考试课后题答案

1、(x,t)x,dv,利用电荷守恒定律2二证明题2.已知一个电荷系统的偶极矩定义为P(t)v0证明的变化率为dpdtJ (x ,t)dvv解:p(t) (x ,t)x dv (T就是方向符号)vX与时间无关，取的P(t) 一个分量为Pi(t)(x, ,t)xi dv,vdPi (t)dtPi(t)Xi(Xi ,t)dvvJidvv( Ji)dv(人 JJdvv(X Ji) ds Ji dvs(p上的乱码为p上一个点，rou也是，dv后都有一小撇) 考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。：(xJi) ds =0s所以dPi (t)dtJi dvv故得dpdtJ(x,t)dv

2、,v3证明:(1)两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足tan 2tan 1，其中1和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别为界面两侧电力线与法线的夹(2)角.当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足，其中1, 2分别为两种介质的电导率。tan 2解：(1)考虑到界面上无自由电荷，故知：D2n即 D1 cosE2t1 E1。仆即E1tD1故旦刮11 E1 cos 11 D2 cos 2且 n (E2 E1) 0E1 sin 1E2 sin 2D22 E2E2 sin 2 即得 tan22 E? cos1tan 1（2） 直导电介质内流有稳恒电流故J 0可知 J1nJ2

3、n即J1 cos 1 J2COS 2又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故EitE2t 即 Ei sin 1E1 sin 2且J11E1J22E2故得2 COS 1sin 1uvuv v10.设A和 是满足洛伦兹规范的失势和标势。引入一矢量函数Z（x,t）（即赫芝uvuv 1 Z势），使 gZ，证明A冷上c t（子母上边的均为方向符号，其中g为称号）证明：在洛伦兹规范uv 1gA c2 t0（1）uv下A和:遵从达朗贝尔方程：2(v12(vAuv212A220J ，2 , 2/ 0（2）ctc t将uvgZ( 3)代入(1)uv 1式得(A 12Z)=0（4）ct因为(1)式对任意点任意

4、时刻都成立，故方程（4）对任意点任意时刻也成立,uv uv 1 Z因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场，令其为0,便有A -上 （5）c t三计算题1有一内外半径分别为 门和r2的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止 电荷 f，求（1）空间各点的电场（2）极化体电荷和极化面电荷分布电场具有球对称性分布，利用解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内, 高斯定理可解得/33(Dri ) f(r3ri3) f3 or3(r D)(rir a)(rri)（3） 极化体电荷和极化面电荷分布:在（rir a）范围内存在极化体电荷Pe oE( ri) oEp( r i) 0 E

5、(rir a)在r=2球面上的极化面电荷p（前边是r=r2）n (P2 Pi)n ( i) 0E2/ 33L(r2ri ) fE23r n r3 r2(r2ri ) f0- (i -) 32ri3) f(r)3 r23在r=ri的球面上的极化面电荷p(前边是r=ri)n (P 2 P 3)P30P 2 e 0 E'2沿向流有稳恒自由电流 Jf，导体的磁导率2.内外半径分别为ri和r2的无穷长中空导体圆柱,为。求磁感应强度和磁化电流。解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流Jf所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而可应用安培环路定律求 B三个不同区域的 B可分别算出/ 2 20(2ri )

6、2 2(rri )2r3(r(ri(r现在计算磁化电流:JMJMm HD)ri)mH1)Jf(01)Jfmn H磁化电流面密度为n是柱面外法线单位矢径当 r=r2 时，H H22IfM2当r=ri时H H20M10，半球的球心在导体平面上，点a的半球凸部（如图）16.在接地的导体平面上有一半径为电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（ b>a），试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个Q 1 14 0R2 b2 2Rbcos R2 b2 2Rbcos4 ab222a Rcos b4 ab222a Rcos b(02, R

7、a)模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。a亠2a亠a亠Q1Q， r1ez ； Q2Q，bbbQ3Q，abez，所以17.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b,求空间电势。解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。Q 114 0.(x Xo)2 (y a)2(z b)2(x Xo)2(y a)2 (z b)2(x Xo)2 (y a)2 (z b)2.222 , (y,z 0).(x Xo)(y a) (z b)20.有一块磁矩为 m的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中, 求作用在小永磁体上的力

8、F。解：根据题意，因为无穷大平面的谊艮大，则在平面上所有的 H均和平面垂直，类比于静电场，构造磁矩 m关于平面的镜像 m',则外场为：Be0mm Rmcos而mA 34 r4 r2m,2 cossin、Be0 «-(3 er3 e )4rrm受力为:c23 0m一 2F (m)Ber 2a4(1 cos64 a421. 一平面电磁波以45。从真空入射到r数和折射系数。3(2cos er sin e )4 r)ez的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系解：设n为界面法向单位矢量，(S)、S')、S")分别为入射波、反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值，则反

9、射系数 R和折射系数T定义为：IS nS nS' nE'20 TE2， 1E02H匚H厶匚0匸2n1 cos E0n2 cos又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得 2小小小h2 cos , TII2 cos30，代入上式，2 31 cosR1 cos根据折射定律可得：厂 23R 2.3，II4、1 . 2 cos cos "(1 1 cos得2cos" ")21 R2 <322.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿/2 ,方向偏振，但相位比前者超前 怎样的两个线偏振？)解：偏振方向在 x轴上的波可记为Ex A0 cos( t在y轴上的

10、波可记为kz)EyA0 cos( tkz0y 0xz轴传播，一个波沿 x方向偏振，另一个沿 y 求合成波的偏振。(反之，一个圆偏振可以分解为A0 cos( t 0x)/2) A°COS( t 0y)/2合成得轨迹方程为:E2 E2xy2 2A cos ( t0x)2cos ( t 0y)A0cos2( t 0x) Sin2( t ox) Ao所以，合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为/2的线偏振的合成。(另一问)。23.已知海水的r 1 ,1S m-1，试计算频率为50, 106和109Hz的三种电磁

11、波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：1/.2/1/,由于r 1，所以0，1/01）当50 Hz 时，1 1/.50 410 7 172 m2）当106 Hz时，2 1/ .106 410 7 10.5 m3）当109Hz 时，31/ 109 410 7116mm26. 一对无限大的平行理想导体板，相距为 b,电磁波沿平行于板面的 z方向传播，设波在 x方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。解：在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程：(2 k2)E 0k - 0 0E 0令U (x, y, z)是E的任意一个直角分量，由于E在x方向上是均匀的

12、，所以U(x,y,z) U(y,z) Y(y)Z(z)在y方向由于有金属板作为边界，所以取驻波解；在 z方向是无界空间，取行波解。所以通解为： U (x, y, z) (C1 sin ky y D1 coskyy)eikzz由边界条件：n E 0和En/ n 0定解，得到Ex A, sin(n y/ b)el(kzz；Ey A> cos(n y/b)el(kzz t；Ez A, sin(n y/b)el(kzz t且 k /c n /bkz， ( n 0,1,2,)又由 E 0得：A1独立，与A2, A3无关，A2n /b ikzA3令kz=0得截止频率：c n c/b30.设有两根互相

13、平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以相同速率 v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得'2系相对于'1的速度大小是2 2v' 2v/(1 v /c )(1)在'1系中测量'2系中静长为0 l的尺子的长度为I 10 -1 v'2/C2(2)将(1)代入(2)即得：I 1。(1 v2/C2)/(1 v2/C2)(3)此即是在'1系中观测到的相对于'2静止的尺子的长度。31.静止长度为lo的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度 uo向前

14、推出一个 小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解:根据题意取地面为参考系S,车厢为参考系S'于是相对于地面参考系s,车长为IIo 1v2/c2 ,(1)车速为V,球速为u(Uov)/(1 u°v/c2)(2)所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁u tv tI所以tI /(uv)(3)将(1)( 2)代入(3)得：t2Io(1 u°v/c )uo、1 v2 /c232 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一 脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差

15、。 设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。 铁塔到建筑物的地面距离都是Io。解：取地面为静止的参 考系'。取x轴与X轴 向一致，令t= 0时考系，列车为运动的参平行同向，与列车车速方 刻为列车经过建筑物时，并令此处为 系与'的原点，如图。在 系中光经过t l0/c的时间后同时照亮左右两塔,但在'系中观察两塔的位置坐标X'右_I o_vtd_v2/c2Io.1 v2 / c2(1v /c)X'左_Io_vt_、1 v2 /c2丨0.1 v2 / c2(1v/ c)即：d'右/ lo2 2 (1 v/c),d'左f 丨：p(1 v

16、/c).1 v /c.1 v /c时间差为d'右2vIocc2 . 1 v2 /c2d'左33.在坐标系 中，有两个物体都以速度 U沿X轴运动，在 系看来，它们一直保持距离I不变, 今有一观察者以速度 v沿X轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为'系,又取固着于AB两物体的参考系为 "系.在 中,A B以速度u沿X轴运动，相距为I ;在"系中,A B静止相距为Io,有：l lo ,1Ji U2/C2又'系相对于 以速度v沿X轴运动， 由速度合成公式 "系相对于'系以速度"系相对于系以速度U沿X轴运动,u v21 uv/ c'系中看到两物体