线性代数综合复习资料

1、线性代数（经）综合复习资料第一章n阶行列式判断题1.aia?a3b3a4b2b4a1a2b1b>b3b43、如果行列式0 ,则D中必有一行为零。4.设A为n级方阵：|A|=2 ，则卜3A|= -6 （）5. Daij,Ajj为aj的代数余子式，则an A21a12 A22a13A233 30.()Ax3、n个方程、二.填空题:4、设A, B均为3阶方阵，且2, B5.设行列式D.选择题，则 A411、设A为3阶矩阵且行列式A 0 ,则下列说法正确的是（(A)(B)(C)矩阵矩阵矩阵(D)矩阵A中元素都等于0;A中必有两列元素对应成比例；A中必有一列向量是其余列向量的线性组合;A中任一列向

2、量是其余列向量的线性组合。a11a12a132a312a322aa21a22a233 ,则2a21 2a312a222a322a23a31a32a332a112a122a2、设行列式13n个未知量的齐次线性方程组332a330有非零解的充要条件是第1页共11页2、一个n级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值(A) 保持不变；(B )保持不为零；(C)可变成任何值；(D)保持相同的符号。4.已知4阶行列式D的第三行元素分别是 1, 0, 2, -3;第四行元素对应的代数余子式依次是5, 10, t, 5,则 t=()(A) 3 (B) 4(C)5(D) 65.卜列说法错误的是

3、()(A)若n阶线性方程组 Ax b的系数矩阵行列式|A 0 ,则该方程组存在唯一解；(B)若n阶线性方程组 Ax 0的系数矩阵行列式|A 0,则该方程组只有零解；(C) 一个行列式交换两列，行列式值不变；(D)若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。、计算题1 8 27 64计算16412、2求x的值使34x2 x3 x1 x 11 + x2 11 x3 113 =025 61 5 61 5 63、计算Dn =4、计算Dn5615xaLaaxLaM M M MaaLx第2页共11页1 a5、计算Dna1MQa?Lan1 a?LanMMa? L 1 an第二章矩阵、判断题1 .若A, B

4、都不可逆，则 A+B也不可逆。()2 .四阶矩阵A的所有元素都不为 0,则r(A)=4 。()3 .设A为n阶矩阵，则| KA | K | A| (K 0)。22_ 24 .设A与B都是n阶方阵，那么(A B) A 2AB B。5 .若A, X,Y是n阶矩阵，且AX AY, A 0,则X Y()填空题1、设A为m n型矩阵，B为p m型矩阵，则AtBt 是型矩阵;12.设 A11123113 ,则A的秩r(A)1113、设矩阵A3 41271 ,B8 15815271 ,且PA=B , P为初等矩阵，则P=3 412 54、已知X1 355、设 A= 20三.选择题1、设A和B皆为n阶方阵，则

5、下面论断错误的是 ()第3页共11页(1) (ab)t BTAT ；_1_ 11(2) (AB) B A ;(3) AAA ,其中A为A的伴随矩阵;(4)如果AB O,则A O或B O o2、下面论断错误的是(1)若干个初等阵的乘积必是可逆阵;(2)可逆阵之和未必是可逆阵;(3)两个初等阵的乘积仍是初等阵;(4)可逆阵必是有限个初等阵的乘积。3.设是5阶方阵，且A0,则(A) A(B) A2(C)A3(D) A4A. A 0B. A 0C.A0D. A0a11a12a13a11a12a11a1311 05、设 Aa21a22a23, Ba21a22a21a23,P 01 0 ,a31a32a3

6、3a31a32a31a3300 1AC可以推出BC淇中4.若 ABA,B,C为同阶方阵，则A应满足条件(则下列等式正确的是(1) PA B ; (2) AP(3)PBA; (4)BP、计算证明题1、已知AP = PB ,其中0，求A及A5.12、设 A,B3阶矩阵,阶单位矩阵，满足关系式AB E A23、已知三阶矩阵A的逆矩阵为A 111 ，试求伴随矩阵A的逆矩阵(A ) 1。4、设方阵A满足A2 A 2E 0,证明A及A 2E都可逆，并求 A1&(A 2E)1。第4页共11页5、 设n阶方阵A的伴随矩阵为A ,证明: 若 I A I = 0 ,则 I A =0；(2) A An 1.

7、第三章向量组的线性相关性和秩一.判断题1.若向量能由1, 2m线性表出，则1，2， m，线性相关.()2 .若向量组B能由向量组 A线性表示，则B的秩不大于A的秩()3 .设1, 2, m均为n维向量，若对任意一组不全为零的数k1,k2,km,都有k1 1k2 2 km m 0,则 1, 2, m 线性无关()4 .若一向量组的一部分线性相关，则该向量组线性相关。()5 .若向量1, 2,L , s线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.()二.填空题1 .设 ai = (1,1,0 ), 0,2= (0,1,1), 0,3= ( 3,4,0 )则301+20203 .2 .设向量组

8、1, 2, 3线性无关，则当t时，向量组 21，t 32，13线性相关。3 .已知向量组11234,22345,33456,4 4 5 6 7,则该向量组的秩为。4.向量组 1= (1,1,1)；2= (1,1,0)；3= (0,0,1)的一个极大无关组为 .125.已知 2 ,4 ,则, 与的夹角为 32三.选择题第5页共11页1、关于最大无关组，下列说法正确的是()(A)秩相同的向量组一定是等价向量组；(B) 一个向量组的最大无关组是唯一的；(C)向量组与其最大无关组是等价的；(D)如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。2、设矩阵A (aij)m n的秩为r ,则下列说法

9、错误的是()(A)矩阵A存在一个r阶子式不等于零；(B)矩阵A的所有r 1阶子式全等于零；(C)矩阵A存在r个列向量线性无关；(D)矩阵A存在m r个行向量线性无关。3、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是()(A)所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；(B)如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；(C)如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；(D)如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。4、n维向量组1, 2,L , r(3 r n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 ki,k2,L ,k使得ki 1 k2 2

10、 Lkr r(B) 1, 2,L , r中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；(C) 1, 2,l , 中任意两个向量都线性无关；(D) 1, 2,L , r中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。5.向量组 1(0,0,1), 2(0,1,1), 3(1,1,1), 4(1,0,0)的秩为(A)1(B)2(C)3(D)4四、计算证明题1 .已知向量组 1(1,2,3,4), 2(2,3,4,5), 3(3,4,5,6), 4(4,5,6,7)秩和一个最大线性无关组.2 .讨论向量组 1= (1, 1, 0);2=(1, 3, 1);3= (5, 3,)0;,求该向量组的t)的线性相第6页

11、共11页关性3 .设向量组1，2，3线性无关，证明： 12，23，13线性无关。4 .设向量组1 , 2,3线性无关，记11 ,222 3,3 l2z33,证明：1, 2, 3也线性无关。5 .已知 R3中三个向量 1( 2,1,3), 2( 1,0,1), 3( 2, 5, 1)(1)试证明1, 2, 3是R3的一组基(2)写出从基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵第四章线性方程组一.判断题1 .若线性方程组 AX=B中方程的个数等于未知量的个数，则 AX=B有唯一解。()2 .任意一个齐次线性方程组 AX=0都有基础解系。()3 . 一个非齐次线性方程组的两个解(向量)之差一定是它

12、的导出组的解.()4 .设A是n阶方阵，1A 0是AX b有无穷多解的充分必要条件.()设A是n阶方阵，若任意的 n维向量X均满足AX=0 ,则A=0。()二.填空题X1 X201 .当入=时，齐次线性方程组有非零解。X1 2x202 .若n元齐次线性方程组 AX=0满足r(A)= r ,则AX=0的基础解系中有 个解向量。3 .线性方程组 AX b无解，且r(A) 3,则r(A b) .4 .设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A) n 1则Ax 0的通解为。第7页共11页1225.设A4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O,则t311三.选择题1、设A是m n阶矩阵，Ax 0是非齐次线性

13、方程组 Ax b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是()(A)若Ax 0仅有零解，则Ax b有唯一解；(B)若Ax 0有非零解，则 Ax b有无穷多个解；(C)若Ax b有无穷多个解，则 Ax 0仅有零解;(D)若Ax b有无穷多个解，则 Ax 0有非零解。2、齐次线性方程组 AX=0有无穷多解，则对任意n维列向量B,方程组AX=B(A)、有无穷多解(B)、可能无解(C)、有唯一解 (D)、只有零解3、设A是m n阶矩阵，齐次线性方程组 Ax 0仅有零解的充要条件是()(A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。4.对方

14、程组x1 2x2 x3 1,()成立2x1 4x2 2x325.已知 1,2(A)有唯一解(B)有两个解(C)有无穷解(D)无解3是非齐次线性方程组 AX b的三个不同的解，那么下列向量1 2 ,1 +中是导出组AX(A) 4 个2-23 , 一 (230的解的向量共有(B) 3 个i),1-3 2+2 3(C) 2 个(D)1 个四、计算证明题第8页共11页1 1 21、设A2 2 4,求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.3 3 62、已知1, 2, 3是三元非齐次线性方程组 Ax=b的解，且R (A) =1及1111+ 2= 0 , 2+ 3= 1 , 1+ 3= 1011求方程组Ax=b的

15、通解.x y z 0,3、齐次方程组x y z 0,当入取何值时，才可能有非零解 ？并求解.2x y z 04、解非齐次线性方程5.设24x2x3x41,4x1 2x2 2x3 x4 2,组.2为X2x3 x41；是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解，1n r是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明:1,n r线性无关第五章相似矩阵及二次型一.判断题1 .若A为正定矩阵，则 A的主对角线上的元素皆大于零.()2 .两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.()3 .设V是一个欧氏空间， V,并且(，)0,则,线性无关。()4 .在欧氏空间V中，若向量与自身正交，则 0.()15 .若矩阵A为

16、正交矩阵，则A A .()二、填空题221 .二次型 f(x,y) x y 4xy 的矩阵 A =；第9页共11页当在 范围时，f为正定二次型2B的特征值为2、已知矩阵 A和B相似，且A的特征值为3, 2,1 ,则B23、设3是n阶方阵A的一个特征值，则行列式 A 3E4、已知三阶矩阵 A的3个特征值为1,2, 3,则A 25.方阵A 202012与对角阵202 0 00x0相似，则x .00 4三.选择题1 . n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的(A)充要条件(C)必要而非充分条件2.设方阵A与B相似，则有(B)充分而非必要条件(D)既非充分亦非必要条件(A)存在可逆阵P ,使得PT AP B(B)存在可逆阵P、Q,使得PAQ B(C)存在可逆阵P ,使得P 1AP B(D)存在正交阵P,使得PtAP B3、设A和B皆为n阶实方阵，且A与B相似,则下面论断错误的是(A) A与B有相等迹;(B) A与B有相等的行列式(C) A与B有相同的特征值.；(D) A与B有相同的特征向量1 104.设A 10是正定矩阵，则应满足()0 01(A).0( B).0(C).1(D).15.下列矩阵中)是正交矩阵第10页共11页(A)(B)1/23/23/2 1/2(C)112 03/54/5(D)4/5 3/5、计算证明