = -km .1-21-2于是24m24m- 23m2故直线l的斜率为0或氾亚.12分20 .解：(1 )由题设知F (1,0)且直线A B的斜率存在，设 1AB : y = k(x-1)(k 手 0),代入 y2 =4x ,用心 爱心 专心得 k2x2 -2(k2+2)x + k2 =0 得,2-Xa Xb k 2xM -22 k2Ym = k(XM -1

19、) = k故M(占2,2), k2 k因为CD _L AB ,所以 kcD = 1,同理可彳4N(2k2 +1 ,-2k)k2 k 2222Imn ：(2k +1 -)(Y+2k)=(2k)(x2k -1),即(1k )Y = k(x 3) kk故不论k为何值，直线 MN通过定点T (3,0) 6分(2)由抛物线定义可知，圆 M圆N都与抛物线的准线 x= -1相切，所以圆M圆N的半径分别为xM +1、Xn +1 ,从而,O M : (x -Xm )2 +(Y Ym)2 =(Xm +1)20 12. 2.2ON ： (X - Xn ) +(Y- Yn) =(Xn+1) 02由3 2 ,得公共弦所

20、在直线方程为：(Xm -Xn)x (Ym - Yn)Y =01/22 (Xm -Xn)x+(Ym -Yn)Y=(Ym - Yn )-(XM - Xn ), 2p.12214222又 iJYm -Yn) -(Xm -Xn)二(六 一 4k ) -(-7 - 2k ) =0, 22 kk故：两圆相交弦所在的直线经过原点. 12分21 .解：(1)设点M的坐标为(x,Y),则F1M'=(x + c,Y) ,F2M.=(x c,Y)。由丽 F2M =0,得 x2-c2+y2=0,即 x2-c2=-Y2。又由点M在椭圆上，得y2=b2-b?x a，代入,.22. 222b 2,2rr22 a b

21、得 x-c=-2"x -b , IP x =a 。 ac2,222_222ab 2一 a-c.0w x w a ,0< a 一 < a ，即 0w2 1，cc用心 爱心 专心1,0< _K1,e解得又eK；。2 x2（2）当离心率e取最小值二时，椭圆方程可表不为 当22b2y 1-2 = I ob设点H (x, y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+ (y-3) 2= (2b2-2y2) + (y-3) 2=- (y+3) 2+2b2+18 (-bWyWb)若 0vbv3,则 0>-b>-3,当 y=-b 时，|HN|2 有最大值 b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50, b=5j23或 b=-5& 3,这与 0Vb<3矛盾。若 b>3,则-bW-3,当 y=-3 时，|HN|2有最大值 2b2+18。22由题意