等腰三角形的存在性问题解题策略

1、中考数学压轴题解题策略（1）等腰三角形的存在性问题解题策略挑战中考数学压轴题的作者上海马学斌专题攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA=BC,CA = CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合， 可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.例题解析例？ 如图1-1,在平面直角坐标系 xOy中，已知点D的坐标为（3, 4）,点P是x轴正半 轴上的一个动点，如果 DOP是等腰三角形，求点 P

2、的坐标.图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形DOP: DO=DP, OD = OP, PO=PD.当DO = DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点 P,此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为（6, 0）（如图1-2）.当OD = OP = 5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点 P（5, 0）（如 图 1-3）.当PO=PD时，画OD的垂直平分线与 x轴的正半轴交于点 P,设垂足为E（如图1-4）.,OE 3525在 RtOPE 中，cos/DOP=二,OE=，所以 OP=. OP 526此时点P的坐标为（25,0）.6图1-2图1-3图1-4上

3、面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P,其中和画好图就知道答案了，只需要对进行计算.代数法先设点P的坐标为（x, 0）,其中x>0,然后罗列 DOP的三边长（的平方）.DO2 =52, OP2=x2, PD2=(x-3)2+42.当 DO = DP 时，52= (x-3)2+42.解得 x=6,或 x=0.当x= 0时既不符合点 P在x轴的正半轴上，也不存在 DOP .当OD=OP时，52= x2.解得x=±5.当x=5时等腰三角形 DOP是存在的，但 是点P此时不在x轴的正半轴上(如图 1-5).当PO = PD时，x2=(x 3)2+42.这是一

4、个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义 是两条直线(x轴和OD的垂直平分线)有且只有一个交点.代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验.例？ 如图2-1,在矩形ABCD中，AB=6, BC = 8,动点P以2个单位/秒的速度从点 A 出发，沿AC向点C移动，同时动点 Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移 动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动. 在P、Q两点移动的过程中， 当APQC 为等腰三角形时，求t的值.图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中， PQC的6个元素(3个角和3条边)中，唯一 不变的就是/ PCQ的大小，夹/ PCQ的两条边 CQ

5、 = t, CP=10-2t.因此 PQC符合“边 角边”的解题条件，我们只需要三个/ C就可以了，在/ C的边上取点P或Q画圆.工运图2-2图2-3如图2-2,当CP=CQ时，t= 10-2t,解得t =如图2-2,当QP = QC时，过点 Q作QMLAC在 RtQMC 中，cos/QCM=CM- =Z15 CQ t图2-410（秒）.3于 M,则 CM=1 PC=5t .225门,解得t =一（秒）.9如图2-4,当PQ=PC时，过点 P作PNLBC于N,则CN.在 RtAPNC 中，COS/PCN =4 CN;t5 CP 10-2t,解得t =80(秒).21PCQ,使得画图简这道题中，

6、我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的/ 洁，计算简练.例？ 如图3-1,直线y=2x+ 2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴 上的一个动点，直线 PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果 APQ是等腰三角形，求点 P的坐标.图3-1【解析】我们先用代数法解这道题.由 y=2x+2 得，A(-1, 0), B(0, 2),所以 OA=1, OB = 2.如图 3-2,由于/ QPA=Z ABO,所以 OP ： OQ = OB ： OA=2 ： 1 .设点Q的坐标为(0, m),那么点P的坐标为(2m, 0).因此 AP2=(2m+1)2, AQ2=m2+1, PQ2=m2

7、+ (2m)2=5m2.当AP = AQ时，解方程（2m + 1）2=m2+1,得m = 0或m=-4 .所以符合条件的点 P3不存在.当PA=PQ 时，解方程(2m+1)2=5m2,得 m = 2 士 J5.所以 P(4+2石,0).当1QA = QP 时，解万程 m2 + 1 = 5m2, 得m = ±3.所以 P(1,0).图3-2我们再用几何法验证代数法，并进行比较.如图3-3,在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等“，可知/ QPO的大小是不变的，因此 PQA也符合“边角边” 的解题条件，我们只需要三个/P,点P在点A的右侧，暂时不画 y轴（如图3-4）.如果

8、AP = AQ,以A为圆心、AP为半径画圆，得到点 Q （如图3-5）.因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出现了，点A（-1, 0）怎么可以在y轴的右侧呢?当PA=PQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，得到点 Q,再过点Q画y轴.此时由2m+1 = J5m,解得m=2 + J5,所以P(4+275,0)(如图3-6).请问代数法解得的点P(4 -275,0)在哪里？看看图3-7就明白了.当QA=QP时，点Q在AP的垂直平分线上，由于A(-1, 0),所以P(1,0)(如图3-8). 我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便.例？ 如图4-1 ,已知正方形 OABC的边长为2,顶点A、

9、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P(0, m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长线于点 D.当 APD是等腰三角形时，求 m的值.【解析】点P(0, m)在运动的过程中，4APD的三个角都在变化， 因此不符合几何法 “边 角边”的解题条件，我们用代数法来解.因为PC/DB, M是BC的中点，所以 BD = CP=2- m.所以D(2, 4-m).于是我们可以罗列出 APD的三边长(的平方)：AD2 =(4 -m)2 , AP2 =m2 +4 , PD2 =22 +(4 -2m)2 .当 AP = AD 时，(4 m)2 =m2+4 .解得 m=3 (如图 4-2)

10、.2当 PA=PD 时，m2+4 =22 +(4 2m)2 .解得m=4 (如图4-3)或m =4 (不合题意，舍去).3当 DA = DP 时，(4 m)2 =22 +(4 2m)2 .解得m=2 (如图4-4)或m =2 (不合题意，舍去).3综上所述，当 APD为等腰三角形时，m的值为3 , 4或2.233图4-2图4-3图4-4其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：如图4-2,当AP = AD时，AM垂直平分 PD,那么 PCMA MBA.所以及_MB_1.因此pc-1, m-3.CM BA 222如图4-3,当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上.所以DA= 2PO.因此

11、4 -m =2m .解得m=4 .3BC边上的一个动点,例？ 如图5-1 ,已知 ABC中，AB = AC=6, BC=8,点D是点E在AC边上，/ ADE=/ B.设BD的长为x,如果 ADE为等腰三角形，求 x的值.图5-1【解析】在 ADE中，/ ADE=/B大小确定，但是夹/ ADE的两条边 DA、DE用含 有x的式子表示太麻烦了.本题的已知条件/ ADE = /B = /C非常典型，由于/ ADC = /ADE + /1, / ADC = ZB+Z 2, /ADE = /B,所以/ 1 = /2.于是得到典型结论 DCEsABD.如图 5-2,当 DA = DE 时，DCE0ABD.因此 DC=AB, 8-x= 6.解得 x= 2.如图5-3,如果 AD = AE,那么/ AED = Z ADE = Z C.由于/ AED是 DCE的一个 外角，所以/ AED>/C.如果