人教版八年级上册《12.2三角形全等的判定》【教案】

1、12.2三角形全等的判定教学设计教材分析：本课是在学生已经学习了全等三角形的概念和性质的基础上，探究三角形全等的条件， 并以“边边边”条件为例，理解、掌握三角形全等的判定教学目标：1 .构建三角形全等条件的探索思路，体会研究几何问题的方法.2 .探索并理解“边边边”判定方法，会用“边边边”判定方法证明三角形全等.3 .会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的道理.教学重难点：【教学重点】三角形全等的条件.【教学难点】寻求三角形全等的条件.课前准备:多媒体教学过程:问题1: (1)已知ABeLA B' C',找出其中相等的边与角.图中相等的边是： AB=A B、BC=B C'

2、;、AC=A C.相等的角是：/ A=Z A'、Z B=Z B'、/ C=Z C'(2)小伟作业本上画的三角形的一边被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三 角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由.想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件?只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！【设计意图】 说明：通过学生画图、观察、比较、交流等，初步探索出两个三角形全等的条件，同时增强学生动手操作能力.建议：本环节要注重学生的操作过程，让学生体会利用SSS'判定三角形

3、全等，为后面进一步探究做好铺垫.教师鼓励学生大胆猜测分析，尽量 让学生自主、充分地探究.问题2:【探究1如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证ABC，A B C吗？追问1当满足一个条件时,4ABC与丛A B C'全等吗？追问2当满足两个条件时,4ABC与AA' B' C'全等吗?r两边两个条件边一角 I两角追问3当满足三个条件时，4ABC与& B' C全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？三角两边一角I两角一边【探究2】先任意画出一个 ABC再画出一个 A B' C',使A' B' = AB, B'

4、C = BC, A C = AC.把画好的 A B C剪下，放到 ABC上，它们全等吗？画法：(1)画线段B' C' =BC ;(2)分别以B'、C'为圆心，BA、BC为半径画弧，两弧交于点 A'(3)连接线段A B' , A' C'.思考作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或"SSS'.用符号语言表达：在 ABC 与 A' B' C'中，*丁 t AC=AC, < BC=B'Ct AABC 9A

5、A B' C (SSS .判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等【设计意图】 说明：复习旧知全等三角形三边、三角均对应相等，通过问题串的形式减可使学生的思维环环相扣，使新课引建议：教师在教学中注意引导学生思少对应条件来引入新课一一边边边判定两三角形全等, 入水到渠成，并为后续判定方法的类比学习做好铺垫.考怎样再画一个三角形与原三角形满足三边均相等，作图方法一定要讲清楚，借机巩固尺规 作图相关内容.问题3 (1)例如图，有一个三角形钢架，AB =AC , AD是连接点A与BC中点D的支架.求证： ABD ACD .证明：. D是BC中点，BD =DC在 ABD与 ACD中，r

6、AB =AC,V T bd =cd L AD AL) tAABD 9 AACD ( SSS ).(2)用尺规作一个角等于已知角.已知：/ AOB 求作：/A' O' B' =Z AOB作法：(1)以点O为圆心，任意长为半彳5画弧，分别交 OA OB于点C、D;(2)画一条射线 O' A',以点O为圆心，OC长为半径画弧，交 O' A'于点C'(3)以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第 2步中所画的弧交于点 D'(4)过点 D'画射线 O' B',则/ A O' B' =/A

7、OBH3,A练习如图，已知 AC=FE BC=DE点A D B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明 ABe FDE除了已知中的AC=FE BC=DE外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件?【设计意图】生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，？而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的. 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.？例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.问题 4: (1)如图，C 是 AB 的中点，AD = CE, CD=BE.求证 ACDA CBE.证明：C是AB的中点.AC

8、= CB.在 ACM CBE中,AC= CRAA CECD= BE .AC里 CBE(SSS).(2)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，ZAOB是一个任意角，在边OA, OB上分别取OM = ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M, N重合.过角尺顶点 C的射线OC便是/ AOB的平分线.为什么？解：因为 O限ON OO OC M仔NC所以 OMC ONCSSS),所以/ MOC/ NOC全等三角形对应角相等).所以OC平分/ AOB【设计意图】通过适当的练习熟悉所学知识，重点在知识的应用问题5 1.课堂小结：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)探索三角形全等的条件，其

9、基本思路是什么?(3) “ SSS”判定方法有何作用？2.布置作业：教科书习题 12.2第1、9题；【设计意图】 引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思、提炼、归纳 知识，并纳入自己的知识结构中.教学反思：1 .本节课由于采用了图片展示、 直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好， 达到了教学的目的.不足之处：少数学生在分组活动时的积极性不 高，有滥竽充数的现象， 今后的教学中有待于进一步改进和完善学生的分组活动.教师要充分利用重合说明对应线段、对应角相等.2 .通过具体练

10、习让学生总结， 并带领学生快速寻找对应元素，练习的设计采用由易到难的手法，符合学生的思维发展，突破了本节课的重点和难点.真正做到以生为本， 突出效率教学.而在练习中，让学生使用数学推理的格式，使学生熟悉这种推理方法.3 .教师要帮助学生总结： 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可 以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律.学生回顾本节知识时，教师要注意组织学生谈个人收获，师生要共同交流.第2课时教材分析：本节内容是在学生已探明了两个三角形全等至少需要满足三个条件，及三边分别相等的两个三角形全等的基础上，探究两边和一角分别相等的情形.教学目标：【知识与能力目标】掌握

11、“边角边”判定两个三角形全等的方法.【过程与方法】1 .经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题.2 .能利用“边角边”判定两个三角形全等的方法解决问题.【情感态度与价值观】培养学生严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值.教学重难点：【教学重点】掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法.【教学难点】掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形课前准备：多媒体教学过程：问题1: (1)猜一猜：BC教师演示：把两根木条的一端用螺栓固定在一起.连接另两端所成的三角形能唯一确定吗？如果将两条木条之间的夹角 (即/ BAC)大小固定，那么 ABC能唯一确定吗？(2)做一做：

12、(1)用量角器和刻度尺画 ABC,使AB=2 cm, BC=2.5 cm, / ABC = 60 ° .学生动手 画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较.(带着以上两个问题，学生小组合作动手试验， 验证猜想)(引入新课)(2)将/ ABC的度数换成20° ,再试一试，情况会怎么样？通过“猜一猜”和“做一做"，你能归纳两个三角形全等的判定方法吗?【设计意图】 通过操作、观察、分析、归纳、总结，让学生体会到成功的喜悦，培养学生的观察、分析能力.教学中教师要注意引导学生讨论、交流并归纳得出“边角边”.建议：教师可进一步设计如下问题：（3）画 ABC,使AB = 2 cm

13、, BC=2.5 cm, /ACB = 40° ,学生动手画图，然后剪下来，再与其他同学进行比较（学生画出的可能有锐角三角形、钝角三角形），并与学生一起归纳得出：“SSA”不能作为判定两三角形全等的依据，进而强调SAS'中的角必须是对应相等的两边的夹角.问题2 （1）归纳概括“ SA6判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）.几何语言：在4ABC 和 A' B' C'中，AB ABA AAC ACAABCA ' B' C' （ SAS .（2）练习1下列图形中有没有全等三角形，并说明

14、全等的理由.练习2某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？结论利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹 角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了.【设计意图】培养学生由特殊到一般的类比、归纳能力，再将归纳后的结论用到特殊的图形中.问题3: （1）例1如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD =CA连接BC并延长至E,使CE =C

15、B,连接EDD那么量出 DE的长就是A, B的距离.为什么？解因为DE=AB理由如下:在 ABC和 DEC中，AC DC（已知）12（对顶角相等）BC EC（已知） ABC DEC (SASAB =DE (全等三角形的对应边相等)变式 如图，CA = CD, /1 = /2, BC = EC,求证：AB = DE.B C分析(1)要证AB= DE,可以证明 AB与DE所在的 和 全等；(2)在证明 ABC与DECir等时，题目中哪些条件可以直接使用，为什么？(3)在证明 ABC与 DECir等时，题目中哪些条件不可以直接使用，为什么？但由这个条件可以推出 =,从而可以用什么方法判定 ABC与

16、DECir等？(4)写出证明过程.练习如图，在 ABC和4ABD中，AC与BD相交于点 E, AD= BC, / DAB= / CBA求证：AC= BD.证明：在 ABCn ABD中，AD= BC, . / DAB= / CBA AB= BA. .AB赍 ABDSAS .AC= BD.(2)两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“ SAS判定三角形全等的方法，那么由“ SSA'的条件能判定两个三角形全等吗?结论反例：如图，在 ABC 和 4ABD 中， AB =AB, AC= AR / B =Z B,但 ABC 和 ABD不全等.【设计

17、意图】1.学生参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写.2.教师讲例，学生接受式学习，但要积极参与强化学生的“边角边”判定方法的理解问题4:课堂小结：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)我们是怎么探究出“ SA6判定方法的？用“ SAS'判定三角形全等应注意什么问 题？(3)到现在为止，你学到了几种证明两个三角形全等的方法？布置作业：教科书习题 12.2第2、3、10题.【设计意图】系统归纳本节知识点，提高归纳问题的能力.问题5:知识结构:【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络教学反思：1 .通过让学生回忆基本作图， 在作图过程中体会三角形

18、全等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力.2 .教师讲解例题时要使学生明确：证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题， 常常通过证明这两个三角形全等来解决.学习要善于总结，在总结中提高.应给学生搭建一个质疑、交流和相互学习的平台， 保证此环节的时间（34分钟）和质量引导学生从知识、 方 法、学习习惯等多方面进行总结和反思.3 .知识、方法方面的收获，教师要适时点拨，点出本节课所用到的数学思想、方法，这 是学习的精髓，但不能忽视孩子们其他方面的收获，如好的听课习惯，好的思维、设想，要 互相学习.这些好的收获更有助于学生的全面、和谐

19、发展.第3课时教材分析：本节内容是在学生已经学习了 “ SS6 和"SAS'两种判定三角形全等的基础上，探究 一边和两角分别相等的情形.教学目标：【知识与能力目标】1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;2.能利用“角边角“角角边”条件判定两个三角形全等;4 .知道利用两个三角形全等来证明两条线段相等或两个角相等【过程与方法】1 .使学生经历探究三角形全等的条件的过程；体验用操作、归纳得出数学结论的过程.2 .会用“角边角” “角角边”条件解决具体问题；3 .利用全等解决角相等和线段相等问题.【情感态度与价值观】培养严谨的推理能力，感悟三角形全等的应用价值.教学重难点：【教学

20、重点】应用“角边角” “角角边”判定三角形全等【教学难点】把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点.课前准备：多媒体教学过程：问题1: (1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？前面我们已经研究 了已知三边和已知两边一角这两种情况，今天我们接着研究已知两角一边是否可以判断两三角形全等.(2)三角形中已知两角一边有几种可能？三角形的两个内角分别是60。和80。，它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比 较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？结论角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三

21、角形全等(简称为“角边角”或 "ASA')AA用符号语言表达在4ABC 和 A' B' C 中,A AAB ABB B ABC A ' B' C' ( ASA(3)下图中，/ A' =/A, / B' =/B,那么/ C=/A' C Bf?为什么?结论根据三角形内角和定理，/A' C B' =180° / A' / B' , ZC= 180°A- B B,由于/ A= / A' , / B= / B' ,/ C= Z C .追问如图，在ABC 和

22、ADEF 中，ZA = Z D, /B = / E, BC=EF, ABC 与 DEF全等吗?C E（简写成“角角边”学生活动运用三角形内角和定理以及 “ASA便能证出 AB® 4£5口并且归纳如下:角角边定理两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 或 " AAS ).【设计意图】 说明：通过设置富有阶梯性的问题指导，引导学生自主学习，发现问题，解决问题.建议：教学中教师提示学生类比SS6 "SAS'归纳ASA” .教师在教学中注意引导学生利用尺规作图法， 作出 A B' C并与 ABC比较，最终形成三角形全等的判定方 法一As

23、a” .问题2 (1) 一天，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，为了画一块完全一样的玻璃，他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店，小明的想法可行吗？若可行，你认为小明应该拿哪块玻璃去呢？为什么？请同学们讨论一下.思考后请同学们回答.(2)例1 如图，点 D在AB上，点E在AC上,BA =AC, Z B = / C.求证:AD =AE.AZ证明:在 ABE和4ACD中,AB AC ABE /ACD(ASA .AE =AD.(3)变式一拓展结论(1)BD =,并证明；(2)若BE, CD交于点O,连接 AO,求证： ABOA ACO ;(3)在(2)的图形中，你还能找到哪两个三角形全等？直接写

24、出，不必证明.解析(1)结合图形的对称性，显然 BD= CE，可以利用全等三角形的性质等量减去等 量即可证得，对于(2),可以利用(1)的结论和全等三角形的性质先证BO阴ACOtE彳导BO=CQ就可以证明 AB8 AC(O第(3)问直接利用图形的对称性即可写出.变式二 如图，AB=AC, CDAB于D, BEAC于E, BE与CD相交于点 O.求证： BODA COE.教师点拨BODF口 COE容易得到：/ BOD= / COE / BDQ= / CEQ因此，还差一 组边相等，由于 AB= AC,所以可考虑证明 BD= CE.学生活动在教师的点拨和引导下，学生自主探究出答案.例2 如图，/ A

25、CB = 90° , AC = BC, AD ± CE, BEXCE,垂足分别为 D, E, AD = 2.5 cm, DE = 1.7 cm,求 BE 的长.分析(1)图中与/ ACE互余的角有哪些？为什么？这些角有什么关系？(2)图中 ACMCBE全等吗？为什么？ 线段AD, DE BE之间有什么数量关系？为什么？练习如图，E,F 在线段AC上，AD/ CB,AE =CF.若/ B =ZD,求证：DF =BE.证明：在 ADF和4CBE中,B CAB ACA AAADFCBE ( AAS .DF =BE.【设计意图】1.培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用Asa”

26、或Aas”判定两三角形全等，规范地书写证明过程.2 .培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.3 .巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力问题3:课堂小结：(1)本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？来代替?(2)本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，则三角形全等”布置作业：习题12.2第4、5、11、12题.【设计意图】 归纳本节内容，系统地把握本节知识，提高归纳问题的能力问题4:知识结构:【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络教学反思：1 .新课导入要注意培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.

27、2 .教学中应使学生正确地理解三角形全等的判定方法，并能用它来解决实际问题.教师应注意及时了解学生掌握三角形全等的判定方法的情况.3 .本节课，通过情景引入问题，让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件.整个探索过程，不仅是教师引导学生的过程， 同时也是教师从学生的角度考虑问题，顾及全面、充分准备好自己的心理提升.第四课时教材分析：本节课是在学生学习了SSS SAS ASA AAS 四种三角形全等判定方法的基础上，探究直角三角形全等的一种特殊判定方法“HL” .教学目标:【知识与能力目标】在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题.【过程与方法】1 .经历探索判定直角三

28、角形全等的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力.2 .利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法解决简单的问题.【情感态度与价值观】培养几何推理意识，激发学生的求知欲，感悟几何思维的内涵.教学重难点：【教学重点】理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.【教学难点】培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达.课前准备：多媒体教学过程：问题1: (1)判定两个三角形全等的方法有： 、3 2) 如图，人8,8£于点8, 口£，8£于£.a若 Z A = Z D, AB = DE,则4 ABC 与 DEF,根据b.若/A = /D, BC =

29、 EF,则 ABC 与 DEF,根据;c.若 AB = DE, BC = EF,则4 ABC 与 DEF,根据;d.若 AB=DE, BC = EF, AC = DF ,则 ABC 与 DEF,根据.(3)我们知道：满足“ SSA'条件的两个三角形不一定全等，那么满足SSA'条件的两个直角三角形(这个相等的角是直角)是否全等呢？如上图，AB XBE于点B, DEXBE于点E, 若AB = DE , AC = DF ,则RtA ABC与RtADEF是否全等？现在我们就来研究这个问题. (引 入新课)【设计意图】 说明：在复习巩固原有知识的基础上，进一步探究直角三角形全等的判定方法

30、，以培养学生分析问题、解决问题的能力.建议：教师可进一步设计如下几个问题与学 生共同探究.问题 2 任意画一个 Rt AB(C 使/ C =90° ,再画一个 RtAA<z Bz Cz ,使/ Cz =90° , Bz Cz =BG A B =AB,然后把画好的 RtAAz Bz C剪下来放到 Rt ABC上，你发现了什 么？画法：(1)画/ MC N =90° ;(2)在射线。M上取B，C，=BC;(3)以B，为圆心，AB为半径画弧，交射线 。N于点A ,(4)连接 A B，.现象两个直角三角形能重合.说明这两个直角三角形全等. 规律斜边和一条直角边分别相

31、等白两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).用几何语言表示为:在 RtMBC和 RtAAiBiC 中,ABA1B1BCB1C1RtAABCC RtAAiBiG(HL).【设计意图】1.巩固三角形的画法.培养学生的归纳、概括能力.2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边角形全等.”可以确定一个直角可以判定两个直角三问题 3:例 1 如图，ACL BC, BDL AD, AC =BD 求证：BC =AD证明：- AC± BC, BD±AD,ZC和/ D都是直角.在 RtAABC 和 R

32、t BAD 中,AB BAAC BDRtAABC 9 Rt BAD( HL)BC =AD （全等三角形对应边相等）变式 如图，已知/ ACB =/ ADB =90° ,要使 ABC BAD ,还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：()()【设计意图】1.规范使用HL”判定方法证明三角形全等的书写格式.在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用SSA”来证明.2.例题的设计在巩固新知识的同时也有效地培养了学生运用新知识解决问题的能力问题4:如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角/ ABC和/ DFE的大小有什么关系？为什么？证明：- AC±AB, DEI DF,/CAB和/ FDE都是直角.在 RtAABC 和 Rt DEF 中,BC EF,AC DF,RtAABC 9