专题3.3图形面积求最值,函数值域正当时高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

1、专题3图形面积求最值,函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：(1)求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)(2)面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在同底"或 等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长

2、度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】2 2云例1已知椭圆C:勺 与 1( a b 0)的一个顶点为0, 1 ,离心率为工6 ,直线l: y kx ma b3(k 0)与椭圆C交于 ， 两点，若存在关于过点的直线，使得点 与点 关于该直线对称.(I)求椭圆C的方程；(II)求实数m的取值范围；(III)用m表示的面积S ,并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值； 若不存在，说明理由.简析:(I)易得；椭国0守了、匕y* 斗. v* = 1(ID法一(韦达定理整体彳上入)：设ACqdJ# B(电jj,由； 一得： y m I*(3炉 +1-3 =。朋所以

3、A = j 6加r-4(3M +1) (3wr 3) > 0 ,析” < 3好十LGhn3- 32m,3V+13 + 13 妙+ 1因A, B关于过点M(OT)的直线对机 故则有V+g+1=君+炽可得；51x2 X1X2X1V2Vi2y2yi0X2x1ky2y120,可得:2m 26kmk 0,则有：2m 3k2 i i (k 0),故 12m 2 m法二（转化为弦中点力设A（冷B（巧.纭储且线段AB的中点C为&,yjj9十3/二3则: 彳 =为+ 3后凸=0,又中点C在直线AB上，则H + 3用=3,因使得点A与点B关于过点M的直线对称,则过点M的直线为：则点Ck、对+1

4、'3亡十1，满足3m3M 十 1- 3*十1-ln2阳=3M +131 j 直线1与椭圆C交于A,E两点0中点C；3 few 黑 I3二+1 ：3后+1J在椭圆内p则有（III）法一（面积转化为弦长）kxm的距离m 1k2 1S2432XiX2yi2y2,1 k22m 2m ,到 3k2 1'm ii2m 2 m2m2mi 八，口，- -一-,2上是减函数，所以面积2S无最大值.I1UULU法二（面积坐标化公式）：易得向量LULUXi, yiX2,y2 12 XiV21X)x2 yi x2| -|为 kx2 mX2kXi mXi x2XiX2m 1、12m 2 m4mS2 3

5、3 A m2 G m 2一 2 c ,1因2, m2在 ,2上均为减函数，则m2最大值.c 32c 1S2 3 m2在一，2上均为减函数，所以面积 S无4m2可得的面积S的取值范围为斜率k与截距m之间的关系；据位置点评：（1）第二小问分为两个操作程序：据对称性得到直线 关系构建直线1 斜率k与截距m之间的不等关系.点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入.实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标 准是题意韦达定理化：条件与目标均能化为交点坐标和与积的

6、形式；横坐标纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题.均可得到直线的斜率k与截距m之间的关系.构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数 m的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：构建 面积的函数关系；求函数的值域.法一利用底与高表示三角形1面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离. 法二利用三角形面积的坐标公式 S 1x1y2 x2y1| ,不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择

7、与整合.关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见.特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程.学&变式与引申：若过点的直线交椭圆于 D,求四边形D 的面积的取值范围.简解；直线MD的方程为3 二 -“一1代入椭圆可得:（标+3）储+6加=0。3=一金二,则|皿=6的+、SI ISI=舞*写手,又因.=小+|代入可得:' 号3 -T加 44）m rn8m+ 30/ 4 31m +32m'(m+ 4)427 (m4 iy (2- w

8、)+41加(m +4)e(0.9),四边形MADB的面积的取值范围为(0.3),27 (w +1)1 (2 w) 27(一酬一+'3限 + 2)=; " = = , _=回(涧+ 418m" -24 _ e：T一口？贝I减函数.w? + 4)2例2、已知椭圆与 a2上1 b2(1)求椭圆的方程;(2)点A为椭圆上的一动点点，求 ABC面积的最大值.【思路引导】(1)当8w + 192,二十y-1(4+ 4 m(rn +4)"二yj %在|不2|均为减圄数nf (在-.2上为(港斗 4)+a b 0的左、右两个焦点分别为Fi,F2 ,离心率e ,短轴长为2.

9、2(非长轴端点)由题意得b 1,再由e,-22,a2AB的斜率不存在时，不妨取S ABC当AF2的延长线与椭圆交于 B点，AO的延长线与椭圆交于 Cb2, 、一x2c 1标准方程为2喘，B 1，AB的斜率存在时ab的方程为y联立方程组y k xl22k2 14k2x2k2 2 0x1X24k2 2k22k2 22 k2 1ABk22 2 2k2又直线kxk 0的距离dkk2 1点C到直线AB的距离为2k2d *21S ABC-|ab|2d面积的最大值为2.2 2 2k 12k,k2 14 4 2k22. 2 ABC1解析：（1）由题意得2b 2,解得b 1,学&故椭圆的标准方程为1千/

10、=1（2）当直线的斛率不存在时,不妨取A当直线的斜率存在S大设直线阳的方程为1L 二 一 1：|朦立方程组f必r+ >'* = 1化简得 2k2 1 x2 4k2x2k22 0,设 A Xi, yi , B X2, y ,XiX24k22, x12k 1X22k22k2AB| .j 1 k2x1 x2 2 4x1 x21 k24k2 2k224 2k2k点O到直线kx0的距离k2 1Ik2女/ 2 学& k2 1因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2 d2kk2 1, S 一° ABC-|AB| 2d2 22k2 12k2 12kk2 1X1 x2

11、4k2 2k21,x1X2AB一 k2 1r , 一，272 '. 1，再求得点 C到直线AB2k 1的距离为2dk2 1Saabc2ab例3、已知点A2d2 打 2kk22 1(4, 4)、B (4,2,24 4 2k2 1 24),直线AM与BM相交于。点M,且直线J2 MBe面积的最大值为AM的斜率与直线 BM的斜k2 k2 1222k 12 2 1 TT 工4 4 4 2k2 1综上，ABC面积的最大值为 J2 .学&【点评】 本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想

12、，并考查运算求解能力和逻辑推理能2力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为 y2 1; (2)利用分类与2整合思想分当AB的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得率之差为-2,点M的轨迹为曲线 C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2) Q为直线y=-1上的动点，过 Q做曲线C的切线，切点分别为 D、E, AQDE的面积S的最小值.【思路引导】(I )设M x,y ,由题意得 上2 ,化简可得曲线 C的方程为x2 4y x 4 ； ( n )x 4 x 4设Q m. 1 ,切线方程为y 1 k x m ,与抛物线方程联立互为 x2 4kx 4 km 1

13、 0,由于直线2.-与抛物线相切可得0,解得x 2k ,可切点 2k, k ，由k= O ,利用韦达定理，得到QD QE ,得到 QDE为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值.试题解析：(1 )设MG,以由题意可得 二-=-2, 工+4 工一4化为x2=4y»二曲线C的轨迹方程为xMy且(分"联“£, '',化为耳，-他刘4 (kmD =0)F=4j，由于直线与抛物线相切可得a-0,即妙-3- 1-0.二兑二-4kxTU解得工=独.可得切点“，k"p由妙一km-H.，ki*kin； ki*ki= - 1.，切线 QD

14、J_QE.QDE为直角三角形，5二;QD QE|.2令切点(”，到Q的距离为d7贝“d(2k- m) 2-<k2- km) -m二 + Ckm-2) ?，4 (妙一km) -ttf-正加Tkm+4H (4-id;) Cki-Dj二|QD=J(4 +加以用|QE =44丁丁)(月；),',S (4+m”) J出十%隹十2 =以4十点)占不讯当mH时，即Q (0, - D时，aQDE的面积S取得最小值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解.【点评】 本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式 、二次函数的性质

15、等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键.221例4、已知椭圆C:x2 -y2 1(a b 0)的焦距为2,离心率e为一. a2 b22(i)求椭圆C的标准方程_122(n )过点P -,1作圆x y1一的切线，切点分别为 M、N，直线MN与x轴交于点E ,过点E作直线l交 2椭圆C于A、B两点 点E关于y轴的对称点为 G,求 工AB面积的最大值【思路引导】一 1(I)由椭圆的焦点为 2,离心率e为一，求出a, b,由此能求出椭圆的标傕万程

16、；(n)2由题意，得 O、M 、P、n四点共圆，该圆的方程为21X 一42立，得O的方程为16221x y , 直线MN 的方程为x2y10, 设A oy ,B x2,y2,则21S gab2|ge |yiy2yy ,从而S gab取大，yiy2就最大，可设直线l的方程为x my 1,x my 12 一 2由x2 y2 ，得3m 4 y 6my 9 0 ,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出 143GAB的面积的最大值c 1试题解析：(I)由题意，2c 2,解得c 1,由e - ,解得a 2;a 222所以椭圆的标准方程为 xy1.43(II)由题高得尸、N四点共圜该圆的方程工一；V

17、 =)< I 2J 16又圆。的方程为/十/二;故直线MN的方程为X+2J-U0,令F = 0,得工=1,即点支的坐标为(L0),则点区关于)轴的对称点为GI-L0).设d(百队).题孙乃)j则Xtus =|上】-g=M -的| j因此鼠&刀最大，卜I -丁就最大, 由题意直线F的斜率不为零，可设直戮的方程为1二呼十1,x= wv + 1由3+W=1所以M+巧=?7。以=3m十4-93*十4又直线l与椭圆C交于不同的两点，则220,即 6m36 3m2 40,m R,得(3"明,+ 4+ 6 明9r- 9 = 0,12m2 13m2 4S GAB 2 GF | | y1

18、y2 | | y1¥2)yY1y24y1 y212.m2 112t4 t 1, S GAB2-2T令 t m2 1,则3m 4 3t 11t &t令ft t3,则函数f t在,上单调递增，t3即当11时，f t在i,上单调递增，因此有f t f i所以6 gab 3,当m 0时取等号.学&故GAB面积的最大值为3.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于又t题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据

19、函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题(2)就是用的这种思路，利用函数单调法GAB面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式:2(1)椭圆：设P为椭圆2 a2 y b2b 0上一点，且 F1PF2,则 SVPF1 F2b2tan -2(2)双曲线：设P为双曲线2x2a2 y b2a, b 0 上一点，且 F1PF2b2tan一 2【新题展示】1.【2019】广东江门调研】在平面直角坐标系。工丫中，A(-2r0), P1为不在x轴上的动点，直线PA、PH的1斜率满足.； t ri r ji4(1)求动点P的轨迹的方程;(2)若”3,0),

20、是轨迹上两点，小=】|,求ATMN面积的最大值.【思路引导】1(1)设力，将=一利用斜率公式进行化简整理即可得点P轨迹方程；(2)由斜率为1,设直线MN4的方程与椭圆联立，写出韦达定理，计算弦长|MN|和点T到直线MN的距离，表示出三角形的面积，利用导数即可求出面积最大值.【解析】(1)设p(xM为轨迹上任意一点，依题意,整理化简得:-+ ¥ = i(y * 0) 4(2)设 MM：y = k + b，得 x2 + 2bx + (b? -1) = 0 4A = S - b >08设则 xj% =-|mn|三立凡-引=上到直线MN的距离d二J 122+ 3| |-2,TMN的面积

21、 S = -x |MN| 其 d = -b =gb + 3) (S-b )设 f(x) = (x + 35,3-2(x + 3)(x -l|(2x + 5)解r(xko,得1 或".一或x 32因为G = 5-b',Q，即3 = 0有且仅有一个解x*lTMN面积的最大值216H(i + 3H5 1)-y2.12019四川成都实验外国语学校二诊】已知椭圆£+1 = ig>b>o)的左右焦点分别是 a2 b2线/= 4/与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆。在第一象限的交点，且满足 /七|=1.(1)求椭圆。的方程；(2)过点片作直线1也椭圆。交于4R两

22、点，设，片=若AL2,求面积的取值范围.【思路引导】(1)由题意可得点 P的坐标为,然后求出,根据椭圆的定义可得a = 2,进而得到M = 3 ,于是可得椭圆的方程.(2)由题意直线1的斜率不为0,设其方程为，=my-1,代入椭圆方程后结合根与系数的关系得到.,然后通过换元法求出12 Gl 士 + 1的范围即可.【解析】(1)由题意得抛物线y2的焦点坐标为F式准线方程为X = -1|.，点又点P在第一象限内,，点P的坐标为5P到直线x = -l的距离为-,从而点P的横坐标为J12口 = |呻| + |尸0 一1 iJ J,.椭圆二的方程为亍+ g(2)根据题意得直线f的斜率不为0,设其方程为x

23、my-lx = my-1由)/ / _ 消去工整理得( 3m2 + 4)尸- 6nly -9 = 0I 十-1显然 A = 36m2 + 360扪2 + *=144(n? + 1) > 0 .设监.当），风巧X），则6力+力=23/ + 4启力-23m +4.AFAB,即乂"-I= &勺 + 1声£)代入消去得4m上(A - 1)3m2 + 414m-2E%'2 120 + 1昌帆7d =bi-% =：该+力)一-仍= 2、3m* + 436 =t 1,125121,则人。在|1,坐上单调递增,53内口/歹”胃），即4E3E +15129x58即AHB

24、Q面积的取值范围为33.12019江西南昌一模】如图，椭圆=1（。5。）与圆。：修十2=1相切，并且椭圆月上动点与圆。上动点间距离最大值为(2)过点”(1,0)作两条互相垂直的直线|，i，,，4与E交于人占两点，与圆。的另一交点为M,求面积的最大值，并求取得最大值时直线 ，的方程.【思路引导】2 +jS(1)由题意可得b= 1 , a- 1 = 一 ' ,即可得到椭圆的方程；(2)设A(X1,yi),B(x2,y2),根据121211,可设直线11, 12的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|,即可得到三角形 ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值.

25、【解析】(1)椭圆E与圆O： x2+y2=1相切，知b2=1；又椭圆E上动点与圆。上动点间距离最大值为2 +业T,即椭圆中心O到椭圆最远距离为得椭圆长半轴长：J6 口口 03一，即口 =5；La士所以椭圆E的方程:(2)当11与X轴重合时，12与圆相切，不合题意.当11，x 轴时，M (1, 0), 11： x=1,当11的斜率存在且不为0时，设11： xAB = 3,此时 5 3 ABM = - x x2 =12.3三.(6分) kJ=my+1 , mO,则与二常=一嬴尸+1产=my + 1,(X1, y1)，B (X2, y2),由芷 + 2=1 得，(2m2+3) y2+4my - 1

26、= 0,34m所以2mz + 3所以优印+加丹%-Ml =因为历i毕a ASM 即1用川(I)求证：点C的纵坐标是定值;所以s工2 = 2py(p>0)于B、C两点，C是AB的中点.(II)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得ABMN的面积最大.12 2y+D 旷-y = o2m,解得，讨二m +1所以综上，那BM面积的最大值为此时直线li的方程为H=±«y + 1 22的下顶点，过 A的直线l交抛物线MN =所以当且仅当2m = + 一时取- 2专所以S A ABM4.12019浙江温州2月适应性测试】如图,A为椭圆三十沙2二1【思路

27、引导】(I)根据点在抛物线上设出B的坐标，可表示出 C的坐标，代入抛物线方程求得纵坐标.(II)先利用条件得到=联立直线小与椭圆的方程，求得弦长及j到1MN的距离，写出面积的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可.(I )易知g-1),不妨设 成匕，则£百产;印)代入抛物线方程得:(，二得:，？ = 4p，=蛆4> =；为定值，24P冲 上(n ) 丁点。是/IB中点，不妨记 m=-:，则 f ： y mx + 2代入椭圆方程整理得：(2m + Bmx + 6 = 0,8mi + x2 - -r 2m，+1阳M=不1 +冷1=2乂41+ m*2, |4到MN的距离d，;

28、M +1所以 5MMM =U!421 2m - 3 + -7*Jam2 - 3得而=5,所以心918q 7 'm /r 9 p =-4145.12019福建厦门第一次(3月)质量检查】已知0为坐标原点，F为椭圆C 二总二1的上焦点，C上一点4 y在北轴上方，且|。川=耳.(1)求直线'F的方程；(2)"为直线AF与C异于力的交点，。的弦M”,小修的中点分别为匕Q,若0PQ在同一直线上，求A0MN面积的最大值.【思路引导】(1)设明跖)仇0),可得/+访=/,恒+也1，求出A点坐标，即可得到直线 M的方程； ,49(2)利用点差法可得 "也=；又因为O,PnQ

29、在同一直线上，所以 %p = kg,所以、= 5 = 设出直 线MN:y=$ + m,与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示AUMM面积，结合均值不等式即可得到结果.【解析】解法一：(1)设做。比)俏0),因为|0阂二凋,所以屉+北=4又因为点火在椭圆上，所以由解得:又因为尸的坐标为(0仆5),所以直线为F的方程为尸=- $ +或1y = ；£ + «5 .(2)当月在第一象限时，直线 八4y=_1 + , iui+ = 1设川(勺必)，做勺，为)，则49十 = 149两式相减得:（尤1 +巧）g -砧 仇+力处1 -力）+= 0因为M中过原点，所以7, E =工，即%/“=

30、，9同理：处B*0Q 二 *又因为。RQ在同一直线上，所以 总产”,所以跖广也=； lb1设直线 MM:y =- -x + m,x y十 = 1491y =X + m2由韦达定理得:2M-18 v, 1为一 r所以|MN| = / 十厨巧同】十J3 + 4)J 4/仃=¥410 - m又因为。到直线MN的距离 问 _ 2d =1!=即1J1 + 4atWM = -|WJV|d = dm|io_m2 < = 3l55 Z当且仅当 苏=10_/，即血=士小时等号成立,所以AOMN的面积的最大值为3,当的在第二象限时，由对称性知,AOMN面积的最大值也为3,综上，AGMN面积的最大值

31、为3.解法二：（1）同解法一;（2）当点/在第一象限时，直线x y+ = I491y =-尹卢，得:5工-2-8 = 0,则|?!B中点Q的坐标为（回，竺）5 10当直线MN斜率不存在或斜率为零时， QRQ不共线，不符合题意;当直线M/V斜率存在时，设MM：y = kx + m（kO）, W（勺乎工）得：(9 + 4k2)x2 + iikmx + 4m2 - 36 = 0,由 A > Q ,得执工4£工 + 9y = kx+m由韦达定理,4M上XZ = ?9 + 4/c2得：Sx2 - 2mx + Zm2- 18 = 0，由A>0 ,得一%® < m &l

32、t;16l18m所以,9+4k因为O,P,Q在同一直线上，所以,解得k ='所以2m2m£ - 18七=亍*=410 v m V '10所以 |MN| = Ji 十 k2ki -r2| =2： 3j5 .Xj) - 4x jX 2 tziL|10 - rn 5又因为。到直线MN的距离为mi 2, =ml 1 + 4-5)z + 253,.加10-加当2 = 5,即m二士巡时，|AOMN面积的最大值为 3,所以AOMN面积的最大值为3,当在第二象限时，由对称性知，AOMN面积的最大值也为 3,综上，AUMN面积的最大值为3.工 2 V216.12019湖南怀化一模】设椭

33、圆 二+ '= 1(n占 0)的离心率椭圆上的点到左焦点的距离的最 a b上大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆。的外切矩形 囤?G?的面积闾的取值范围.【思路引导】(1)根据题意求出a.儿c,进而可求出结果；(2)当矩形Hbc”的一组对边斜率不存在时，可求出矩形/bcd的面积；当矩形从日。四边斜率都存在时，不防设曲 C。所在直线斜率为k,则斜率为设出直线网?的方程为安打+ “ 联立直线与椭K圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【解析】(1)由题设条件可得 : = ；，口+匚=3,解得a = 2 ,匚=1#=M-d = 3,所以椭圆。的方程为+ 二1 43(2)当矩形

34、,BCD|的一组对边斜率不存在时，得矩形 第CD的面积g=即号当矩形/BCD四边斜率都存在时，不防设 AB, CD所在直线斜率为k,则BC|,耳口斜率为设直线AB的方程为|y二kr十与椭圆联立x: y2 _ 可得十 = 1 (43(4# + 3)x2 + 4m2-12 = fl|,由,二(Skm)2 - 4(4k2 + 3)(4mz - 12)=。，得m* = 4必之 + 3显然直线G)的直线方程为y = kx-m,直线CD间的距离_ 2Ml _ J 7K2 _ #十 3心=T ? = 2=2，同理可求得BC, AQ间的距离为所以四边形/BCD面积为+ 25/+ 12二4= /12+ 也、 k

35、4 + 2 + 11 、12 +1二4 孱工1上)<4 12 + 7=14 (等号当且仅当K二±1时成立)J廿三,4又$AB8 >%短=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是J 27. 2019江西上饶重点中学联考】已知椭圆C;- + -=l(a>b> 0)的短轴长等于2福，右焦点F距C最远处的距/ b离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设。为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点(A、B不在X轴上)，若OE = CA + 0日，求四边形AOBE面积5的最大值.【思路引导】(1)由已知得=3声+ £ = 3,即可得椭圆方程.(2)由题意设bc = *+

36、L与椭圆方程联立得匕，¥山，代入四边形面积/配-丫化简求最值即可.【解析】(1)由已知得=3, a + c工J =二所求惟圆C的方程为土十七二14 3(2)因为过F(10的直线与C交于A、3两点(A. B不在乂轴上)，所以设Lx = tv + L.x = ty + 1lx2 y2 =（3t2 + 4）y2 + 6ty - 9 = 0 4.3设 N：k.力)、B(m2、y2),则-GtJt + 4| v Tvlv2 =-3tZ + 4t OE = OA + 0B所匚tAOBE为平彳亍四边形,令 JF + l m n 1由对勾函数的单调性易得当8.12019安徽马鞍山一模】已知椭圆巾=1

37、即1 = 0时.E的方程为,- + =植 b 0）,-2 b2离心率U二,且短轴长为4.2(1)求椭圆E的方程;已知闻2,0)网-2叫,若直线l与圆/+ ¥。4相切，且交椭圆E于C、D两点，记A ACD的面积为当，记心BCD的面积为Z,求的最大值.【思路引导】(1)根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；Q)设直线l的方程为¥ =g+刖，并将直线 l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦先利用原点到直线l的距离为2,得出m与k满足的等式,达定理，计算出弦 CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离与、,并利用三角形的面积公式求出5户

38、2的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出a = 4b = 2二21(1)设椭圆E的焦距为椭圆E的短轴长为2bH4，则b = 2由题意可得e =-a,b =,2b = a因此，椭圆E的方程为+匚=16 4(2)由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零,不妨设直线l的方程为v = kx + m(k*0),设点口4%)、口的,V，由于直线l与圆/ + ¥2 = 4,则有|m|=2,所以, k* + 1|2k + m|点A到直线l的距离为4 = 厂，点B到直线l的距离为d;=* +1| * 2k + iti| - m|由弦长公式可得所以,S1S2将直线l的方程与椭圆E的方程联立,消去 y 并

39、整理得41? +.由韦达定理可得XL+«2 -8km4k + 11 1= -|CD| - d. - -|CD| d2 i 24121 192(1 + k3) |4k?-m7|-|CD| .不科2 = -K441 192k (1 + k > =-X 1+ k1(4r + i)l + k5 4192k2192k2192192192二-=S j-= 12献 + 以 16/+l + 8k* J J2 1*k J k2当且仅当16 之:时，即当k=±1时，等号成立. P2因此，：SR上的最大值为12.22的右焦点F为抛物线/ = 4*的焦点，P ,9.12019山西晋中1月适应

40、性考试】已知椭圆 4：卜+ 二1归>b>0> |a2 b2Q是椭圆C上的两个动点，且线段 PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若。P_LOQ,求ACPQ面积的最小值.【思路引导】(1)根据抛物线和椭圆的几何性质，求得 日上的值，即可得到椭圆的标准方程；(2)当P, Q为椭圆顶点时，易得jfiOPQ的面积；当|P, Q不是椭圆顶点时，设直线CJP的方程为v 值# # 0),联立方程组，利用根和系数的关系，以及弦长公式，求得 10P ,同理求得|00),得到面积的表达式，利用基本不等式，即可求解.【解析】(1) .一 =公的焦点为“，椭圆C的右焦点F为口，即c

41、= l,又|PQ|的最大值为4,因此|PQ2a = 4,= 4,- ci = 4 -1 K 3,22所以椭圆C的标准方程为- + - = 143(2)当P, Q为椭圆顶点时，易得 AOPQ的面积为菖值=、反2当P, Q不是椭圆顶点时，设直线 0P的方程为：由OP OQ,得直线0Q的方程为：y =- -X ,所以所以1| 也，I)2小寸巴3 = 6尿嬴E?所以k3 10<s-(kz+ I)2 412厂，所以亍框综上，&OPQ面积的最小值为12710.12019广西柳州1月模拟】已知点R-L 0,直线|：区*-4,P为平面内的动点，过点P作直线I的垂线,垂足为点 M,且竹-/代)俨*

42、 /血)=0.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点九作直线I(与|x轴不重合)交C轨迹于A, B两点，求三角形面积OAB的取值范围.(0为坐标原点)【思路引导】(1)处理向量等式，代入向量坐标，计算方程，即可。(2)分直线斜率是否存在考虑，设出直线 l的方程,代入椭圆方程，用 m表示三角形面积，换元，结合函数性质，计算范围，即可。【解析】(1)设动点P(工力,则H(T,端 由PF-J叫|PF +严)=0化简得(2)由(1)知轨迹C的方程为Y4333=1，当直线I斜率不存在时AbL-), B(-L-)132人口&尸-|AB| ,明=-当直线中斜率存在时，设直线I方程为x = mv =

43、 l (m*0),设A风片J6在IL+TI上单调递增,+，+ SiOAB，6综上所述，三角形304B面积的取值范围是(0-1令 f= 9t/+6,则 f'=9 ,当 t>l 时，tt1-f(t) = 9t + - + t16,【同步训I练】2 X1.已知椭圆C :-2a2-ab 0)的短轴长为2,离心率为kxm与椭圆C交于A, B两点，且线段 AB的垂直平分线通过点0,(1)求椭圆C的标准方程;l的方程.(2)当VAOB (O为坐标原点)面积取最大值时，求直线2y2 1【答案】(1) 土2【思路引导】(1)由已知可得a2b2 ,2a b22 ,解出即可（2）2,2 cx1，y1

44、,B X2,y2y,联立方程x22kxm,写出韦达1,定理，由SVAOB1 .31ABi dAB1 k2XiX22 1k2、4k2 2m2 21 2k2表达式然后根据函数SVAOB2 .求得面积最大值从而确定直线方程c 6思=_a 2试题解折；a由已知可得 2b = 2t解得&2=1,故椭圆c的标准方程为0+丁 = 1.F =旧+犯设/（不眄）1仍"联立方程/ T+ F = L消去 J,得口+2M)/+4协 +2?mj-2 = 0 .当d=S（苏一即2"酬1时J汨+必=r f 汨曲=r一 1+叫，,1+ +所以士受=三巴.”士竺=_21 +工片 21 +址生化工0时

45、，线段AB的垂直平分线显然过点0二 处髓=二回1ml = -H1 , 一一时，取到等号2因为掰1：0) 0(0.1),mae(0,1)SVAOB2业2，当m20时，因为线段AB的垂直平分线过点0,yy2所以-X1X221一,化简整理得2 k k由产2 12k2 12m, 得 0 m ,m 2.学 &又原点O到直线AB的距离为df ,1 k而谑国一引三2后m正话亘1 + 2而2好+ 1= 2m且0<m<2二则S磁=：J4明2切工1 0明2,所以当帽=11即A?=弓时j S=s且取得最丈值'4Ja综上S金的最大值为当 ,此时直线F： y = jt+lK>, = -

46、x+laEj = 1 2-2【点评】 先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式，|AB| Ji k2|x1 x2|,然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.2222.已知抛物线E:y 8x,圆M:x2 y 4,点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求抛物线C的方程；(2)点Q Xo,yo Xo 5是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A,B两点.求QAB面积的最小值.25【答案】(I ) y2 4x; ( n ) 25. 2【思路引导】(I )

47、由题意可得，设中点坐标 P x, y ,表示出点N 2x, 2y ,将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线C的方程；(n)由题意可设切线方程为：y yo k x刈，进而得到切线与 x轴的交点为x0 丛，0 ,由圆心到切线方程的距离为半径，得到x2 4x0 k2 4y0 2x0y0 k y2 4 0,由韦达定理，可得到S/PAB的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值试题解析：（I ）设P x, y ,则点N 2x, 2y在抛物线y2 8x上，学&所以4,二16工，即/二40所以曲线C的方程为二/二4工.（口）设切线取罡为；F-更二川兀一专），令广0,解得工二凝一甘所以切线与署轴的

48、交点为近一学,0 ，圆心到切线的距离为4 =二印+M-/)，=4伊+1), 整理得士-4%）M +（4/-2/先六十只-4 =。，设两条切线的斜率分别为品色,则 klk22xoyo 4y02xo4xok1 k2y2 4-SVQAB八2Xoyk12xo 12xo 1xo 1xo122t?2 x4%2xo xoxo 14,，则f tt在4,上单增，f25252，25VQAB面积的最小值为252【点评】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题, 切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元2 x3.已知椭圆G：

49、-2a次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值4 1（a b 0）的长轴长为2/2，左焦点F 1,0 ,若过点B 2b,0的直线与椭 b2圆交于M , N两点.(1)求椭圆G的标准方程；(2)求证：MFB NFB(3)求FMN面积S的最大值.(2)见解析2(3)42【答案】(1) 土 y .8 1 2k k2 1元函数S 一 |-,利用换元可化为一元二次函数：S J 2 1 31， t 12k2, 1 2k2, t 48根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值试题解析：':椭圆5 + £ =的长轴长为焦距为%即船=2应2 = 2二23

50、二2 一二椭图的标准方程为+/二1.2【思路引导】(1)由椭圆几何意义得2a242, 2c 2 ,解得 2b 2 (2)即证：kMF kNF0,设 M X1,y1，N X2,y2 ,X x2 2MN直线方程为y k x 2 ,即证2 0 ,联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证(3)XI 1 x 1_1 _1l.H说M(甬j则占4占二1+2随一2%均二 1十2七利用二角形面积公式得S2-FB|yy2|,再利用MN直线方程得S-|k|x1x2|,利用弦长公式可得一kMFkNFyiy2x11x2 1k x1 2x1 1k x2 2x2 1x1x2 2X 1 x 1(3) Sy21, 2lkl x1x2_ 228 1 2k k2 21 2k2令t1#则s卬小当k214，2(满足k6122),所以