二次函数压轴题最短路径问题

1、最短路径问题一一和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军 饮马问题）.如图所示，在直线l上找一点P使得PA PB最小.当点P为直线AB与直线l的交点时，PA + PB最小.P ,B【方法归纳】 如图所示,在直线l上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB11 ,垂足为B,则线段AB即为所求.如图所示,在直线1上找一点P使得P- PB最小.过点B作关于直线1的对称点B,BB与直线1word资料于点P,此时PN P眼小，则点P即为所求.B耳P .BBO如图所示，在/ AOB勺边AO BO上分别找一点 GD使得PO CO PD最小.过点

2、 P分别作关于 AO的对称点E, F,连接EF,并与AO BC别交于点C, D,此时PO CO PD最小，则点G D即为所求.F如图所示，在/ AOB勺边AO BO上分别找一点 E F使得D曰EF+ CF最小.分别过点 C, D作关于AO BO勺对称点 D , C,连接 D C,并与AO Bg别交于点 E, F,此时D曰EF+ CF最小，则点E, F即 为所求.BC如图所示，长度不变的线段 CDS直线1上运动，在直线1上找到使得AO BD最小的CD的位置.分别过点A, D作AA / CD DA /AC AA与DA交于点A ,再作点B关于直线l的对称点B，连接A B 与直线l交于点D,此时点D即

3、为所求.BBAA*tii ,r # liCd一CDD11 I， * 1 b I ii ii i I4 feh aI a% a aY B1c.如图所不，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y=4X2)上的一点，点A (0, 1)在y轴正半轴.点P在什么位置时P得PB最小？过点B作直线l： y = -1的垂线段BH , BH与抛物线交于点 P,此时PA+ PB最小，则点P即为所求.1. (13广东)已知二次函数 y=x2 2m叶m2-1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0, 0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m= 2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D求G D两点的坐标；(3)在(2)

4、的条件下，x轴上是否存在一点 P,使得PO PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)由二次函数的图象经过坐标原点O(0, 0),直接代入求出 m的值即可；(2)把m= 2代入求出二次函数解析式，令 x = 0,求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标 公式求出顶点坐标即可；(3)根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC+ PD最短，求出CD的直线解析式，令y=0,求出x的值，即可得出P点的坐标.【解题过程】解：(1) ;二次函数的图象经过坐标原点 O (0, 0),二代入二次函数y = x2 2m肝m21,得出：m21 = 0,

5、解得：m= 1,;二次函数的解析式为：y=x22*或丫= x2+2x;(2) / m= 2,二二次函数 y=x2 2m4吊一1 得：y= x2- 4x+ 3= ( x 2) 21,:抛物线的顶点为：D (2, 1),当 x = 0 时，y = 3, ： C点坐标为：(0, 3), C (0, 3)、D (2, 1);(3)当p G D共线时PO PD最短，【方法一】C (0, 3)、D (2, 1),设直线CD的解析式为y= kx + 3,代入得：2k+3= 1, ： k= - 2, ： y = 2x+3,. 一 3 3当y = 0时，-2x + 3=0,解得x=2, ： PO P渥短时，P点

6、的坐标为：P(2，。).【方法二】过点D作DUy轴于点E,PO DE 墨CO，PO 4,解得：PO2DE CE一，3PO PD最短时，P点的坐标为：P (2,0).1 22. (11荷泽)如图，抛物线 y = 2x + bx-2与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点，且A ( - 1, 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)判断 ABC勺形状，证明你的结论；(3)点M (m, 0)是x轴上的一个动点，当 MC- MD勺值最小时，求 m的值.【思路点拨】(1)把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；(2)观察发现 AB*直角三角形，可以通

7、过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式，分别求出点B,C的坐标，再得出AB AC BC勺长度，易得aC+bC= AB,得出 AB骋直角三角形；(3)作出点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点M,根据“两点之间，线段最短”可知MC- MD的值最小.求出直线 CD的解析式，即可得出点 M的坐标，进而求出 m的值.【解题过程】八, 1 2123解：(1);点 A(- 1, 0)在抛物线y= 2x+bx-2,2X(T)+bx(T)2 = 0,解得b= :抛物线的解析式为 y= -x2-7x 2= o (x 不)2：顶点 D的坐标为 (力, z-) . 2222828(2)当 x= 0 时 y =

8、 2, ： C (0, 2), OC= 2.1 2 3当 y=0 时，2x - 2x- 2 = 0, ： x=1, x2=4, . B (4, 0),.Oaf 1, OB= 4, AB= 5.aB=25, aC = oA+ oC= 5, bC= oC+ OB = 20, ：aC+ bC= aB.: ABCi直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C,则C (0, 2), OC =2,连接C D交x轴于点M根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M& MD勺值最小.【方法一】飞=2设直线C D的解析式为y = kx+n,则*1=24141 . y=-x+2- k=一正12412424:当y=0时，

9、一谈+2=0, x= 石.m=石.【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E.ED/ y 轴, .OM 0CEMT ED/ OC M= / EDIM / C 0M= / DEM COlVh ADEM.m23=南2m824;m= 41fy3. （11福州）已知，如图，二次函数 y = ax2+2ax 3a （a，0）图象的顶点为 H与x轴交于A B两点（B 在A点右侧），点HF B关于直线l : 丫=乂十。3对称.（1）求A、B两点坐标，并证明点 A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK/ AH交直线l于K点，M N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接 HN NM MK求HW

10、 NMH MK的最小值.【思路点拨】（1）二次函数y = ax2+ 2ax 3a（a，0）中只有一个未知参数 a,令y=0,解出方程ax2+ 2ax 3a=0（a20）, 即可得到点A, B的坐标.把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断 A是否在直线上；（2）根据点H B关于过A点的直线l : y= 噌十/对称，得出AH= AB= 4,过顶点H作HCLAB交AB于, 一1,，- r ，一C点，得AC= 2AB= 2,利用勾股定理求出 HC的长，即可得出点 H的坐标，代入二次函数解析式，求出 a, 即可得到二次函数解析式；（3）直线BK/ AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可

11、求出 K的坐标.因为点 H B 关于直线AK对称，所以HN= BN所以根据“两点之间,线段最短”得出 HW MN勺最小值是MB作点K关 于直线AH的对称点Q连接QK交直线AH于E,所以QM= KM易得BMH MK勺最小值为BQ即BQ的长是 HW NM- MK勺最小值，求出 QB【解题过程】解：（1）依题意，得 ax2+ 2ax 3a=0 （a，0）,解得 x1=3, xz=1,B点在A点右侧，：A点坐标为（-3, 0）, B点坐标为（1,0）,;直线 l : y= 3x+ 木,当 x=-3 时，y=N3x（3）十#=0, .点 A在直线 l 上. 333（2）;,点H、B关于过A点的直线l ：

12、 y= 3 x + /3对称，：AH= AB= 4,(3)直线AH的解析式为y = y3x + 3q3,直线BK的解析式为y = -3x+ 3J3,+V3,解得.|y = /x-卡,二点HF B关于直线 AK对称,即 K (3, 2()，则 BB 4,HW MN勺最小值是 MB KD= KE= 2过点K作直线AH的对称点 Q连接QK交直线AH于E,则QM= MK:BW MK勺最小值是 BQ 即BQ的长是HNb NM- MK勺最小值，BKC/ AH :/ BKQ= / HEQ= 90 ,由勾月定理得 QB= 8,：HW NM- MK勺最小值为8.Qm EQ2 3, AE!QK4. (14海南)如

13、图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A( 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+ 1, 0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时，求四边形 MEFP勺面积的最大值，并求此时点 P的坐标;(3)若PCMi以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PME隔长最小？请说明理由.【思路点拨】y = a (x 2) 2+ k,再把点(1)由对称轴为直线x= 2,可以得出顶点横坐标为 2,设二次函数的解析式为A, B的代入即可求出抛物线的解析式；(2)求四边形MEFP1面积的最大值，要先

14、表示出四边形MEF面积.直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P作PNLy轴于点 N 由S四边形MEFP= S梯形OFPN Sa PMN S OM即可得出；(3)四边形PMEF勺四条边中，线段 PM EF长度固定,当M& PF取最小值时，四边形 PMEF勺周长取得最 小值.将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得到点M (1, 1),作点M关于x轴的对称点M (1, -1),连接PM,与x轴交于F点，此时M&PF= PM最小.【解题过程】解：(1) ;对称轴为直线x=2,：设抛物线解析式为 y = a(x2) 2+k.将a(-1,0), c(0,5)代入得：a ku，解得Ta=q 1，

15、4a十 k = 5k= 9:y = 一 (x2) 2+ 9= - x2 + 4x+ 5.(2)当 a=1 时，E (1, 0), F (2, 0), QE= 1, OF= 2.设 P (x, -x2 + 4x+5),如答图2,过点P作PNLy轴于点N,则PNhx, ONh-x2+4x+5,MNh QNr QM= -x2 + 4x + 4.1S 四边形 MEFP= S 梯形 QFPN- S PMN S QME=2(PW QF ? QNr2PN? MNP2QM QE12121= 2(x+2) ( x +4x+5) x? ( x + 4x + 4) 一1MX= -x2+|x+f9-(x-4)1537

16、6:当x=：时，四边形MEFP勺面积有最大值为153,此时点P坐标为(9 153). 41641b(3) M (0, 1), C (0, 5), PCMi以点P为顶点的等腰三角形，：点P的纵坐标为3.令y=x2 + 4x+5 = 3,解得x=2/点P在第一象限，：P (2十6, 3).四边形PMEF勺四条边中，PM EF长度固定，因此只要M日PF最小，则PMEF勺周长将取得最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M (1, 1)；作点M关于x轴的对称点M,则M (1, 1);连接PM,与x轴交于F点，此时 M曰PF= PM最小.设直线PM的解析式为y=m叶n,将P (2

17、+ V6, 3), M (1, T)代入得：(2 +而丁n=3,解得：m* , n=44乂，：y=44二与生”.n=- 15555,.，口J6+ 5J6+5J6+5J6+ 1当 y= 0 时，解得 x= 4- . : F ( 4, 0) . - a+ 1 =-4, : a=-4.:a=，： 1时,四边形 PME阔长最小.+y|y图1图22. (14福州)如图，抛物线 y=2(x4)2与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D了.(1)求点A B, D的坐标；(2)连接CD过原点。作。曰CD垂足为H, OE与抛物线的对称轴交于点 E,连接AE AD求证：/ AEO =/

18、 ADC(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作。E的切线，切点为Q,当Pd勺长最小时，求点 P的坐标，并直接写出点 Q的坐标.【思路点拨】12(1)由顶点式直接得出点 D的坐标，再令y=。，得2(x7) 7=0解出方程，即可得出点 A B的坐标;(2)设HD与AE相交于点F,可以发现 HEF与ADF组成一个“ 8字型”.对顶角/ HFE= / AFD只要/ FHE= / FADW可.因为/ EHF= 9。 ,只需证明/ EAD= 90即可.由勾股定理的逆定理即可得出 ADE直 角三角形，得/ FHE= / FA氏90即可得出结论；(3)先画出图形

19、.因为PQ为OE的切线，所以PEW直角三角形，半径EQ长度不变，当斜边PE最小时， PQ的长度最小.设出点 P的坐标，然后表示出 PE,求出PE的最小值，得到点 P的坐标，再求出点 Q的坐标即可.【解题过程】,-12解：(1)顶点 D的坐标为(3,).令 y = 0,得2 ( x3) _1 = 0,解得 xi=3+J2, x2=3#丁点A在点B的左侧，：A点坐标(3卬2, 0), B点坐标(3旬2, 0).(2)过D作DGLy轴，垂足为 G则G (0, _1), GD= 3.令x = 0,则y= ： C点坐标为(0, 2).79、，. GC= 2-(-1) = 2,设对称轴交x轴于点M 丁 O

20、aCD ：/GC / CO洋902/MO E/CO 叶 90/ MOE/GCD 又 / CGD/OMN90 !J, DCGPA EOM9CG DG _2 3.即：EM= 2,即点 E坐标为(3, 2), ED= 3.OM EM 3 EM由勾股定理，得 aE=6, aD= 3, . aE+ aD=6+ 3=9=eD.:AED1直角三角形，即/ DAE= 90 R设 AE交 CDT点 F. Z ADG- /AF氏 90 又 / AE。/ HFE= 90 ,/AFD= / hfe / aeo= /adc(3)由。e的半径为1,根据勾股定理，得 pQ= ePt.要使切线长PQlt小，只需E冰最小，即E

21、P最小.设P坐标为(x, y),由勾股定理，得 Ep=(x-3)2+(y-2)2. y=1 ( x-3)2-1,(x-3)2=2y+ 2. . . eP= 2y+2 + y24y+ 4= ( y1) 2+ 5.212-12当 y= 1 时，EP最小值为 5.把 y = 1 代入 y = 2(x 3) - 1,得2(x 3) 口 = 1,解得 x1=1 , x?=5.又.点P在对称轴右侧的抛物线上，： x1=1舍去.：点P坐标为(5, 1).此时Q点坐标为(3, 1)或(耳,可).6. (14遂宁)已知：直线1： y=-2,抛物线y = ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点(0, -1),

22、(2, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上任意一点，过点 P作直线1的垂线，垂足为 Q求证：PO= PQ(3)请你参考(2)中结论解决下列问题：(i )如图，过原点作任意直线 AR交抛物线y= ax2+bx+c于点A B分另U过A B两点作直线1的垂 线，垂足分别是点 M N,连结 ON OM求证：ONL OM(ii )已知：如图，点D(1, 1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FA FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)因为抛物线的对称轴是 y轴，所以b=0,再代入点(0, - 1), (2, 0)即可求出抛物线的解析式

23、；(2)由(1)设出P的坐标，分别表示出 PE PQ的长度，即可得出结论；(3) (i )因为BN/ AM所以/ ABNH/ BAM= 180 .由 的结论可得 BO= BN AO= AM可得出/ BON=/BNO / AO陆 /AMO 易彳导/ BONh/AOMI 9。 再得到/MO N90 即可；(ii )如图，作F Hll于H, DFl于G交抛物线与F,作F E DGF E,由(2)的结论根据矩形 的性质可以得出结论.【解题过程】f-2a=0|a=41解：(1)由题意，得彳_1 = c ，解得：:b = 0 ，;抛物线的解析式为：y=4x21;_0=4a+2b+c,c=- 11 2-1

24、2.1 2(2)如图，设 P (a,4a1),就有OE= a,PE= 4a1, PQLl , : EQ= 2,:QP= -a +1.在RtA POE,由勾股定理，得P0=J 2,、21 2(4a - 1) =4a + 1, - P0= PQ(3) (i )如图 ， BNL l , AML l，: BNh BO AM= AO BN/ AM/ BNO= / BON / AO陆 /AMO/ABM / BAM= 180 .Z BNG- Z BON- / NBO= 180 , /AOM / AMO / OA的 180 ,Z BNO- Z BON- Z NBO- / AOMf / AMO / OA陆360

25、 , . 2/ BONF2/ AO陆 180 ,Z BON- /AO的 90 , /MO N90 , ONL OM(ii )如图，作F Hll于H, DFl于G交抛物线与F,作F EDG于E,/ EGH= / GHF = / F EG= 90 , FO= FG F H= F Q四边形 GHF E是矩形，FO+ FD= FG+ FD= DG F O+ F D= F H+ F D, EG= F H DE 2+m- 1. + x.、c= 0上1 2121(2)由 y= 2x + x= 2 (x 1)+2,可得抛物线的对称轴为 x=1,并且对称轴垂直平分线段 OB OFM= BMOM- AM= BMb

26、 AM连接AB交直线x=1于 M点，则此时 OMF AM小，过点 A作 AN!x 轴于点 N,在 RtAABNf, AB= N+ BN2 = 42 + 42 =4/2,OM- AMR小彳直为40解方程组:y=x-1*m2s 1),解得七；1.X2 = m- 2y = m- 32.解：(1)二.等腰直角三角形 ABC勺顶点A的坐标为(0, 1), C的坐标为(4, 3),:点B的坐标为(4, 1). .,抛物线过 A (0, - 1), B (4, 1)两点，112X16 + 4b + c=-V 解得：b= 2, c=T， 1 2:抛物线的函数表达式为：y=-2x +2x-1 .P (m m-1

27、), Q ( m- 2, mi- 3).过点P作PE/ x轴，过点Q作QF/ y轴，则PEm- (m-2) =2, Q2(m- 1) ( m-3) =2. . . PQ= 2小=AP. 若以M P Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： 当PQ为直角边时：点 M到PQ的距离为25(即为PQ的长).由 A (0, 1), B (4, 1), P0 (2, 1)可知， ABP为等腰直角三角形，且 BPAC BP = 2p1 C如答图1,过点B作直线11/AC交抛物线y = nx+2x1于点M则M为符合条件的点.;可设直线 11 的解析式为：y = x+bs - B 4 4, - 1),- 1 = 4+ b1,解得 b= = 5,:直线11的解析式为:y = x5.解方程组y=x- 51 2得y= 2X+2x1x1= 4y1 = 1x2 = - 2y = 7：M(4， 1), M ( 2, - 7).当PQ为斜边时：MP= MQ= 2,可求得点M到PQ勺距离为2 .如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为(2, 1).由 A (0, 1), F (2, 1), Po (2, 1)可知： AFP为等腰直角三角形，且点 F到直线AC的距离为2 .,