基本不等式非常全面

1、根本不等式专题辅导一、知识点总结1、根本不等式原始形式1假设 a,b R,那么 a2 b2 2ab22假设 a,b R,那么 ab ?一b-22、根本不等式一般形式均值不等式假设a,b R* ,那么a b 2,ab3、根本不等式的两个重要变形1假设 a,b R*,那么 ab ab222假设a,b R*,那么ab 32总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中,当且仅当a b时取“二4、求最值的条件：“一正,二定,三相等5、常用结论11假设x 0 ,那么x - 2 当且仅当x 1时取 x“=12假设x 0 ,那么x -2 当且

2、仅当x 1时x取“=3假设ab 0,那么a b 2 当且仅当a b时 b a取“=2 24假设 a,b R,那么 ab ab2 a一b-22225假设a,b R,那么疝3 /a b1122a b特别说明：以上不等式中,当且仅当 a b时取= 6、柯西不等式1 假 设 a,b,c,d R , 那 么22222(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22假设 a1,a2,a3,bl ,b2,b3 R,那么有:/2222.2.22(a1 a2 a3 )(b2b3 ) (a1bl a2b2 a3b3)3设a1,a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数,那么有22(a1222,2, 2、2an

3、 )(bib2bn ) (a,bi a?danbn)二、题型分析题型一：利用根本不等式证实不等式1、设a,b均为正数,证实不等式：JOE a13、4、(1a,b,c 为不相等的实数b22 cab bccaa bc 1,求证：a2b2a,b,cR, 且 aba)(1b)(1c) 8abca,b,cR, 且 ab1 ,1/ c1 -一 1182 c6、2021年新课标n卷数学设a, b, c均为正数,且a b(1) ab bc ca理选修45:不等式选1讲1,证实:2/、abn)bc7、2021年江苏卷数学 选修4 5:不等式选工讲a b 0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b题型二：利用不等式

4、求函数值域练习：1、x1、求以下函数的值域211y 3x22y x(4 x)2x25一,求函数y 4x 2 的最小值;44x 5一113y x (x 0)4y x (x 0)xx52、x ,求函数 y 4x 2 的取大值;44x 5题型三：利用不等式求最值一凑项4题型四：利用不等式求最值二凑系数1、x 2 ,求函数y 2x 4 的最小值;2x 41、当口?工?4时,求y x(8 2x)的最大值;艾式1:x 2 ,求函数y 2x4的最小值;2x4艾式2:x 2 ,求函数y2x4的最大值;2x4变式1：当口?工4时,求y 4x(8 2x)的最大值;3变式2：设0 x -,求函数y 4x(3 2x)

5、的最大值.2、假设0 x 2 ,求y vx(6 3x)的最大值;变式：假设0 x 4 ,求y , x(8 2x)的最大值;3、求函数y 12x 15 2x(-2x )的取大值;2提示：平方,利用根本不等式变式：求函数y 44x 3 11 4x(- x U)的最大值;44题型五:巧用“1的代换求最值问题1、a,b0,a2b1,求t1 a1的最小值；b法二：艾式1:a, b0, a2b2,求t11,一1 -的最小值;a b艾式2:x, y0,- x8y1,求xy的最小值；11变式3：x, y 0,且一一 9,求x y的取小值.x y题型六：别离换元法求最值了解1变式4： x, y 0 ,且一 x9

6、4 ,求x y的最小值; y1、求函数yx2 7x 10(x1)的值域;x 1变式：求函数yx2 8 ,(x 1)的值域;x 1x 2 一 一2、求函数y 的最大值；提示：换元法2x 5变式5:111假设x, y 0且2x y 1,求一一的最小值；x y2假设a,b, x, y R且a b 1,求x y的最小 x y值；变式：求函数.x 1y 的最大值;4x 9变式6：正项等比数列 an满足：a7 a6 2a5,假设存14 .一 .在两项am,an ,使得Jaman 4al,求一 一的取小值； m n题型七：根本不等式的综合应用3、x, y 0, x 2y 2xy 8,求 x 2y 最小值;1

7、、log2 a log2 b 1,求 3a 9b 的最小值2、2021天津a,b 0,求1 1 27ab的最小值; a b变式1： a, b 0 ,满足ab a b 3 ,求ab范围；变式1：2021四川如果a b 0,求关于a,b的表达11式a 的取小值;ab a(a b)一 , 一、 一 111,、变式 2：2021 山东x, y 0 , 一,求 xy2 x 2 y 3最大值；提示：通分或三角换元变式2：2021湖北武汉诊断,当a 0,a 1时,函数y loga(x 1) 1的图像恒过定点 A,假设点 A在直线mx y n 0上,求4m 2n的最小值；变式 3：2021 浙江x, y 0,

8、 x2 y2 xy 1,求 xy最大值；4、 2021年山东理设正实数X, y,Z满足X2 3xy 4y2 z 0 ,那么当过取得最大值 z一 2 1 2时,一 一 一的最大值为x y zA. 0 B. 1C. 9 D. 34提示：代入换元,利用根本不等式以及函数求最值题型八：利用根本不等式求参数范围1 a、 一1、2021 沈阳检测x,y 0,且(x y)( -) 9恒 x y成立,求正实数 a的最小值； 一 11 n .,.2、x y z 0且恒成立,如果x y y z x zn N ,求n的最大值；参考：4提示：别离参数,换元法变式：设x,y,z是正数,满足x 2y 3z0,求亡的xz最

9、小值;1 4变式：a,b 0满那么1 4 2,假设a b c恒成立,a b求c的取值范围；实用文档.题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b(a ,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad bc时等号成立)c d假设 a,b,c,dR ,那么(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)Va2 b2 vc2 d2 ac bda b(a ,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad bc时等号成立)c d(2)Ja2 b2 7c d2 ac bda b(a,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad bc时等万成立)c d(3)(a b)(c d

10、) ( . ac . bd )2a b(a,b, c, d 0,当且仅当一 一；即ad bc时等万成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立)4、三维柯西不等式假设耳鼻自由也也 R,那么有：z 2222,2,22(aa2a3 )(由b20 ) (aQ a2b2 03b3)(ai,b R,当且仅当曳 生 鬼时等号成立) b1132b35、一般n维柯西不等式设ai,a2, 冏与b也,bn是两组实数,那么有：题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y,z R,假设 x2 y2 z2 4,那么 x 2y 2z的最小值为 时,(x,

11、y,z) 析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2)2 224 9 36x 2y 2z最小值为 6此Y EH飞2、设 x,y, z R , 2x y 2z 6 ,求 x2 y2 z2 的最小彳t m ,并求此时x, y,z之值.,、,424、Ans : m 4;(x,y,z)(-,-,-)3333、设 x, y,z R , 2x 3y z 3,求 x2 (y 1)2 z2之最小值为,此时y 析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 022(a1 a22、22an ) (b1b2.2. z , 、2bn )(aba2b2an bn)(ai,b R,当且仅当亘生 bi b2员时等号成立) bn4、2021 年湖南卷理a,b, c ,a 2b 3c 6,那么a2 4b2 9c2的最小值是